多元函数极值的求法

多元函数极值的求法 中图分类号:O172.1 本 科 生 毕 业 论 文,设计, ,申请学士学位, 论文题目 多元函数极值的求法 作者姓名 专业名称 信息与计算科学 指导教师 2011年 月 日 学 号: 2007211432 日 论文答辩日期:2011年 月 指 导 教 师: ,签字, 本科毕业设计(论文)原创性声明 本人郑重声明:所呈交的设计(论文)是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名: 2011年 月 日 目录 摘要 ................................................................................ 1 Abstract ............................................................................ 1 1. 绪论 ............................................................................. 2 2. 一元函数极值和条件极值的判定方法 ................................................. 2 2.1 一元函数极值的概念 .......................................................... 2 2.2一元函数极值的判定方法 ....................................................... 2 3. 多元函数极值和条件极值的判定方法 ................................................. 6 3.1 多元函数极值的概念 .......................................................... 6 3.2 多元函数极值的判定方法 ...................................................... 7 3.3多元函数条件极值判定的一般方法 ............................................... 8 参考文献 ........................................................................... 12 致谢 ............................................................................... 13 多元函数极值的求法 摘要:本文将一元函数和二元函数极值的部分判定方法推广到多元函数极值的判定，提出了判定多 元函数极值的几个方法，并做简单经济和生产方面的应用。 关键词:多元函数;极值;最大值;最小值。 中图分类号:O172.1 Methods of Extreme of Solving Multivariate Function Abstract:In this paper we take the functions of one variable and the function of two variables promotion to the judgment of multivariate function , and put forward some methods of the judgment of multivariate function , and apply the methods to simple economic problems and production problems. Key word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 s: multivariate function, extreme, maximum value, minimum value. 1 1 绪 论 多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但由于自变量由一个增加到多个，产生了某些新的内容。对与多元函数，文章将着重讨论二元函数。在掌握了二元函数的的有关理论与研究方法后，我们可以把它推广到多元函数中去。一元函数的定义域是实数轴上的点集;二元函数的定义域是坐标平面上的点集。在求多元函数无条件极值问题时，我们可以根据极值存在的充分条件来判断是否在驻点处取得极值，而在多元函数条件极值问题的求解过程中，我们在使用拉格朗日乘数法求出驻点后，往往根据问题的实际意义判断函数在该点取得极值。但是对于一般情况下的条件极值问题，由于没有实际背景作辅助判断，我们需要寻求判断函数取得极值的方法。 2 一元函数极值和条件极值的判定方法 2.1 一元函数极值的概念 xx定义2.1.1 设函数在内连续，是内一点，如果对于点近旁的任意一yfx,()(,)ab(,)ab00 fxfx()(),fx()x点，均有，则就称是函数的一个极大值，点是的一个极大值点;xfx()fx()000 fxfx()(),xfx()如果对于点近旁的任意一点x，均有,则就称是函数fx()的一个极小值，点000 x是fx()的一个极小值点。 0 2.2 一元函数极值的判定方法 设fx()在闭区间[,]ab连续，由于在连续闭区间内，可导函数的极值等于最值，在判断一元函 M数极值之前，我们先讨论一下在闭区间[,]ab上连续函数fx()的最大值和最小值m的求法: fx()fx'()0,第一步，求的驻点，即使的点; 2 第二步，算出在驻点的函数值; fx() 第三步，若有不可导的点，算出在这些点的函数值; fx()fx() 第四步，求出和; fa()fb() M第五步，比较上述各函数值，其中最大者为最大值，最小者为最小值。 m 2fxxx()32,,，例2.2.1 求函数在上的最大值与最小值。 [3,4], 2x,,[3,1][2,4],xx,，32,解: ， fx(),,2x,(1,2),，,xx32,, 23,(3,1)(2,4)xx,,,,， fx'(),,,，,23,(1,2)xx, 3在内，的驻点为;不可导点为。 (3,4),fx()x,1,2x,2 31由于比较可得在处取得它在fx()fffff(3)20,(1)0,(),(2)0,(4)6,,,,,,x,,324 上的最大值，在和处取得它在上的最小值。 [3,4],[3,4],20x,1x,20例2.2.2 把一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁。问矩形截面的高和宽应如何选择才dhb 能使梁的抗弯截面模量最大, 解:由力学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 知道:矩形梁的抗弯截面模量为 12。 Wbh,6 与有下面的关系: bh 222, hdb,, 123因而 。 Wdbb,,()6 现在，问题转化为:等于多少时目标函数WWb,()取最大值,为此，求对的导数: bWb 122， Wdb'(3),,6 令，解得 W'0, 1bd,。 3 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在(0,)d内部取得;现在，在(0,)d内只有W'0, 11bd,bd,一个根，所以，当时，取最大值。这时， W33 12222222， hdbddd,,,,,33 即 3 2hd,， 3 dhb::3:2:1,。 判定一元函数极值点一般有三种，一种是用一阶导数的符号;二是用二阶导数的符号;三是用高阶导数的符号。 xx定理2.2.1 一元函数极的第一充分条件:设函数在的一个领域内可导，或者在处不fx()00 xx可导但必须连续，若当在该领域内由小于连续地变为大于时，其导数改变符号，则fx'()x00 fx()xx为函数的极值，为函数的极值点。若导数由正值变为负值，则为极大值点，fx()fx'()000fx()xfx()为函数的极大值;若导数由负值变为正值，则为极小值点，为函数fx()fx'()fx()000的极小值。 22xyP，,1例2.2.3 在椭圆的第一象限部分上求一点，使该点处的切线与椭圆及两坐标轴22ab 所围图形的面积为最小。 0,,xa0,,ybyx'()解:设，，过椭圆上点处得切线的斜率满足 (,)xy00000 xyyx'()000， ，,022ab2xb0yx'(),,即 。 02ay0 切线方程为 2xb0 。 yyxx,,,()002ay0 22aby分别令与，得切线在，轴上的截距:，。于是该切线与椭圆及y,0xy,x,x,0yx00 两坐标所围图形的面积为 2211ab， ,,,sxab()024xy00 22211abx,,,,,Sxabxa()(0)问题是求: 的最小点， 其中 ，将其带入Sx()yb,,1224xya 222fxxaxxa()()(0),,,,中，问题可转化为求的最大值点。 a,0,,x,02, ,a,2322因 ， fxaxxxaxxaxaxx'()242(2)2(2)(2),,,,,，,,,,02, ,a,,xa,,0,2 22a2Pab,(,)故是函数fx()在区间[0,]a上的最大值点。因此为所求的点。 xa,,02222 4 fx'()0,x一元函数极的第二充分条件:设函数在处的二阶导数存在，若，且fx()00fx''()0,fx''()0,xfx()x，则是函数的极值点，为函数的极值，并且当时，为极小fx()00000 fx()fx''()0,xfx()值点，为函数的极小值;当时，为极大值点，为函数的极大fx()fx()0000值。 432例2.2.4 求的极值点。 fxxxxx()4644,,，,， 323解:， fxxxxx'()4121244(1),,，,,, 2 fxx''()12(1),,， 令，得，且， fx'()f''(1)0,,0x,1 当时，， fx''()0,x,1 由定理知，是的极小值点。 ？fx()x,1 fxfx'()''()0,,x可见，此定理有一定的局限性。即当时，点可能是极值点，也可能不是000 fxfx'()''()0,,极值点，而用此定理不能判定。下面将对这一定理加以补充，即当时，仍可用00二阶导数的符号去判定，有下面的定理。 (,)xx,，,,fxfx'()''()0,,x定理2.2.2 设在点的领域内有二阶导数，且， fx()00000 xxx,,(,),,0,00x(1)若 ，则是极大值点; fx''(),0xxx,，(,),0,00, xxx,,(,),,0,00x(2)若 ，则是极小值点; fx''(),0xxx,，(,),0,00, xxx,,(,),,,()0,00x(3)若 ，则不是极值点。 fx''(),0xxx,，(,),,(),00, xfx''()xfx''()证:(1) 若在点有=0，但在的左、右近旁都有,0，所以，曲线yfx,()0000 (,)xx,，,,(,)xx,，,,x在点的领域内是凸的，则曲线的切线必在其曲线的上方，所以在内00000有,,ydyfxxfxfxx()()'()，,,,,,，即， fx'()0,又 0 fxxfx()()0，,,, 00 ？，,,fxxfx()() 00 x故是极大值点。 0 (,())xfx同理可证(2)，至于(3)的证明是显而易见的，而且点就是曲线的拐点。 00 xx定理2.2.3 设f在的某领域内存在直到阶导函数，在处n阶可导，且n,100()()kn，则 fxknfx()0(1,2,...,1),()0,,,,00 5 ()n()nfx()0,fx()0,x(i)当为偶数时，在取得极值，且当时取得极大值，取得极nf000 小值。 x(ii)当为奇数时，在处不取极值。 nf0 43xx(1),例2.2.5 试求函数的极值。 432fxxxx'()(1)(74),,,解:由于，因此是函数的三个稳定点。的二阶导数为 fx,0,1,7 22fxxxxx''()6(1)(782),,,，， 44由此得，及。所以在时取得极小值。求三阶导数 ff''(0)''(1)0,,fx()f''()0,x,77 32fxxxxx'''()6(3560304),,，,， 有。由于为奇数，由定理2.2.3知在不取极值。再求的四阶导ff'''(0),'''(1)0,ffn,3x,1数 (4)32fxxxx()24(3545151),,，,， (4)f(0)0,有。因为为偶数，故在取得极大值。 fn,4x,0 综上所述，为极大值， f(0)0, 443691243 f()()(),,,,777823543 为极小值。 3 多元函数极值和条件极值的判定方法 3.1 多元函数极值的概念 在探讨多元函数极值时，我们通常以二元函数为例来进行研究。 Pxy(,)UP()定义3.1.1 设函数在点的某领域内有定义。若对于任何点f0000 PxyUP(,)(),，成立不等式 0 fPfP()(),fPfP()(),(或)， 00 PP则称函数f在点取得极大(或极小)值，点称为f的极大(或极小)值点。极大值、极小值00 统称为极值。极大值点、极小值点统称极值点。 6 备注:这里所讨论的极值点只限于定义域的内点。 fxy'(,)0,定义3.1.2 凡是能使，同时成立的点称为的驻(,)xyzfxy,(,)fxy'(,)0,xy 点。 备注:具有偏导数的极值点必然是驻点，但驻点不一定是极值点。 3.2 多元函数极值的判定方法 (,)xy定理3.2.1 二元函数取得极值的必要条件:设在点取极值，则它在该点的偏导fxy(,)00 fxy'(,)0,数必然为零，即，。 fxy'(,)0,xy (,)xy二元函数取得极值的充分条件:设在点的某领域有连续的二阶导数，又zfxy,(,)00 fxyC''(,),fxyA''(,),fxy'(,)0,，，令，，，则 fxy'(,)0,fxyB''(,),yy00xxx00yxy00 2(,)xy(1)当时，在取得极值，且当时取极小值，时去极fxy(,)ACB,,0A,0A,000 大值; 2(,)xy(2)当时，不是的极值点; fxy(,)ACB,,000 2(,)xy(3)当时，仅此不足以判断是否是的极值点，还需另作讨论。 fxy(,)ACB,,000 备注:若有连续的二阶偏导数，则可按如下步骤求它的极值点: zfxy,(,) fxy'(,)0,第一步，解方程组，求得所有驻点; fxy'(,)0,xy 第二步，对每个驻点求出二阶偏导数的值 fxyC''(,),fxyA''(,),，，; fxyB''(,),yy00xx00xy00 2fxy(,)第三步，定出的符号按二元函数取得极值的充分条件判定是否取得极值，是极大ACB,00值还是极小值。 例3.2.1 求函数fxyzxyz(,,),在xyz，，,0条件下的极值。 解:将xyz，，,0代入函数fxyzxyz(,,),得gxyxyxy(,)(2),,，， 22求偏导数，。 gxxyx'22,，,gyxyy'22,,，yx2,gyxyy'220,,，,22,x由方程组 解得。 PP(0,0),(,),,122gxxyx'220,，,,33,y, 又 gxy''222,,，g'',2xgy''2,,，，， xyyyxx22PP根据极值的充分条件，在点处，,所以不是极值点，从而函,,,,，,,,,ACB00240111 7 P数在点处无极值;而在点处 fxyz(,,)0,0,2，，2 442422， ,,,,，,,,,ACB()023333 4P又 ，所以为极小值，极小值为 A,23 2228。 F(,,),,,33327 22fxyxyyy(,)(2)ln,，，例3.2.2 求二元函数的极值。 解:为求函数的驻点，解如下方程组 fxy(,) 2,fxy'2(2)0(1),，,,x， ,2fxyy'2ln10(2),，，,,y, 11由(1)式可得，带入(2)式得，从而。这表明函数有唯一驻点。 ln10y，,fxy(,)(0,)y,x,0ee 1为判定是否是极值点，再计算 (0,)e 112， Afy,,，,，,''(0,)2(2)2(2)0xx12,yeee 1， Bfxy,,,''(0,)40xy1(0,)ee 112， Cfxe,,，,,''(0,)(2)0xy1(0,)eye 11112即在驻点 处有，且AC,0,,故fxy(,)在处取得极小值。 BAC,,0(0,)(0,)f(0,),,eeee 3.3多元函数条件极值判定的一般方法 拉格朗日乘数法 要找函数zfxy,(,)在附加条件,(,)0xy,下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数 Lxyfxyxy(,)(,)(,),，,,， y其中为参数。求其对x与的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程,(,)0xy,联立起来: , fxyxy(,)(,)0，,,,,xx,fxyxy(,)(,)0，, ， ,,,yy ,(,)0xy,,, xy,由这方程组解出及，这样得到的(,)xy就是函数fxy(,)在附加条件,(,)0xy,下的可能极值, 点。 8 这方法还可以推广到自变量多于两个方面而条件多于一个的情形。例如，要求函数 ufxyzt,(,,,) 在附加条件 ， ,(,,,)0xyzt,,(,,,)0xyzt, 下的极值，可以先作拉格朗日函数 ， Lxyztfxyztxyztxyzt(,,,)(,,,)(,,,)(,,,),，，,,,, 其中均为参数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与，中的,,,,(,,,)0xyzt,,(,,,)0xyzt,两个方程联立起来求解，这样得出的就是函数在附加条件，(,,,)xyztfxyzt(,,,),(,,,)0xyzt, 下的可能极值点。 ,(,,,)0xyzt, 至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质确定。 2例3.3.1 求表面积为而面积为最大的长方体的体积。 a xyz,,解:设长方体的三棱长为，则问题就是在条件 2,(,,)2220xyzxyyzxza,，，,, 下长方体体积的最大值，作拉格朗日函数 2Lxyzxyzxyyzxza(,,)(222),，，，,,， xyz,,求其对的偏导数，并使之为零，得到 yzyz，，,2()0, ， xzxz，，,2()0, xyyx，，,2()0, 2,(,,)2220xyzxyyzxza,，，,,再与联立求解。 xyz,,因都不等于零，所以由 yzyz，，,2()0,, xzxz，，,2()0,, xyyx，，,2()0., 可得 xxzyxy，，,,,. yyzzxz，， 2,(,,)2220xyzxyyzxza,，，,,由以上带入式，使得 6xyza,,,, 6 这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极 62a值点处取得。也就是说，表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积为最大，最大体a6 9 63积Va,。 36 KLP例3.3.2 设某种产品须投入两种要素，和分别是两种要素的投入量，其价格分别为常数K1,,,P和，为产品的产出量。设生产函数为，其中为常数，和A,,0,0,QaQAaKbL,，()bL M是参数，且满足。当成本为时，试确定两种要素的投入量，以使产量达到最高。 Qab，,1 解:为求导方便，改变函数形式 Q,,,。 (),，aKbLA QQ,,当时，是的增函数，当达到最大值时，也达到最大值。又依题意，产品QQ()(),,0AA 的成本函数为 CPKPL,，。 KL PKPLM，,故约束条件为。 KL ,,作拉格朗日函数，则 FKLaKbLPKPLM(,,)(),,,，，，,KL ,F,,,1,，,aKP,,0(1)K,,K,,F,,1,， 0(2),，,bLP,,,L,L, ,F,,，,,PKPLM0(3)KL,,,, 由(1)、(2)式可得 11PPKbb,,1KK,,,,11。 (),()(),,,,KLLaPaPLL bP1SSKK()()PLPLM，,令并将代入(3)式，有 。 ,S,KLaP,,1L从而 SSSSMaPMbPLK。 ,,,LK1111，，，，SSSSSSSS，，aPbPaPbPLKKK y例3.3.3 某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为和(单位:吨)时的总x 22Rxyxyxxyy(,)422742,，,,,收益函数为(单位:万元)。除此之外，生产甲、乙两种产品 每吨还需分别支付排污费2万元，1万元。 (I)在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大,总利润是 多少, (II)当限制排污费用支出总额为8万元的条件下，甲、乙两种的产量各为多少时总利润最大, 最大利润是多少, 10 解:(I)根据题设该厂生产能这两种产品的总利润函数 LxyRxyCxyxy(,)(,)(,)2,,,, 22,，,,,,,,,,422742368122xyxxyyxyxy 22,，,,,,32144236xyxxyy ， 求的驻点，令 Lxy(,) ',Lxy,,,,32820,xLxy(,)， ,'Lxy,,,,14220,y, 可解得唯一驻点。 (3,4) 因的驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，在不限制排污费用支出的Lxy(,) 情况下，当甲、乙两种产品的产量分别为(吨)与(吨)时总利润取得最大值y,4Lxy(,)x,3 且。 max(3,4)40Ll,, 当限制的排污排污费用支出总额为8万元的条件时应求总利润函数在约束条件Lxy(,) 即下的条件最大值，可用拉格朗日成数法，为此引入拉格朗日函数 28xy，,280xy，,, ， FxyLxyxy(,,)(,)(28),,,，，, 为求Fxy(,,),的驻点，令 '',FLxy,，,,,，,2328220(1),,xx,''， FLxy,，,,,，,14220(2),,,yy',Fxy,，,,280(3),, 由(1)，(2)两式消去参数可得220xy,,,，与(3)联立可得唯一驻点(2.5,3)。 , 因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，当排污费用限于8万元的条件下， 甲、乙两种产品的产量分别为(吨)与y,3(吨)时总利润取得最大值，最大利润 x,2.5 max(2.5,3)37LL,,(万元)。 对于多元函数条件极值还可以利用二阶偏导数矩阵判断 fxxx(,,...,)gxxxkm(,,...,)0,1,2,...,,,若要求函数在条件下的极值，还可以采用以12nkn12 下方法。 (1)构造拉格朗日函数 m Lxxxfxxxgxxx(,,...,,,,...,)(,,...,)(,,...,),,,,,， ,12121212nnnkkn,1i000000000Pxxx(,,...,)(2)求出驻点，设， (,,...,,,,...,)xxx,,,n012nm1212 000令; FxxxLxxx(,,...,)(,,...,,,,...,),,,,nnm121212 11 fxxx(,,...,)(3)利用以下定理判断函数的极值定理。记矩阵 12n '''''',,FFF...xxxxxx11121n,,''''''FFF...,,xxxxxx21222n ， M,,,............,,'''''',,FFF...xxxxxx,,nnn112 Mgxxx(,,...,)0,fxxx(,,...,)P?若正定，则在条件下，在点处取得极小值; kn1212n0 Mgxxx(,,...,)0,fxxx(,,...,)P?若负定，则在条件下，在点处取得极大值。 kn1212n0 22fxxxy(,)3,，,例3.3.3 求函数 在条件下的极值。 yx,，112 22解:构造拉格朗日函数 Fxxxyxy(,)3(1),，,，，,,12 解方程组 ',Fx2(1),，,x,'， Fy,,2(2),,y',Fxy,，,1(3),, 1111解得 ，下面判断 是否为极值点。 ,,,,,xy,,1P(,),02222 22由 得 Fxxxyxy(,)2,，，,,12 ''''，，， Fy,,21Fx,，21F,2yxxx ''''''，，， F,2F,0F,0yyxyyx 20,,11115矩阵 正定，所以函数在点 处取得极小值，且极小值为 。 P(,),f(,),,,M,0,,0222222,, 参考文献 [1] 马丽君, 多元函数极值的充分条件[J]. 科技信息, 2010(24): 516-517. 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