行列式的性质及计算
一.问
题
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的提出
在实践中存在许多解n元一次方程组的问题，如
①
②
对于①我们可以解出,但对于②,我们有什么方法解出呢?我想可以用行列式的知识。
二.排列
定义1 由1.2……n组成的一个有序数组称为一个级排列。n级排列的总数为
（n的阶乘个）。
定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。
例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性
134782695
解 逆序数为10，是偶排列。
三．行列式：
定义（设为n阶）：n阶行列式
是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，
表
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示排列 的逆序数。
四． n阶行列式具有的性质
1．性质（1）行列互换，行列式不变。即
。
2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即
=k
特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。
3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。即
。
4．性质（4）如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同）。
5．性质（5）如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。即
。
6．性质（6）把一行的倍数加到另一行，行列式不变。即
7．性质（7）对换行列式中两行的位置，行列式反号。即
五.行列式的计算
(一)数字型行列式的计算(四种方法)
1.三角化法
例2 计算行列式之值。
解 从第1行开始,依次把每行加至下一行,得
例3 计算行列式之值。
解 把每行均加至第一行,提出公因式,再把第一行的倍分别加到第二行至第n行,得
2．递推法
例4 计算行列式之值。
解 把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式
继续使用这个递推公式，有
而初始值，所以
例5 计算行列式 之值。
解 按第n行展开，有
，
从而递推地得到
，
对这些等式分别用1，,,,相乘，然后相加，得到
3．数学归纳法
例6 证明①
。
解 我们对用数学归纳法。
当时，①的左端为按第一行展开，就得到所要的结论。
假设①对，即左端行列式的左上角是级时已经成立，现在来看的情形，按第一行展开，有
+
+
这里第二个等号是用了归纳法假定，最后一个是根据按一行展开的公式。
根据归纳法原理，①式普遍成立。
4．公式法
例7 计算行列式 之值。
解 由于,故用行列式乘法公式，得
因中，系数是+1，所以。
（二）行列式的概念与性质的例题
例8 已知是6阶行列式中的一项，试确定的值及此项所带的符号。
解 根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。因此，行指标
应取自1至6的排列，故，同理可知。
直接计算行的逆序数与列的逆序数，有。
亦知此项应带负号。
（三）抽象行列式的计算
例9 已知都是4维列向量，且，，则（ ）。
解 中第1列是两个数的和，用性质3可将其拆成两个行列式之和，再利用对换，提公因式等行列式性质作恒等变行，就有
于是
。
例10 若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为则行列式（ ）。
解 由A～B，知B的特征值是。那么的特征值是2，3，4，5.于是的特征值是1，2，3，4。有公式得，。
（四）含参数行列式的计算
例11 已知，求。
解 将第3行的-1倍加至第1行，有
所以。
（五）关于的证明
解题思路：
①设证法；
②反证法：如从A可逆找矛盾；
③构造齐次方程组，设法证明它有非零解；
④设法证矩阵的秩；
⑤证明0是矩阵A的一个特征值。
例12 设(单位矩阵)，证明：。
证法一：如，则A可逆，那么.与已知条件矛盾。
证法二：由，有,从而的每一列都是齐次方程组的解，又因，故有非零解，从而。
证法三：证同上，由于的每一列都是的解，所以，又因，，故，所以。
证法四：证同上，设是中非零列，则,则，0是A的特征值，故。
(六)特殊行列式的解法
1 范德蒙行列式
定义：行列式称为n级的范德蒙行列式。
例13 计算行列式之值。
解 把1改写成，第一行成为两数之和，可拆成两个行列式之和，即
分别记这两个行列式为和，则由范德蒙行列式得，
故
(七)拉普拉斯定理
设在行列式D中任意取定了个行，由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式。
(其中：①级子式：在一个级行列式中任意选定行列。位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式，称为行列式的一个级子式。②余子式：在中划去这行列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式称为级子式的余子式。③代数余子式：设的级子式在中所在的行、列指标分别是则的余子式前面加上符号后称为的代数余子式)。
例14 求行列式。
解：在行列式中取定第一、二行，得到六个子式：
它们对应的代数余子式为
根据拉普拉斯定理
参考文献:
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数.高等教育出版社，1988，51-96。
[2]李正元 李永乐 袁荫棠.数学复习全书.国家行政学院出版社，2005，347-363。
[3]张贤科 许甫华.高等代数学.清华大学出版社，2000。
浙公网安备 33021202002483