因式分解教案教案因式帮助因式分解分解因式教学设计初中数学题反馈意见
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12.5因式分解
教学目标
1(使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系。
2(使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式。 3(通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力。
教学重点:
因式分解的概念及提公因式法。
教学难点:
正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。 教学过程:
一、复习提问
乘法对加法的分配律。
二、探究新知
1(新课引入:用类比的方法引入课题(
在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)(例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7(
在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢,这一节就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法。
2(因式分解的概念:
请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结 果。(老师按学生所说在黑板写出几个()
如:m(a+b+c),ma+mb+mc
232xy(xy+1)=2xy2+2xy
22(a+b)(ab),ab+ab
(a+b)(m+n),am+an+bm+bn
再请学生观察它们有什么共同的特点,
特点:左边，整式×整式;右边，是多项式。
可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解。
定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
如:因式分解:ma+mb+mc,m(a+b+c)。
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登陆21世纪教育 助您教考全无忧 整式乘法:m(a+b+c),ma+mb+mc。
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别。
联系:同样是由几个相同的整式组成的等式。
区别:这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解;下式是整式乘法(两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式。
例1 下列各式从左到右哪些是因式分解,
(1)x2x,x(x1) (?)
(2)a(ab),a2ab (×)
(3)(a+3)(a3),a29 (×)
(4)a22a+1,a(a2)+1 (×)
(5)x24x+4,(x2)2 (?)
下面我们学习几种常见的因式分解方法。
3、提公因式法:
我们看多项式:ma+mb+mc
请学生指出它的特点:各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。
注意:公因式是各项都含有的公共的因式(
222 又如:a是多项式a+a各项的公因式( ab是多项式5ab+ab各项的公因
222式(2mn是多项式4mn+pmnq各项的公因式。
根据乘法的分配律，可得 m(a+b+c),ma+mb+mc， 逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式 ma+mb+mc,m(a+b+c)。
这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式 ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
定义:一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多 项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式(让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法:(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数:(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式:
(1)ax+ay+a (a)
(2)3mx6mx2 (3mx)
(3)4a2+10ah (2a)
(4)x2y+xy2 (xy)
(5)12xyz9x2y2 (3xy)
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323例1 把8ab+12abc分解因式。
分析:分两步:第一步，找出公因式;第二步，提公因式。
先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2。
32322222 解:8ab+12abc=4ab?2a.3ab?3bc=4ab(2a+3bc)。 说明:
(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取(
开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出(?以显提醒;?强调提公因(2)
式;?强调因式分解。
6例2 把3xy+x 分解因式。
分析:先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x?1。
22 解:3xy+x,x(3xy+1)。
说明:当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x26xy+x=x(3x6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因(还应提醒学生注意:提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项。 三、课堂练习
把下列各式分解因式:
(l)2πR+2πr;
32 (2)3x+6x;
2 (3)21a+7a;
22 (4)15a+25ab;
22 (5)xy+xy+xy(
32 例3 把4m+16m26m分解因式
分析:此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提号时，注意添括号法则。
32 解:4m+16m+26m
32 ,(4m+16m+26m)
2 ,2m(2m+8m+13)(
说明:通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号;然后再提公因式。
四、课堂练习:
把下列各式分解因式:
(1)15ax+20a;
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816 (2)25x+125x;
3223 (3)ab+ab;
3322(4)xy+xy+xy;
32 (5)3ma+6ma+12ma;
五、课堂小结
1(因式分解的意义及其概念(
2(因式分解与整式乘法的联系与区别(
3(公因式及提公因式法(
4(提公因式法因式分解中应注意的问题( 六、课后作业
1、3x+6
2 2、7x-21x
323 3、8ab-12abc+abc
32 4、-24x-12x+28x
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