极限与连续的例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
及解法
高等数学B(1)
极限与连续的例题分析及解法
本章小结
我们说过，高等数学研究的对象是变量，是函数，现在又可进一步说，高等数学是通过极限来研究并获知函数的许多特性的，后面的微分，积分，级数等都是研究一些特殊类型的极限，因此可以认为极限是高等数学的基础和工具。
第二章，我们介绍了极限的概念和求法，给出了数列极限的定义和函数极限的概念(包括和x,x0
两种类型)，介绍了求极限的若干种方法。同时，叙述了用极限的概念确切地描述函数曲线的连x,,,
续与间断。
具体地说，要求读者:
1(深刻领会极限的含意，它描述的是一个变量随一切变量变化的趋势。对于数列，要知道极限的“”定义。对于函数，要领会极限存在与不存在的状况。 ,,N
2(记住一些重要的极限公极:
x,1n0 ,limx,x,1不存在n,,
xsin lim,1x,0x
1x lim(1，),e,,xx
axxa以及当，时，函数，log，的极限，利用这些函数的图形可帮助领会和记忆x,0xx,,,a
相应的极限公式。
记住下列公式，将有助于今后的学习:
xln(1，) lim,1x,0x
xe,1lim,1 ,0xx
3(学会利用下列内容来求极限:
(1)恒等变形;
(2)极限的四则运算;
(3)已知的极限公式;
(4)函数的连续性。
4(无穷小量是一类最简单的有极限的量(极限为0)，要求掌握无穷小量的性质。无穷大量是不取零值的小量的倒数，它是一类没有极限的量。
f(x)5(领会公式是函数在点处连续的确切描述，掌握间断点的分数，这有x,xlimf(x),f(x)0o,xx0
助于从后面理解连续概念。学会判断给定函数在一点处是连续的还是间断的。记住:初等函数在其有定义的区是内是连续的，在闭区间上连续的函数具有两个重要性质;最大值最小值存在定理和介值定理(包括零点定理)。
1
一、疑难解析
极限是微积分中一个重要的基本概念，极限方法是研究函数的重要工具，在学习本章时，要正确理解极限与连续的概念及其性质，掌握极限的运算法则是基本方法，会求函数的间断点。
,一,关于极限概念
1(数列的极限
(1)直观的描述
数列是按照某种法则排列起来的一列数，可以看成是自变量取正数整值的函数n
当无限增大时，无限地接近于常量A。从几何意义来看:点列，随着的y,f(n),n,1,2,3？yynnnnn变大，越来越向A靠拢。即 limy,An,,n
(2)在理解数列极限的定义时要注意
?随着无限地增大，差距可以无限地变小。 ny,An
?当大到定程序后，可以任意小。 ny,An
?对于预先指定的任意小的正数，可以找到一个正数整N，当变得比N大时，可以小于。 ,n,y,An
?如果对于每一个预先给定的任意小的正数，总存在着一个正整数N，使得对时的一切不n,Ny,n
AA等式恒成立，则常数的就叫做数列当趋于无穷大时的极限，或者说收敛于。 yy,,ny,Annn
:1注意:“对于预先给定的任意小正数”中的“小”可删去。即改为“对于预先给定的任意正数”。,,因为“任意正数”已经包括了不论多么小的正数。加上“小”字后，是为了突出“要多小就可以多小”,
这一意思。
:2“总存在一个正整数N，使得当n,N”
表
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示大到一定程序后”。 n
:3“”是预先给定的。“N”是随后找到的。 ,
“”有两层意思，它先是任意给的，但给定后就固定下来了。因而“N”也相应地有以下两方面的,
意义:它是“”在在相对固定的情形下找到的;它又可随“”的不同而不同。所以有时我们将“N”,,
N(,)写成。
:4NN,,0一般说来越小，越大。但与并不呈现函数关系。这是因为，对。若能找到，N,0,,1当时，对一切有。那么当，,„，这时的一切显然也满足不等yyn,Ny,A,,n,N，1n,N，2nnn111
N式，因此,„都可以作为我们所要找的 NN，1,N，2,y,A,,n111
2、函数的极限
(1)直观的描述
f(x)?当时，函数的极限。 x,,
2
此种情况与数列的极限类似。不同处在于是整序变量只取1,2,3,„等孤立的正整数点到n,，,n
f(x)。而时，自变量连续地取实数值变到。函数无限接近一个正常数。 A，,，,x,，,x
f(x)?当时，函数的极限。 x,x0
f(x)当无限接过于常数时，函数无限接近于常数A。 xx0
或 f(x),A,x,(x)limf(x),A0x,x0
它的几何意义如图2-1所示
y,f(x)y,Af(x)及图形，当趋于时，以A为极限。就是说当无限接近于时，曲已知xxxx00y,f(x)y,Ay,f(x)y,A线上的点到直线上对应的点无限接近。具体地说，如果希望上的点到上
y,A，,y,A,,f(x),A)小于预先指定的，那么我们作出，为边对应点的纵坐标差的绝对值,,0
y,f(x)0,x,x,,界的带域，由此可以定出的一个领域，使当进入这个邻域后曲线进入带域; ,xx00
A进入的邻域。从而恒有 y,
f(x),A,,
limf(x),A这就是极限式的几何意义。 x,0
(2)在理解函数的极限定义的时要注间
x,xf(x),A)?随着差距无限变小，差距可以要多小有多小。 0
x,xf(x),A)?当差距小到一定程序后，差距可以小于预先指定的任意小的正数。 ,0
0,x,x,,f(x),A,,?如果对于任意给定的,,0，总可以找到一个,,0，使当，恒成立。 0
f(x)?“”表示无穷接近于，但。因此在讨论函数极限时要求在附近x,xxx,xxlimf(x)x0000x,x0
有定义，但在处可以有定义，也可以没有定义。 x0
,二,关于穷小量和无穷大量
1、无穷小量
无穷小量是以零为极限的变量。以零为极限的数列，以零为极限的函数，都是无穷小量，在概念的理解上，我们不能把它与很小的数相混淆，例如0.0001是很小的数，是常量不是无穷小量。但是，零是可以看作无穷小量的唯一的数，因为通项为零的数列和恒等于零的浸函数，在任何过程都以零为极限，故零是无穷小量。
在理解无穷小量的运算性质时，要注意:“有限个无穷小量的代数和无穷小量，”“有限个无穷小量的积是无穷小量”不能把有限个“这一关键词丢掉，例如:
1111当时。分别都是无穷小量。而 n,,,,,？,nn，1n，22n
3
1111 ，，，？，nn，1n，22n
是个无穷小量的和，当时，是夫限个无穷小量的和，显然有 nn,,
11111 n，,，，？，,n，n2nnn，12n
1111 ,，，？，,12nn，12n
此例说明，无限个穷小量的和可以不是无穷小量。
2(无穷小量的阶
f(x)g(x)设与是同一变化过程中的无穷小量。如
0,g(x)是比f(x)较高阶无穷小量。 则称,c(c,0)g(x)f(x)则称与是同价无穷小量。 g(x), lim,,g(x)f(x)g(x)f(x)则称与是等价无穷小量。记作~ 1f(x),g(x)f(x)则称是比较低阶无穷小量。 ,,,
f(x)g(x)f(x)g(x)如果在同一变化过程中，，，，都是无穷小量，且~，~，f(x)g(x)f(x)g(x)1111则有
，，，，f(x)f(x)()()fxfx11lim,lim， limh(x),limh(x),,,,g(x)g(x)()()gxgx1，，1，，
lim,,,,f(x)h(x),limf(x)h(x)1
在学习中，要记住一些等价无穷小量，这在今后是有用的，例如:
sinx~x(x,0)tanx~x(x,0)
xln(1，x)~x(x,0), e,1~x(x,0).
2xx1,cosx~(x,0)， 1，x,1~(x,0).22
3(无穷大量
无穷大量是这样的一种变量，其取值的绝对值无限增大。所谓无限增大，是指在变化过程 ，它的取
50010值的绝对值可以大于任意给定的正数。并且以后永远大于这个数。而很大的数，例如是常数，不是无
limf(x),,f(x)穷大量，要注意，无穷大量是极限不存的量，符号是借用极限的记号，只表示是无穷大量。
11f(x)(f(x),0)g(x) 如果是无穷小量，那么是无穷大量，反之，如果是无穷大量。寻么f(x)g(x)是无穷小量。
无穷小量具有的运算性质，对于无穷大量就不一定成立。例如“有限个无穷小量的和仍是无穷小量。”是正确的。如果说:“有限个无穷大量的和仍是无穷大量，”这就错了。无穷大量不是有极限的量，例如:
4
11f(x)g(x)设函数，那么当时，，分别都是无穷大量。但时，f(x),5,x,0x,0g(x),x，,xx
f(x)，g(x),5，x，这显然不是无穷大量。
,三,关于极限的运算法则和两个重要极限
1(这些法则只有在参数与运算的每个函数或数列的极限都存在时才能使用。
1lim1例1 sinx,lim?limsinx,0.x,,x,,x,,xx
limsinx这种做法是错误的，因为不存在，不能用乘法法则，上述极限是零，这是因为当时，x,,x,,
1是无穷小量，是有界变量。利用“有界变量与无穷小量之积是无穷小量”这一性质可得: sinxx
1 limsinx,0x,,x
n3lim例2 求值限时，因为分子、分母的极限都不存在，因此不能直接使用商的极限运算法nx,,4，1
n4则，但是，分子、分母同除以后的极限都存在，就可以使用商的极限运算法则，即:
33nn()lim()n30n,,44lim,lim,,,0 nn,,n,,114，11，，nn1，()lim1，(),,n,n44，，
2(在使用“和的极限等极限的和”这一法则时，应注意，这个法则只对有限个函数之和的情形才成
立，否则容易犯错误。
例如:
,12n1n ，，？，，lim(2222n,,nnnn
12n,1n= lim，lim，？，lim，lim2222n,,n,,n,,n,,nnnn
=0，0，？，0,0
这种做法是错误的，因为当时，上式是无限项的和，不能用和的极限运算法则。 n,,
正确的做法是:
nn1212，，？， lim()lim)，，？，,2222n,,n,,nnnn
n(n1)1，lim,, 2n,,2n2
,xsin()xsinlim,10.3(在使用第一重要极限lim,1时，要注意自变量趋于它可推广为成立，x,(x),0x,0,x()x
例如:
5
xxsinsin2(1); lim,0,lim,x,,x,xx,2
,(x),x,a(2)设，当时 x,a
,xaxsin(,)sin()lim,lim,1 x,a,(x),0xa,x,()
sin(x,a)sin(,a)sina而 lim,,,(a,0)x,0x,a,aa
1(3)设u(x),，当时， x,,x
1sinux1sin()x limxsin,lim,lim,1x,,x,,u(x),01xux()
x
1sinux1sin()x而 limxsin,lim,lim,0 x,0x,0u(x),,1xux()
x
11xx4(在使用第二重要极限或时，要注意在自变量的变化过程中，被求lim(1，),elim(1，x)x,,,xx0x
,极限的函数应该是呈“1”型的极限，
,xx1例如:，当x,0时，1，2sinx,1，故是型极限. lim(1，2sinx)lim(1，2sinx),,,0xx
x2sinxx〔，，〕 1，2sinxlim(1，2sinx),limx,,x,02sinx
1= e,e2
,四,关于函数连续性
1(函数连续的定义
y,f(x)f(x)设函数在点的某邻域内有定义，且成立，则称在点处连续。 xxlimf(x),f(x)000x,x0
f(x)f(x)f(x)在讨论当时的极限时，只考虑的过程中，的变化趋势，与在处的x,xx,xx000
.f(x)f(x)函数值没有必然联系在点处可以有定义，也可以没有定义，但是讨论在点处连续f(x)xx000
f(x)时，就必须与在处的函数值联系起来，所在在连续定义中，提出了一个与极限定义根本不xf(x)00
f(x)f(x)同的一点，即在点处要有定义;另外，当时，的极限值要等于函值。 x,xxf(x)000
2(函数的间断点
6
f(x)f(x)如果不是函数的连续点，则称是函数的间断点。 xx00
f(x)(1)在点处无定义; x0
(2)不存在。 limf(x)x,x0
(3) limf(x),f(x)0x,x0
3(间断点分类
f(x) 设为的间断点 x0
(1)第一类间断点
f(x)与都存在，当，称为的可去间断点; limf(x)limf(x),limf(x)xlimf(x)0,,，，x,xx,xx,xx,x0000
f(x)当，称为跳跃间断点。 limf(x),limf(x)x0,，x,xx,x00
(2)第二类间断点
1xf(x)与中至少有一个为，为的无穷间断点;例如是的无f(x),elimf(x)limf(x)xx,0,00,，x,xx,x00
1111x穷间断点，因为，而对于f(x),sin，不存在，当时的值在-1和1x,0sinlime,,limsinx,0x,0xxx
1f(x),sin之间永远振荡，称为的振荡间断点. x,00x
二、例题分析 例1 为下列各题选择正确答案:
(1)下列数列中收敛的为( ) ,,xn
nn，1sinnxA(x B( ,,(,1)nnnn
n1，(,1)n,sinx,C( D( ,xnn22
(2)下列极限存在的为( )
11xlim A( B( limexx,0x,02,1
1x(x，1) C( D( limsinlim2x,0x,,xx
x,5f(x),x,5 (3)当时，函数的极限为( ) x,5
A(1 B(-1 C(0 D(不存在
f(x)x,0x,0(4)若当时，为无穷大量，则当时，下列变量中未必是无穷小量的有( )
7
1x，x A( B( f(x)f(x)
1xf(x),x C( D( f(x)
,x,1 2,，2,2,xx,(5)若函数码相机 1,x,2 (),2,fxx,
,2,4x,,x,2 ,2x,
则有( )
f(x) A(在，处间断; x,1x,2
f(x) B(在，处连续; x,1x,2
f(x) C(在处间断，在处连续; x,1x,2
f(x) D(在处连续，在处间断 x,1x,2
2k11，2kn,2k(k,N)x(1)1解(1)(A)当时，， ,,,，2k2k2k
当k,,时，; x,12k
k，2212k，1n,2k，1(k,N)x,,,,，当时，; (1)(1)2k，1k，k，2121
当k,,时， x,,12k,1
所以 发散. ,,xn
sinn1(B) lim,lim.sinn,0n,,n,,nn
1其中，当时，为无穷小量，sinn为有界变量。所以,,收敛。 xn,,nn
n,sin(C)因为，即，，，，„，所以,,发散。 x,x,,1x,1x,0x,0xn3n1242
n1，(,1)x,(D)因为，即，，，，„，所以,,发散。 xx,0x,0x,1x,1n3n1242
正确答案选择(B)
111xxx(2)(A)因为，，所以不存在。 lime,，,lime,0lime，,x,0x,x,00
11limlim (B),,，即不存在。 xxx,0x,0212,1,
8
1 (C)振荡无极限。 limsinx,0x
xx(，1)1 (D) lim,lim(1，),12x,,x,,xx
正确答案选择(D)
x,5x5,lim,lim(),,1(3)因为， ,,x,5x,5xx,5,5
x,5x,5lim,lim,1 ，，x,5x,5xx,5,5
limf(x),limf(x)即 所以极限不存在 ,，x,5x,5
正确答案选择(D)
1x1x?(4)(A)当时，与都是无穷小量=是两个无穷小量的乘积，它一定是x,0xf(x)f(x)f(x)
无穷小量。
1,x(B)与(D)当时，是两个无穷小量的代数和，它们一定是无穷小量。 x,0f(x)
将(A)，(B)，(D)排除，所以正确答案选择(C)。
11f(x)f(x),例如，设，当时，是无穷大量，，不是无穷小量。 x,0x?f(x),x?,1xx
111f(x)x?f(x)x?设，当时，是无穷大量，是无穷大量。 x,0,,f(x),22xxx
1133f(x)f(x),x?f(x),x?,x设，当时，是无穷大量，是无穷大量。 x,033xx
xf(x)所以，当x,0时，未必是无穷小量。
2(5)因为 limf(x),lim(x，2x,2),1,,x,x,11
limf(x),lim2x,2 ，，x,1x,1
f(x)f(x)limf(x),limf(x)即，所以在点x,1处极限不存在，故在=1处间断。 x,，x,1x,1
limf(x),lim2x,4,f(2)又因为 ,,x,2x,2
2x,4limf(x),lim,lim(x，2),4 ，，，x,2x,2x,2x,2
f(x)x,2所以在点处连续。
正确答案选择(C)
例2 给出下列各题的正确答案
9
xarctan(1) 。 ,limx,，,x
2xaxb，，lim,5(2)若， ， 。 b,a,x,1x1,
11x，,lim,e(3)若，则 ， k,x,0sinkx
(4)若函数
2x x,0,5e f(x),,3x，a x,0,
f(x)如果在处连续，则 ， x,0a,
1解 (1)因为当时，是无穷小量，是有界变量，由无穷小量的性质可知: arctanxx,，,x
xarctan lim,0x,，,x正确答案填0
2x，ax，b02,5(2)因为是“”型不定式，所以，即1，a，b,0.由此可得 lim(x，ax，b),0x,11,x0
2x，ax,a,1(x，1(x,1)，a(x,1)lim,lim x,1x,11,x1,x
,lim,,,(x，1),a,5 x,1即,2,a,5,a,,7.且b,,1,a,,1，7,6. 正确答案填-7，6
(3)因为
x，1,1(x，1,1)(x，1，1)e,lim,lim x,0x,0sinkx(x，1，1)sinkx
x1kx,lim,lim?lim x,0x,0x,0sinkx，，，，(x11)sinkxk(x11)
10
1 ,2k
11所以，正确答案填 k,..2e2e
x2(4)因为， limf(x),lim5e,5,,x,x,00
f(0),a， limf(x),lim(3x，a),a，，x,0x,0
f(x) 且在处连续，所以 x,0
， 5,limf(x),limf(x),f(0),a,，x,0x,0
即 a,5.
正确答案填5.
例3 利用极限四则运算法则求极限
22(n，2),(n,)lim (1) n,，,5n，2
2 (2),, limn(n，2),n,1n,，,
x,2x,3lim (3) x,9x,9
21,1，xlim (4) 2x,0x
13lim(, (5) 3x,,1x，1x，1
, (1)分析 因为原极限式中的分子、分母都趋于，是“”型的极限，不能直接用商的运算法则，,,
通过化简，并在分子、分母上都除以，再用商的运算法则求这，即 n
(n，2),(n，1)22lim解 n,,5n，2
11
22(n，4n，4),(n，2n，1) ,lim(n,,5n，2
32，n2，3n ,lim,limn,,n,,25n，25，n
2 ,5
(2)分析 因为原极限式是“”型，不能直接用减的运算法则，应先将根式有理化，使其变为,,,
,“”型，然后再求其极限 ,
2n(n，2),(n,1)2lim,,n(n，2),n,1,lim解 2n,，,n,，,n(n，2)，n,1
2n，1,lim 2n,，,n(n，2)，n,1
12，n,lim n,，,221，，1,2nn
,1
0(3)分析 因为原极限式是“”型的，不能直接用商的运算法则，首先将分子、分母进行分解因式，0
然后去约零因子，再用商的运算法则求之。
x,2x,3(x,3)(x，1)解 lim,lim x,9x,9x,9(x,3)(x，3)
x12， lim ,,x,93x3，
0(4)分析 因为原极限式是“”型的，首先将分子有理化，然后约去零因子，再求其极限。 0
2221,1，x(1,，x)(1，1，x)lim,lim解 222x,x,00xx(1，1，x)
12
2,x ,lim22x,0x(1，1，x)
,1,lim 2x,01，1，x
1 ,,2
0(5)分析 因为原极限式是“”型，不能直接用减的运算法则，应先通分，将其变为“”型，,,,0再分解因式，约去零因子，最后用商的运算法则求之。
211x,x，1,3lim(,),lim解 33x,,1x,,1x，1x，1x，1
(x，1)(x,2),lim 2x,,1(x，1)(x,x，1)
x,2 ,lim,,12x,,1xx,，1
,0 小结:利用四则运算法则求极限时，对“”、“ ”和“”型的极限，不能直接运用四则运,,,0,
算法则求其极限，一般先要对其进行适当的变换、化简，使其满足四则运算法则的条件，再求其极限。归纳如下:
, 1(对“”型的极限，首先用分子与分母中的最高次项去除分子、分母的各项，例如: ,
1nn,，，？，，axaxaxa110nn, lim1mm,x,,，，？，，bxbxbxb110mm,
anmnxx. 若，用(或)除以分子、分母，使分子极限为，分母极限为，则结果为 abn,mnmbm
mx若，用除以分子、分母，使吩子极限为0，分母极限为，则结果为0. bn,mm
nx若，用除以分子、分母，使分子极限为，分母极限为0，则结果为. a,n,mn
13
,,nm0,
,,nn1ax，ax，？，ax，aa,,nn110n所以， ,n lim,,m,,mm1,,xbxbxbxbb，，？，，,mm110m,
,,,n,m,
上述结论也适用于，不是正整数的情况. mn
0 2(对“”型的极限，可先分解因式或有理化分式，将分子、分母中的零因子约去，再求极限。 0
3(对“”型的极限，若是分式相减的，可先通分;若是根式相减的，可先根式有理化，再求,,,
极限。
例4 利用两个重要极限求极限
,xcosxx,1,,2 (1) (2) limlim,,x,1,,x1,xx，1,,
1sin(,2x)sinlim (3) (4) lim(1,x)x,0x,0ln(1，2x)
解 (1)作变量替换，则当时，那么 1,x,tx,1t,0
,,,,,,,tcos,,,xttcossinsin,,,22,,222 limlimlimlim1,,,,，,x,1t,0t,0t,0,xtt1222,t2
,1x,,,x，，1,,,,1,,lim1，,,,,,,,1,,,xx,0,1x,,,,，，1x,ex,,,,,,,2lim,lim,,,e(2) ,,xxx,,x,,x，1e,,11,,,,1lim1，，,,,,x,,xx,,,,
sin(,2x)2xsin(,2x)lim,lim (3) x,0x,0ln(1，2x)2xln(1，2x)
sin(,2x)lim,1x,02x,, 1，，1，limln(12x)2x,,lnlim(1，2x)x,02xx,0,,，，
14
,1 ,,,1lne
(4)方法一:
11(x),?,sinxxsinx lim(1,x),lim(1,x)x0x0,,
1,，，,x,1x lim(1)lim,,x,e,,xx,0,0sinx，，
111ln(1,x)sinxln(1,x)sinxsinx(1,x),e,e 方法二:因为
ln(1x)xln(1x),,limlim 且 ,x,0x,0sinxxsinx
1x,1lnlim(1,)xlnex,0 ,,,,1 sinx1limx,0x
1,1xsin? lim(1,x),ex,0
xsin小结: 1.利用公式时，必须是在的过程下才成立，如果公式中处是一个其他x,0lim,1xx,0x
,sin(x),(x),(x),(x)lim变量，则极限式中的三个应该是一样的，而且是趋于0的，这样,(x),0,(x),xsin()lim,1才成立。 ,(x),0,x()
111,(),xxx1lim(1，),e(公式或可用于求的型极限，可推广为或2lim(1，),elim(1，x),e(),0x,,,0x,x,(x)x
1,(x)lim(1，,(x)),e. ,(x)0,
例5 利用函数的连续性求极限
2，3,1xxlim(1) (2) limln(sinx，2)x,1,x,1ex,2
15
f(x)分析 对连续函数有，所以求连续函数的极限时，只要将代入xlimf(x),f(x)limf(x)00x,xx,x00
f(x)中的，求出函数值即可. f(x)x0
22xx，3,11，3，1,1lim,,3解 (1) x,11,1x,1ee
,,, (2) limln(sinx，2),lnsin，2,ln3,,,2x,,,2
例6 利用无穷小量代换求极限
1，xsinx,1tanx,sinxlim(1) (2) lim23xx,0x,0xe,1
1，x,1(1，x),1分析(1)因为 lim,limx,0x,011xx(1，x，1)22
2,lim,1 x,0x(1，，1)
2e1,?lim,1 x,0x
1所以 1，x,1~x(x,0)2
xe,1~x(x,0)
故解题中可作类似的等价无穷小量代换.
tanx~x(x,0),sinx~x(x,0)(2)如果用进行等价无穷小量代换，即
xxxxtan,sin, lim,lim,033x,x,00xx
这种做法是错误的，这是因为加、减项的无穷小量不能用等价无穷小量代换。
16
1(x,0)解(1)因为 1，xsinx,1~xsinx2
2x2(x,0) e,1~x
1xxsinxx，,1sin12,所以 limlim 22xx,0x,0xe,1
1sinx1lim? ,,x,02x2
tanxsinxsinx(1cosx),,limlim (2) ,33x,x,00excosx
2xx,112,lim,lim, 3x,0x,0xcosx2cosx2注意:用无穷小量代换求极限，必须是两个无穷小量之比的形式或无穷小量作为极限式中的乘积因子，
而且代换后的极限存在，才可使用等价无穷小理代换。
x,0,1x,e, 0,x,1例7 设 (),fxx,
,2lnx, x,1,1x,
f(x)讨论在点x,0，x,1处的连续性.
f(x)分析 讨论分段函数在分段点处的连续性，只要研究函数在该点处的左、右极限情况，然后再
由函数连续性的定义判断.
f(x)解 先研究函数x,0在点处的情形，因为
1x,limf(x),lime,0 ,,x,x,00
,limf(x),limx,0，，x,0x,0
f(0),0且，所以 limf(x),limf(x),f(0),，x,0x,0
17
f(x)即在处连续. x,0
f(x)再研究函数在点处情形，因为 x,1
limf(x),limx,1 ,,x,1x,1
22xtlnln(1，)fx lim(),lim,lim，，，x,1x,1t,0xt,1
t2/2 ,limln(1，t),limlne,2，，t,t,00
limf(x),limf(x)那么 ,，x,1x,1
f(x)limf(x)所以不存在，故在处间断。 x,1x,1
例8 求下列函数的间断点，并判断属于何种类型间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续.
2xx,1f(x),f(x),(1); (2) 2x,3x，2tanx分析 这两个函数都是初等函数，初等函数在其定义间内是连续的，因此所有函数的间断点，就是使
函数没有定义的点。
f(x)解 (1)令函数中的分母为零，即
2 x,3x，2,(x,1)(x,2),0
得x,1或x,2
f(x)由间断点的定义可知，x,1，x,2是函数的间断点，因为
2xx,1，1fxlim(),lim,lim,,2 2x,1x,1x,1xxx,3，2,2
x,1所以是可去间断点，补充定义
18
2,,1x x,1,2 (),fx,3，2xx,
x,1,,2,
f(x)那么，函数在处连续，又因为 x,1
2x1x1,，limf(x)limlim,,,,, 2,,x,2x,2x,2x3x2x2,，,
2x1x1,，limf(x)limlim,,,，, 2，，，x,2x,2x,2x3x2x2,，,所以是第二类(无穷型)间断点。 x,2
xf(x)f(x),(2)使分母是为零及无定义的点的间断点 tanxtanx
,)f(x)做，及为整数为的间断点。 x,n，(nx,n,,2
x,n,(n,,1,,2,？)当时
xlim ,,x,n,tanxx,n,(n,, 1,, 2？)故为第二类(无穷型)间断点. 当x,0时，因为
x lim,1x,0xtan所以在x,0处为第一类可去间断点，若在x,0处补充定义
x,x,0 ,f(x), tanx,
,1,x,0
f(x)x,0则在处连续.
,当(为整数)时，因为 x,n，n,2
19
x lim,0,xtanx,n，,2
,,所以为可去间断点，若在处补充定义. x,n，x,n，,,22
,x x,n，,,,2f(x), tanx,
,,0, x,n，,2
,f(x)则在处连续 x,n，,2
f(x)f(a),a,f(b),b,,bf(,),,例9 设在上连续，若，试证:至少存在一点，使 ,,a,b
F(x),f(x),xf(x)F(x)证 作辅助函数，由于在上连续;因此在上也连续，又 ,,a,b,,a,b
F(a),f(a),a,0F(b),f(b),b,0
F(,),0(a,b),故在内至少存在一点，使，即
f(,),,(a,,,b)
三、自我检测题
(一)单项选择题
f(x)1.若(常数)，则在点处( ) xlimf(x),A0x,x0
A(有定义，且; B(不能有定义; f(x),A0
C(有定义，且可为任意值; D(可以有定义，也可以没有定义. f(x)0
f(x),A,a,，又则当时，是( ) 2.若x,xlimf(x),Aa0x,x0
A(有界变量; B(无穷小量; C(无穷大量; D(常量
2x,1y,3.当( )时，为无穷大量. x,x(x,1)
A(1; B(0;
C(; D( ，,,,
4.下列等式中，( )成立。
20
2x21,,,,，,elim1A(; B(; ，,elim1,,,,x,,,,xxx,,,,
xx，211,,,,lim1C(; D(. ，,e，,elim1,,,,,,x,,x2xx,,,,
5(当时，( )不是无穷小量 x,0
A(lnsinx; B(; 1，x,1,x
132,x，x1,,2x2,sinC(; D( e,,x，2x,,
6.当时( )与不是等价无穷小量。 x,0x
ln(1，x)A(; B(; 1，x,1,x
C(; D( sinx.tanx
7(设
1, x,0sinx,x, f(x),p, x,0,1,xsin，q x,0x,
在x,0处连续，则p,q的值为( )
p,1,q,1p,0,q,1A(; B(;
p,1,q,0p,0,q,0C(; D(.
f(x)(a,b),f(,),0.8(若在上连续，且( )时，则在内至少存在一点，使 ,,a,b
f(a),f(b)f(a),f(b)A(; B( ;
f(a)fb,0f(a)f(b),0.C(; D(.
(二)填定题
sin5xlim 1( ; ,x,03x
x1,,lim1 2(，, ; ,,x,,2x,,
y,f(x) 3(若在点处连续，则 ; xlimf(x),0x,x0
f(x) 4(若，同叫做的 间断点; xlimf(x),A,f(x)00x,x0
nmxx,01,cosx 5(若时，无穷小量与等价，则 ， . m,n,
21
6(设函数
x,0,x，53
,fx, ()1 x,0,
,2x，A x,0,
f(x)若在处极限存在，则A ; x,0
7(设
tan2x, x,0,f(x), x,
,A, x,0
f(x)若在处连续，则A ; x,0
(三)计算题
1(求下列各极限
x，12x3x，sin2x,,,lim (1) (2) lim,,x,0x,,2x1x,sin2x，,,
21，x,122lim (3) (4) lim(x，1,x,1)0x,x,,sinx
3(sinx)tanx14,,lim,lim (5) (6) ,,22x,2x,0x,2x,41,cosx,,
2(设
2 x,1,(x,2)
,f(x),x ,1,x,1 ,
,x，1,x,,1
f(x) 讨论的连续性，并写出其连续区产
3(求下列函数的间断点，并说明是哪一类，若可去，则补充定义，使其在该点连续.
21(x，1)y,y,arctan (1) (2) 2x,1x
(四)证明题
3x,3x,1 1.证有方程在(1，2)内到少有一实根.
自我检测题答案或提示
(一)1(D 2(B 3(B 4(D 5(A 6(B
7(A 8(C
51(二)1( 2( 3( 4(可去 5(，2 6(3 f(x)e032
7(2
22
1,2e(三)1((1)-3 (2) (3)0 (4)0 (5) (6)2 4
f(x)(,,,,1)(,1,，,) 2(在分段点处连续，处间断，所以其连续区间为 x,1x,,1
x,0,3((1)第一类跳跃间断点.
y(,1),0 (2),可去间断点，定义 x,,1
,第二类间断点(无穷型) x,1
(四)1.利用定理2.4(零点定理)证之。
导数与微分的例题分析及解法 本章小结
本章介绍民数和微分的概念及求法。
一、导数概念 导数来源于各种实际问题，它描述了非均匀变化过程的变化率，例如变速直线运动的
瞬时速度、质量分布不均匀细直杆的线密度、曲线切线的斜率等等。
y,f(x)一个给定函数在点处的导数定义为 x
dyfx，,x,fx()(),,fx, (3-1) ()lim,x,0dx,x
dy,,yf(x)导数记号或书写起来比较尊简单，记号则表明是对变量求导，故在复合求导时常用这xdx
种记号。
,y,f(x)导数的几何意义是:表示曲线在点处切线的斜率，因而切线方程是: f(x)(x,f(x)000
, (3-2) y，f(x),f(x)(x,x)000
,,,,,f(x)f(x),f(x)f(x)当变化时，导数也随之变化，因此是的函数，称为导函数的导数称为xx
f(x)的二阶导数，二阶导数的一种物理解释是变速直线运动的加速度。
二、基本导数公式和导数运算法则 要牢记六类基本初等函数的导数公式，即
axy,c,x,a,logx,lnx,sinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx,arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx的导a
数公式。
要熟练掌握函数相乘、相除和复合的求导法则:
,,,(u,),u,，u, (3-3)
,,,,uu,u (3-4) (,2,,
y,f(u),u,g(x)若，则
ddfduf(g(x)), dxdudx
23
三、初等函数求导法 在牢记基本初等函数导数公式和求导运算法则的基础上，熟练掌握初等函数微
分法，其中关键是掌握复合求导法则。
f(x)dy四、微分概念 函数在点处关于自变量改变量的微分定义为 ,xx
,,dy,f(x),x,f(x)dx (3-6)
微分形式不变性公式:
,dy,f(u)du (3-7)
y,f(u)其中，而可以是自变量，也可以是另一变量(例如)的函数。 ux
利用微分进行近似计算的公式是
, (3-8) f(x，,x),f(x)，f(x),x000
,x,(t),y,y(x)五、参数方程求导法 由参数方程所定义的函数的导数由下列公式来求: ,,y,(t),,
,,,,dy(t)dt(t),y(x),,, (3-9) ,dx(t)dt'(t),,
二阶导数按下式计处算:
2,dyddxdy,(), (3-10) 2dxdxdxdx
,y 其中由式(3-5-9)给出
F(x,y),0y,y(x)六、隐函数求导法 由函数方程确定的隐函数的导数，按下列方式来求:
F(x,y(x)),0y,y(x)对两端同时对求导，注意到其中y是的函数:，故求导时需要用到复合xx
求导法则。
一、疑难解析
导数，是微积分学中的一个重要的基本概念，导数是用极限来描述的，或者说它是一种特殊形式的极
限，即改变量比值的极限，用极限来描述微积分学中的各个基本概念，这也体现了极限作为一种研究工具
在本课程中的重要性。
(一) 关于导数概念
,y函数在一点的导数是一个特殊形式的极限——改变量比值，当,x趋于零时的极限，这就需要很,x
,y,y好地了解表达式,x，及的含意。主要应注意以下几点: ,x
y,f(x)x,x1(对函数在点处给一个改变量，由此便得到函数值相应的改变量 0
,y,f(x，,x),f(x)00
24
从导数的定义可以看出函数应在点及其某个邻域内有定义，否则导数不存在。 x0
,y2(在定义导数的极限式中，趋于零可正、可负，但不为零。而可能为零。 ,x
,yy,f(x)y,f(x)3(是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上,xx,x
点及点的割线斜率。 (x,f(x))(x，,x),f(x，,x))0000
4(由导数的定义以及极限的性质还可引出两个特殊的极限式，即
fx，,x,fx()()00 lim，,x,0,x
fx，,x,fx()()00及 lim,,x,0,x
y,f(x)一般地，若这两个极限存在，把它们分别称为函数在点处的右导数及左导数，并分别记x0
,,，由极限的性质可知，导数不存在时，这两个极限或其中之一可能存在，而且显然有存为f(x)f(x,1)00
,,,,在的充分必要条件是及都存在且=。 f(x，0)f(x,0)f(x，0)f(x,0)0000
y,f(x)5(函数在点处导数不存在可分为以下几种情况: x0
,在点处无定义; x1f(x)0
,在点处不连续; 2f(x)x0
,y,y,f(x)趋于，这种情况下函数曲线在点的切线可能存在，但这时切线垂直于3(x,f(x)),x00,x
轴。
,y,y,y,f(x)不存在，也不趋于，这时函数曲线在点处的切线不存在，函数4lim(x,f(x)),00,x,0,x,x
曲线在该点可能出现了尖点或间断。
,,,y,f(x)5f(x，0)和都存在但不相等，这时曲线在点处的切线不存在，函f(x,0)(x,f(x)0000数曲线在该点可能出现了尖点或间断。
y,f(x)6(函数在点处的导数是一个局部概念，它只与函数在附近的函数值有关。而函数xx00
,y,f(x)f(x)f(x)的导数函数是当在定义域内的每一点都可导时，把每点的导数看作函数值所构成的
y,f(x)一个函数，要对函数的导数与导函数这两个概念加以区别，它们之间的关系是:函数在点处x0
,f(x)的导数就是函数在点的值。 x0
(二)熟记导数基本公式的方法
1(将16个导数基本公式分成四组来记忆
(1)常数与幂函数
aa,1,,(c),0， (x),ax
25
(2)指数函数与对数函数
(*) xx,,(a),alna, ,xxx,,(e),elne,e(**) ,
1,,(logx),logeaa(*) ,,x , 11,,(ln)logx,e,a(**) ,xx,
1xxxx,,,e(lnx),注意 经过大量练习后、比较熟悉和。如果忘记可以将改写为(e),e(a),?x
lnxxlnae，将改写为，然后用(*)可求(**) logxalna
(3)三角函数
,,(sinx),cosx(cosx),,sinx
22,, (tanx),secx(cotx),,cscx
,,(secx),secxtanx(cscx),,cscxcotx
(4)反三角函数
1,(arcsinx), 21,x
1,(arccosx),, 21,x
1,(arctanx), 21，x
1,(arccotx),, 21，x
2(分析各组公式的特点
(1)幂函数、指数函数和三角函数的导数还是幂函数、指数函数和三角函数。这三种函数的导数还
是同类函数、而对数函数和反三角函数的导数是分子为1的公式。
(2)正弦、正切、反正弦、反正切的导数带正号;余弦、余切、反余弦、反余切的导数带负号。 (3)正弦与正切的导数，分别是余弦与正割平方，余弦与余切的导数，分别是正弦与余割平方但要
加负号。
(4)反正弦与反余弦的导数仅差一负号;反正切与反余切的导数也仅差一负号，因为
,arcsinarccos x，x,2
,(arcsinx)，(arccosx),0所以
故反余弦与反正弦的导数仅差一负号。
ax3(初学者常易将幂函数与指数函数加以混淆，要注意前者底数是变量，后者指数是变y,xy,a
量，它们的导数公式分别是:
26
aa,1, (x),ax
xx, (a),alna
x而当我们见到函数，发现它既非幂函数亦非指数函数，故上面的两个导数公式都不能用，求这y,x
种函数的导数将采用取对数求导的方法。
(三)关于微分概念
,y,f(x)dy,f(x),x.函数的的微分定义为因此函数在某点可导与该点微分存在是等价的。微分的
y,f(x)(x,f(x))在点处的切线的纵坐标的改变量。 几何意义是曲线
从形式上看，导数与点有关，而微分不仅与点有关，还与自变量的改变有关。 ,xxx00
,y,1，则，因而有 令y,x
dy,dx,1,x,,x
即 dx,,x
故微分又记为
, dyf(x)dx,0
dy导数的另一记法为，表时导数可以看作函数的微分与自变量的微分相除，故导数又称为微商，即dx
微分之商。
二、例题分析 例1 为下列各题选择正确答案:
, (1)在下列各式中，( )。 ,f(x)0
fx,fx，,xfx,fx,,x()()()()0000 (A); (B); limlim,x,,x,00,x,x
fx，,x,fxfx,,x,fx()()(2)()0000 (C); (D);。 limmil,x,,x,00,x,x
2,y, (2)设，则( )。 y,cos2x
(A)2sin2x; (B)4cos2x;
(C)2sin4x; (D),2sin4x。
lnx,x,1f(x)(3)设 ，则在点x,1( )。 f(x),,x,1x,1,
(A)不连续; (B)连续但不可导;
,,f(1),0f(1),1. (C); (D)
2y,lnx(4)当参数( )时，曲线与相切。 y,axa,
27
11e (A); (B)2; (C); (D) 22e2
,,f(u)y,f(lnx)y,(5)设存在二阶导数，，则( )
11,,,,,,(A); (B) ,,f(lnx)，f(lnx),,f(lnx),f(lnx)22xx
111,,,,,,, (C) (D) ,,f(lnx),f(lnx),f(lnx)，f(lnx)22xxx
解 (1)按导数的定义式整理各式，分别得
f(x),f(x，,x)f(x，,x),f(x)0000, lim,,lim,,f(x)0,x,,x,00,x,x
f(x),f(x,,x)f(x，(,,x)),f(x)0000, lim,lim,f(x)0,x,,,x,00,x,,x
f(x,,x),f(x)f(x，(,,x)),f(x)0000, lim,lim,,f(x)0,x,,,x,00,x,,x
f(x，2,x),f(x)f(x，(2,x)),f(x)0000, lim,2lim,2f(x)0,x,,x,020,x2,x
正确答案应选择(B)
(2)设，，根据复合函数求导法则有 u,cos2x,,2x
,dydydud2,,, ,??,(u)?cos,),(2x)u,xdxduddx,
,2u(,sin,),2
,,2(2sin2xcos2x),,2sin4x
正确答案应选择(D)
f，,x,f(1)(1)f(x) (3)在可导等价于存在，分别考察左、右导数。 x,1lim,x,0,x
f，,x,f，,x,(1)(1)ln(1)0, limlim，，,x,0,x,0,x,x
1,x,limln(1，,x) ，,x,0
1,x,ln(lim(1，,x)) ，,,x0
,lne,1
f，,x,f，,x,,(1)(1),,(1)10, limlim,,,x,0,x,0,x,x
x, ,lim,1,,x,0x,由此可知
f(1，,x),f(1), lim,f(1),1,x,0,x
正确答案应选择(D)
(4)两曲线相切，在切点处满点
28
x,ax,lnx, ,12ax,,x,
111122解此方程组得，，即两曲线在(，)点相切，正确答案应选择(C)。 a,x,ee2e2(5)由复合函数求导法则得
1,,,, y,f(lnx),(lnx),f(lnx)x再由导数四则运算法则和复合函数求导法则得
,111，，,,,,,,,,y,f(lnx),()f(lnx)，f(lnx) ,,xxx，，
11,,,, ,,f(lnx)，f(lnx),(lnx)2xx
1,,, ,,,,f(lnx),f(lnx)2x正确答案应选择(B)
例2 给出下列各题的正确答案:
fxhfxh，,,()()00y,f(x)(1)设在点处可导，则 。 x,lim0h,0h
x,ex,0,f(x),(2)设 在点x,0处可导，则k, 。 ,k,x,0x，1,
,20,0(3)曲线在点()处的切线方程是= 。 y,cos(x，)2
2x()dfef(u),(4)已知是可导函数，则 。 dx
1,,y,y,x，(5)设，则 。 x
解 (1)经过整理可得
fxhfxhfxhfxfxfxh，,,，,,,()()()()()()，，000000,，limlim ,,h,h,00hhh，，
fx，h,fxfx，,h,fx()()(())()0000,， limlimh,,h,00h,h
按导数的定义可得
f(x，h),f(x,h)00,,, lim,f(x)，f(x),2f(x)000h,0h
y,f(x)(2)函数在点可导又等价于极限 x0
fx,fx()()0lim x,x0x,x0
29
f(x)存在。考虑在点处的左、右导数: x,0
xfxfe(),(0),1 lim,lim，，,,0xxxxx,0
xln(1，y),xy,0.作变量替换，则，当时 x,0y,e,1
故
xe,1y1lim,lim,lim 1，y,y,00x,0xln(1，y)yln(1，y)
11 ,,,11elnyyln(lim(1，)),y0
kf(x),f(0)(x，1),1k,1lim,lim,limx ,,,x,0x,0x,0x,0x
f(x)至此可看出，只有当时，左、右导数相等，在点处才可导，故 k,1x,0k,1.
,(0,0)y(3)曲线在点处的切线斜率为 x,0
,,, y,2cos(x，)(,sin(x，))22
,,sin(2x，,)
,(0,0)y,0y,0故，因此曲线在点的切线方程为: x,0
22x,,x(4)设u,e,，由复合函数求导法得
2xdfedfdud(),,,, dxduddx,
,, ,f(u),e,2x
22xx,,2xef(xe) (5)按高阶导数定义:
1 y',1,2x
2,, y,3x
例3 设函数
3,(，1)xx,0(),fx ,x,03x，1,
30
,f(x).求
分析 这是一个分段函数，在每个分段区间上都是多项式函数，可直接用性质和公式求导，特别注意
在分段点上要用导数的定义来验证。
3解 当时，有，因而 x,0f(x),(x，1)
2, f(x),3(x，1)
f(x),3x，1当时，有，因而 x,0
,f(x),3
f(0),1当时，有，考虑极限 x,0
f，,x,f(0)(0) lim,x,0,xf(x)因为在点的两边分段表示，所以考虑单侧极限 x,0
f，,x,ff，,x,f(0)(0)(0)(0)及 limlim，,,x,0,x,0,x,x
3，,x，,(01)1lim ，,x,0,x
32,x，,x，,x，,()3()311,lim ，,x,0,x
2 ,lim((,x)，3,x，3),3，,x,0
x3(0，,)，1,1,,而 ,lim,lim3,3,,,x,0,x,0x,
f，,x,ff，,x,f(0)(0)(0)(0),,即有 limlim，,,x,0,x,0,x,x
f(x)所以函数在点x,0处可导，且导数为
,f(0),3 综合而得
2,3(，1)x,0x,(), fx,x,03,
例4 求下列函数的导数
1,,x553(1)y,x,5，5x，ln5,5 (2)yx ,(,3)，3,,3x,,
x，1sinx,,y,y,(3) (4)，求y() 31，cosxx
31
分析 本例采用的求导方法是导数的四则运处算法则，求某点的导数先求导函数后代值的方法。
x55,,,,,,解 (1) ()(5)(5)(ln5)(5)y,x,，x，,
14x ,5x,5ln5，，0,054x
1x4 ,,，5x5ln554x
1,,(ln5),0注意:因为是常数。初学者易犯如下错误: ln5(ln5),,5(2)方法一，用乘积的求导法则，有
1113y,，，x,,(3)(3)() 3332xxx3x3
111111 ,，,，,， 3333223x3xxxxxxx方法二，先化简再求导
11,1333 y,(x,3)(，3),(x,3)(x，3)3x
1111,,3333 ,1，3x,3x,9,3x,3x,8
1124,,,113333,,,, y,(3x),(3x),(8),x，x,，332xxx
(3)方法一 用商的求导法则，有
,,(x1)x(x1)(x)11，,，,y(x(x1) ,,,，2x2xx
11411,,,,(1,) xx2x2xx2x
1,2方法二 先将原式写成y,(x，1)x，再利用乘积的求导法则，有
11,,22,,,y,(x，1)x，(x，1)(x)
1313,1112222,x,(x，1)x,x,x 222方法三 先将原式变形，再求导
11,11x，22y,,x，,x，x xx
32
13,,111122,y,x,x,(1,) ？x22x2
,,(sinx)(1，cosx),sin(x)(1，cosx),y,(4) 2(1，cosx)
cosx(1，cosx),sinx(,sinx), 2(1，cosx)
22cosx，cosx，sinxcos，11,,, 22(1，cosx)(1，cosx)1，cosx
,112, (),,,y,1331，cos1，32
例5 求下列函数的导数
2arctanx,y,ln(x，x，1(1)y,e，(2) (3)求 y,lncos2xy(3)
分析 本例采用的方法是复合函数求导法，设中间变量的目的是尽可能使函数成为基本初等函灵敏或
基本初等函数的四则运算。
u解 (1)设，，利用复合函数求导法则:有 u,arctan,y,e,,x.
11uu,,,,,y(e)(arctan)(x)e,,, ,xux21,，2x
代回原变量，整理得
1arctanx,y,e x2(1，)xx
也可以不设中间变量。
1arctanxarctanx,,,y,e(arctanx),e(x) x21(x)，
(把看成) (把 看成) arctanxxu,
111arctanxarctanx,,,ee 1，x22(1，)xxx
(2)设利用复合函数求导法则:有 y,lnu,u,cos,,,,2x.
11,,,,y(lnu)(cos)(2x)(sin),,,,, xu,xu2x
代回原变量，整理得
33
,sin2xtan2x,y,,, x2xcos2x2x
如果不计中间变量，求导过程还可写成
11,,,y,(cos2x),(,sin2x)(2x) xxxcos2xcos2x
看成) (把 看成) (把cos2x2xu,
11,,,tan2x(2x),,tan2x 22x2x
(把看成) 2xu
,12,(3) ？yxx,(，，1)2xx，，1
，，112, ,1，(x，1),,22，，12，1xxx，，
12x1,(1，), 222x，x，12x，1x，1
11,(3) y,,22(3)1，
例6 得用隐函数求导法求下列函数的导数
xy,y,y(x), (1)由方程确定的求 xy,e，e,0yx
y22,x，y,(2)求 lnarctan,yxx
分析 本例采用的求导方法为隐函数求导法，有两种解法，第一种是在方程两端对自变量求导，将x
y视为中间变量，利用复合函数求导法则，第二种方法是对方程两端同时求微分，得用微分运算法则和一
阶微分形式不变性，求得微分后再求导数。
解 (1)方法一:隐函数求导法，方程两边对求导得 x
xy,(xy,e，e),0 x
xyxy,,,,,即 (xy),(e)，(e),y，xy,e，e,y xxxxx
yx, ,(x，e)y,(e,y),0
xe,y,y, 因而得出 yx，e
方法二:利用微分法，对方程两端求微分
xy d(xy,e，e),0
34
xyxy 即 d(xy,e，e),d(xy),de，de
xy ,ydx，xdy,edx，edy
yx ,(x，e)dy，(y,e)dx,0
xdye,y 整理得 ,ydxx，e
(2)方法一:方程两边对求导 x
22,,,，，11(xy)xyy22x,,,，,,ln(xy) 左边 x2222，，22xyxy
,,xy,yy1y,,x,右边 ,(arctan),,,,22y，xxxy2,,1()，x
,,x，yyxy,yxx, 即 2222x，yx，y
x，y,y, ？xx,y
方法二:对方程两端求微分
12223左端 ,d(lnx，y),d(x，y)22x，y
11122 ,,d(x，y),(xdx，ydy)222222x，yx，y2x，y
yy1右端,d,d (arctan)()yxx2，1()x
1xdy,ydx1,,,,(xdy,ydx) 222yxx，y21，()x
xdx，ydy,xdy,ydx 由此得
整理得
dyx，y, dxx,y
例7 利用对数求导法，求下列函数的导数
x (1) y,(tanx)
35
(x，1)(x，2)3 (2) y,(x，3)(x，4_
分析 对数运算的性质可以化乘除以加减，化幂为乘，而导数的乘除运算都比较繁，所以当遇到幂
指函数，或乘除、乘方、开方的形式时，用取对数求导会很好地简化计算。
解 (1)两边取对数得
lny,xlntanx
上式两边对求导得 x
1x2,,y,lntanx，secx ytanx
所以
xx,12, y,(tanx)lntanx，x(tanx)secx
(2)两边取对数得
111111，，,,y,，，， ,,y3x，1x，2x，3x，4，，
所以
x，x，1(1)(2)1111,3 y,，，，()x，x，x，x，x，x，3(3)(4)1234
,例8 求由下列参数方程所确定的函数的导数 y.x
2,x,,1，2t,t,(1) ,3,y,2,3t，t,
x,a(t,sint),(2) ,y,a(1,cost),
分析 在参数方程所确定的函数中，求导时要注意区分自变量与因变量。正确运用公式。
,x,(t),解 (1)当函数是由参数方程确定时 ,y,,(t),
,,dy(t), ,dx,(t)
由于
dy,2,,3，3t,,dt ,dx,,2,2t,dt,
所以
36
2dy,3，3t3,,,(1，t) dx2,2t2
dy,,,,,a(1,cost),asint,,dt(2) ？,dx,,,,,a(t,sint),a(1,cost),dt,
dysintt ,,cot ？dx1,cost2
例9 求下列函数的微分
2 (1) y,xsinx，xlnx,3x，2
2(2) y,sin(3x，5)
322(3) y,xy，2x，y
,y,f(x)dy,f(x)dx分析 由于函数在点处的微分为，因此只要求出导数，便可得到微分，故求x
导的各种方法都可以用于微分，但微分也有自己的运算法则，在求微分时尽可能使用微分法则常常使求解
过程简化
解 (1)利用微分的四则运算法则
2 dy,d(xsinx，xlnx,3x，2
2 ,d(xsinx)，d(xlnx)，d(,3x)，d(2)
22,sinxdx，xdsinx，lnxdx，xdlnx,3dx
2 ,(2xsinx，xcosx，lnx,2)dx
,dy,ydx(2)方法一:利用公式
,y,2sin(3x，5)cos(3x，5)，3
dy,6sin(3x，5)cos(3x，5)dx,3sin2(3x，5)dx
方法二:利用微分形式不变性
2 ,, dy,dsin(3x，5),2sin(3x，5)dsin(3x，5)
,2sin(3x，5)cos(3x，5)d(3x，5)
,6sin(3x，5)cos(3x，5)dx
,3sin2(3x，5)dx
(3)两边求微分
37
222 3ydy,d(xy)，d(2x)，dy
2 3ydy,ydx，xdy，4xdx，2ydy
y，4xdy, 23y,2y,x
例10 求下列各函数的高阶导数
432(4)(1)，求 y,x，5x,7x，9y
,,y,arctan2xy(1)2)求 (
23,,,y,y(3)，求 xy，y,2x,1x,1y,1y,1
分析 高阶层数就是导函数的导数，除了对像以外，定义思想和求导方法都与以往类似，在解题过程
中要注意，若求函数在某点处的高阶导数，要先求出导函数，丙代值。
32,解 (1) y,4x，15x,14x
2,, y,12x，30x,14
,,,y,24x，30
(4) y,24
12,,y,(2x), (2) 221，(2x)1，4x
,22,2(1，4x),2(1，4x)16x,,y,,, ？2222(1，4x)(1，4x)
16,,y(1),, ？25
(3)等式两端对求导 x
22,, 2xy，xy，3yy,0
2xy,y,, ？22x，3y
1, y,,x,12y,1
22,,d(2y，2xy)(x，3y),2xy(2x，6yy),,,y,(y),, 222dx(x，3y)
38
22,,4xy(x，3yy),2(y，xy)(x，3y), 222(x，3y)
1, 将x,1,y,1,y,,代入，求得 2
3,, y,,x,18y,1
3 例11 求曲线在点(1，2)处的切线方程及法线方程。 y,x,x，2
y,f(x)的曲线，在处的切线方程为 分析 对于可导函数x,f(x)00
, y,f(x)(x,x)，f(x)000
2,解 ，曲线在点(1，2)处的切线斜眩为 y,3x,1
2, k,y(1),3，1 ,1,21
因此，过点(1，2)的切线方程为
y,2,2(x,1)
2x,y,0即
法线方程为:
1 y,2,,(x,1)2
x，2y,5,0即
3例12 用微分方法计算的近似值 25
,y,dy分析 对于可导函数，当自变量的增量很小时，可以用微分的似代颠倒是替函数增量，即换
一种形式可写成
,f(x，,x),f(x)，f(x),x， 这就是近似计算函数值的公式。
解 当,x很小时，近似地有
,f(x，,x),f(x)，f(x),x
33设 f(x),x，f(x，,x),x，,x
2,1333x，,x,x，x,x ？3
39
233325,27,2,31, 现在 27
2 令有 x,1,,x,,.27
212279311,,1，，(,),1,, 273278181
79793 因此 25,3，,,2.9268127
三、自我检测题
(一)单项选择题
fxfx()()f(0),0 1(设且极限存在，则=( )。 limlimx,0x,0xx
,f(0)f(0) A(; B(;
,f(x) C(; D( 0
,f(x),x(x,1)(x,2)？(x,99)f(0) 2(设，则=( )。 A(999; B(-999;
C(999～; D(-999～
3(下列论断中，( )是正确的。
f(x)f(x)A(在点有极限，则在点可导; xx00
f(x)f(x)B(在点连续，则在点可导; xx00
f(x)f(x)C(在点可导，则在点有极限; xx00
f(x)f(x)D(在点不可导，则在不连续但有极限。 xx00
sinx,y, 4(则( ). y,x
sinx,1sinxsinx,xxlnxA(， B(;
xxsincossinxsinxxxxxC(; D( (cosln，)xx
dy,y,lnx 5(设，则( )
11dx,dxA(; B(; xx
11C(; D(,dx dxxx
40
22,4x，18x，166(设，则( ) f(x),x，3x,2
,,,f(f(x))f(f(x))A(; B(;
,,,f(f(x))f(f(x))C(; D( (二)填空题
1.设函数
1,2sinxx,0, (),fxx,x,0,0,
,f(0), 则 。
,,f(x)2(设是可导的偶函数，已知则 。 f(x),3f(,x),00
df(lnx)x2xx 3(设，则 。 ,f(e),e，5edx
4(设
3,x,t，t,1, ,2,y,3,2t,
dy 则 。 ,t,1dx
2y,x,sinydy, 5(由方程确定了y是的隐函数，则 。 x
2x,y, 6(设则 。 y,x
P2 7(抛物线在点处的切线方程是 。 M(,P)y,2px(p,0)2
,,y,xlnx,y, 8(设则 。
(三)计算题
, 1(求下列函数的导数: yx
2x2xy, (1); (2); y,(xx，3)elnx
22xxxxeexf(x)y,x，e，x，e (3); (4) y,f(e)e
,n (5) (6) y,sinxcosnxy,xsin(lnx,)4
3223y,x，xy,3xarcsinx，(x，2)1,x (7) (8)
41
2,x,t，1,yx (9) (10) x,y,,1t,y,2t，1,
dy: 2(求下列函数的微分
1,xy,cotx，cscxy,arcsin(1) (2) 1，x
1,x3y,y,x，lny(3) (4) 1，x
3(求下列函数的二阶导数:
2222 (1) (2) y,(1，x)arctanxx，y,a
2yxyy,f(x)x，e,4,2e 4(若曲线由方程确定，试求此曲线在处的切线方程。 x,1(四)证明题
,f(x)f(x) 1(设是可导的奇函数，试证是偶函数。
,y,f(x)f(0),0. 2(若偶函数在点可导，试证 x,0
自我检测题答案或提示
(一)1(B 2(D 3(C 4(C 5(C 6(A
2lnx，5 (二)1(0 2(-3 3( 4(-1 x
xp1212xdxx(2ln21nx,)y,x， 5( 6( 7( 8( 2,cosyx2x
x(2lnx,1)32x (三)1((1) (2) (2xx，x，6)e2lnx2
22xx1x，1xxee，x (3) x(2lnx，1)，2xe，ex(lnx，)，ex
f(x)xxxn,1,, (4),, (5) ef(e)e，f(x)f(e)nsinxcos(n，1)x
29xarcsinx6) (7) (2sinlnx
1，2xt，1 (8) (9) 223t(t，1)6x(x，2)
xlny,yy, (10) ylnx,xx
42
11 2((1) (2) ,dxdxcosx,1x(1，x)
2311，xy,,dx,dx (3) (4) ,,23(1，x)1,xy,1,,
2x2arctanx， 3((1) 21，x
1 4( y,,(x,1)4
(四)1(利用奇偶函数的定义和复合函数求导法则。
2(利用奇偶数的定义和导数定义。
导数应用的例题分析及解法
一、基本定理
1(罗尔定理 它是拉格郎日定理的特殊情形，也是证明拉格郎日定理和柯西定理的依据。
f(x),,(a,b)a,ba,b2(拉格郎日定理 如在〔〕上连续，在()内可导，则必须有使得
,f(b),f(a),f(,)(b,a)
请定理又称为微分中值定理。它在导数应用中起着重要的作用。
3(柯西定理 它是拉格朗日定理的推广，也是主明洛必塔法则和泰勒公式的依据。
f(x)(n，1)*4(泰勒公式 设在的邻域内有阶连续导数，则有: x0
,,,f(x)f(x)200 f(x),f(x)，(x,x)，(x,x)0001!2!
(n)(n，1)f(x)f(,)nn，10，？，(x,x)，(x,x) 00n!(n，1)!
,其中在与之间 xx0
f(x)上述公式称为在处的阶泰勒公式。当时的泰勒公式称为马克劳林公式。 xx,0n00
二、导数应用
0,1(洛必塔法则 用于求和型未定型的极限。 0,
0,使用洛必塔法则求极限应注意:(1)可连续使用;(2)每次的使用都必须检查是否为或型;(3)0,洛必塔法则失效时并不说明极限不存在，这时需要用别的方法求极限。
2(利用导数研究函数的性态，可通过函数作图的习题来复习，函数作图求解的步骤为:
(1)初步研究，如定义域、对称性、周期性等;
,,,,,,ffff(2)求出及并求出使，为零及不存在的点，这些点将义域分成若干个子区间;
,,,ff(x)f(3)列表示出在这些子区间内及的符号，此由确定在相应区间内的增减性和凸凹性，求f(x)的极值点、极值和拐点;
43
y,f(x)(4)求的水平渐近线和垂直渐近线(如果存在);
y,f(x)(5)适当地再算几个函数值，根据这些函数值、渐近线及列表示的内容，在坐标系内画出xoy的图形。
3(最大值最小值应用问题，关键是根据题意设置变量、建立函数关系。对于一般的应用问题，求出驻
点后，如果在所考虑的定义域内驻点是唯一的，则该驻点即为所求的最大点或最小点，不必进行判断。
4(其它应用
222 弧长微分公式:ds,dx，dy
,,yK,曲率: 232,〔1(y)〕，
1曲率半径: R,K
切线法解方程
一、疑难解析
(一)关于洛必塔法则
使用洛必塔法则时应注意以下几点:
0,,1 必须是型或型未定型才能使用该法则。如 0,
2x,2x,1lim 3x,0x，1
0, 用洛必塔法则就是错误的，因为经不是或型。 0,
0,,2 洛必塔法则可以连续使用，但每次使用前需验证是否为或型。 0,
,f(x)f(x),3limlim 洛必塔法则讲的是极限存在的充分条件，不是充要条件，定理中指出，如果存x,a,g(x)g(x)
f(x)f(x)limlimAA在且等于时，那么才存在且等于，但反过来则不一定成立，事实上有的存在，而x,ax,ag(x)g(x)
,x，sinxf(x)limlim不存在或求不出来，这时就不能用洛必塔法则，如教材中的例 x,ax,，,,g(x)x,sinx
x,xx,xx,xeeeeee，,，limlimlim,,,？ 再例如 x,xx,xx,xx,，,x,，,x,，,eeeeee,，,
出现循环情况，应换方法计算(不再用洛必塔法则)
x,x,2xeee，1，lim,lim,1 x,x,2xx,，,x,，,eee,1,
,xe(分子、分母同乘以)
44
(二)关于极值点和驻点的关系
极值点和驻点是两上不同的概念，但由于判断极值点对时常先要判断是否为驻点，故许多同学易混淆这两类点的概念，现说明如下:
(1)两者定义的出发点不同:极值点是指这样的点—函数在这一点处的函数值大于或小于该点邻域内任何其它点的函数值:而驻点是指一阶导数为零的点;因此，从定义上看，极值点可以是可导点，也可是不可导点，而驻点一定是可导点。
(2)极值点成为驻点的条件:如果函数在所讨论的区间内可导，则函数的极值点一定最驻点。
,f(x) (3)驻点成为极值点的条件:如果函数一阶导数 在驻点左、右两侧邻域内符号相反，则该驻点一定是极值点(至于最大值眯还是极小值请见极值点的法法)
综上可知:函灵敏的极值点一定是驻点或导数不存的在点，因此求极值点时，只须求出全部的驻点和不可导点，再逐一考察它们是否为极值点就行了。
(三)极值与最值的区别与联系。
区别:(1)从定义上看，极值是一局部的概念，它是指函数在小范围内的最大值或最小值。由此可知函数在定义区间内的极大值(或极小值)有可能不止一个，可能同时有几个极大值(或极小值)，甚至出现极大值小于极小值的情况，但最值却不会有以上这些情形，最值是一个全局的概念，它是整个区间上函数值中的最大者或最小者。
(2)从存在性上看，一个函数的最值和极值有可能不同时存在。
情形一:最值存在而极值不存在。
我们知道:选择函数在闭区间上一定存在最大值和最小值(连续函数性持，)例如函数
f(x),x,0,x,4
1,f(x)f(x),,0,(0,x,4),在〔0，4〕上连续，故是
2x
f(4),2f(0),0f(x)单调增加函数，因此有最大值，最小值，但没有极值存在。
情形二:极值存在而最值不存在
32例如函数，,2,x,2，求极值得 f(x),x,x,x，1
132f(1),0f(,),极大值，极小值 327
(,2,2)而函数在开区间的端点没有定义，但存在左极限或右极限，分别是:
limf(x),,9,limf(x),3 ，,x,,2x,2
由于
1, limf(x),f(1),f(,),limf(x)极小极大，,x,,2x,23
f(x)因此在开区间(-2,2)内没有最大值和最小值。如图4-1所示
45
,1联系:最大值和最小值是函数在定义区间上所有极大值和极小值与端点函数值比较(如果端点有定义的话)后，所取的最大者和最小者，因此 ，如果函数的最大值或最小值是在区间内部获得，那么这个最大值或最小值一定也是函数的极大值或极小值。
,2对于实际问题，如果函数在区间内部只有一个极值存在，那么这个极值就是函数的最大值或最小值。 (四)其它一些问题
1(泰勒公式
x泰勒公式是解决如何用多项式函数近似代替一些非多项式函数(如超越函数等)问e,sinx,ln(x，1)题的，这种近似代替在实际应用中有着重要的意义，因为我们知道多项式函数的函数值是容易计算的，而
sin1,ln2其它函数的函数值等却是不易计算的，有了泰勒公式使得这些函数值在近似计算成为可能，并可用余项来估计误差。
2(切线法解方程
切线法解方程是导数的一个重要应用，其计算看起来较为麻烦，何可用计算机去完成，学习时应了解它的思路。
二、例题分析
例1 为下列各题选择正确答案:
,,，，,,(1)下列函数中，在上满足罗尔定理条件的是( ) ,,22，，
2f(x),tanxA( B( f(x),sinx
f(x),xC( D( f(x),1,sinx
f(x)f(x),lnxx,1(2)设，则是的( )
A(驻点 B(极大值点 C(极小值点 D(可导点
f(x)(3)下列函数在给定区间内是单调增加函数的是( )
,,A( f(x),cosx,(,,)22
46
2x,1B(f(x),,(0,，,) 2x
1C( f(x),,(0,1):(1,，,)lnx
xD( f(x),1,e,(,,,，,)
2,xx，2，2x,,1,f(x)(4)设 ，则在处( ) f(x),x,,1,x,,1,x，2,
A(可导，且有极小值 B(连续，且有极小值。 C(可导，且有拐点(-1，1) D(连续，且有极大值。 (5)函数在上的( ) f(x),5,4x,,,1,1
f(1)f(1)A(最小值是; B(最大值是; D(极小值点是; D(极大值点是 x,1x,,1(6)以下结论正确的是( )
,x,(a,b)f(x),0f(x)(a,b)A(若对于任意的，都有，则在内，恒为常数;
,,f(x)B(若，则点必为函数的极值点; f(x),0x00
,,f(x)C(若为的极值点，则必有; xf(x),000
f(x)(a,b)D(函数在内的极大值必定大于极小值。
,,,,,，，f(x),,解 (1)验证函数在上是否连续，在上是否可导，且是否等于(,,)f(,),,22222，，
,。 f()2
,A中在没定义，不连续。 x,,tanx2
2B中满足定理条件 f(x),sinx
f(x),xC中在x,0点不可导。
,,D中不满足 f(x),1,sinxf(,),f()22
故正确选择项为B
f(x),0f(1),0f(x),lnxx,1x,1(2)由于在处不可导，故A、D错误，因为，而，故是极
小值点，而不是极大值点。
故正确选择为C。
,f(x),0(3)用一阶导数判定，验算可知B中，故正确选项是B。
47
f(x)f(x)(4)函数是分段函数，首先判断在处是否连续，然后再判断是否可导。 x,,1
2 f(x,0),limf(x),(,1),2，1，2,1,x,,1
f(x，0),limf(x),,1，2,1，x,,1
f(x,0),f(x，0),f(,1)
f(x)说明在处连续，再验证是否可导: x,,1
2f(x),f(,1)x，2x，2,1,f(x,0),lim,lim ,,x,,x,,11x，1x，1
,0
f(x),f(,1)x，2,1,f(x，0),lim,lim ，，x,,1x,,1x，1x，1
11,lim, ，x,,12x21，，
f(x)在处不可导。 x,,1
由此可知A，C都是错误的，由
x,,12x，2,
,
,, x,,1不存在,,
,1,,x,,12x，2,
,f(x)f(x)可知在x,,1附近是左负右正，故在x,,1处取得极小值。 故正确选项是B。
2,f(x)(,1,1)f(x)f(x),,,0,(5)由于故在上是单调递减函数，因此在上没有极,,,1,1
5,4x
f(1)值，但有最小值。
故正确选项是A
(6)根据导数的性质可知A正确，至于B、C、D可由极值点、驻点的概念知是错误的。
例2 给出下列各题的正确答案:
1,xy,e(1)函数的单调增加区间是 。
,,f(x)(2)若为的极值点，且存在，则必= 。 xf(x)f(x)000
32,f(,),0,,(3)若在上满足罗尔定理的条件，则的 。 f(x),x，4x,7x,10,,,1,2
48
,x(4)的极大值点是 ，拐点是 。 y,xe
111,,,1xxx,,,e,0解 (1)由于函数y,e的定义域是且y,(e)对除外的一切实数都x,0,x,0,2x
(,,,0):(0,，,)成立，故单调增加地间是
,(2)根据极值存在的必要条件知 f(x),00
41412,(3)令求出，由于，故所,,，37,f(,),3,，8,,7,0,,,,,,37,,,,,1,21223333
41求。 ,,，37,33
,x,x,,,,y(4)，因在左右是左正右负，故可知是极大值点;，因x,1x,1y,e(1,x)y,e(x,2)
,2,,y在左右等号相反，故可知是拐点。 x,0(2,2e)
例3 利用中值定理主明不等式
x(x,0) ,ln(1，x),xx，1
f(x)分析 利用中值定理证明不等式时，首先要根据题意恰当地设出函数，然后在定义域内的子区
间(通常这个子区间的一个端点为)上应用中值定理。 x
f(t),ln(1，t)f(t)(,1,，,)f(t)证 设，因为在其定义域内处处可导，故的在区间上连续，,,0,x(0,x)f(t),,(0,x)使内可导，即在上满足拉格郎日中值定理条件，所以至少存在一点，使得 ,,0,x
,f(x),f(0),f(,)(x,0)(0,,,x)
1,,f(x),ln(1，x),f(0),0,f(),,因代入上式，有 ，,1
xln(1，x), ? 1，,
0,,,x1,1，,,1，x由，得，从而
xx11,,1,,x (x,0) ? 11x,,1，1，，x，
x,0综合?、?两式，当时，有
1 证毕 ,ln(1，x),x1，x
例4 试证:导数为常数的函数必是线性函数
,f(x)f(x)kx，b 分析 线怀函数是形为的函数，其中k、b是常数，已知条件给出的导数是常数，
49
,f(x),C不妨设为C，即，由拉格朗日中值定理可知，
, f(x),f(x),f(,)(x,x),C(x,x)000
f(x) 证 设函数的导数为常数，即 C
,f(x),C(,,,x,，,)
f(x)(,,,，,)f(x) 任取一个区间〔〕，由于在内存在导数，故在区间上连续，在内,,x,x(x,x)x,x000
，使得 可导，满足拉格朗日中值定理的条件，因此存在,,(x,x)0
, f(x),f(x),f(,)(x,x),C(x,x)000
即f(x),Cx，,,f(x),Cx00令 b,f(x),Cx,k,C00
f(x),kx，bf(x)于是有(其中、是常数)，即是一线性函数。 kb
例5 求下列极限
3x3lntan7xe,1,xlimlim (1) (2) 6，,x0x,0xlntan2x分析
0解 (1)当时，此极限为“”型未定式，用洛必塔法则求极限值: x,00
33x32x2e1x3xe3x,,,2limlim3x, (约去因子) 65,0,0xxx6x
3xe,1,(,lim “”型)(再用洛必塔法则) 3,0x2x,
32x3xe23x,lim(约去因子) 2x,06x
3xe1,lim, x,022
,，x,0 (2)当时，此极限是“”型未定式，故采用洛必塔法则求其极限值: ,
12,7sec(7x)limtan7xtan7xlim,lim ，，1x,x,00lntan2x2,2sec(2x)tan2x
50
2xxx7tan2,cos(2)7sin(4),,lim,lim(""型) 2，，x,0x,0xxx2tan7,cos(7)2sin(14),
x28cos(4),lim,1 ，x,0x28cos(14)
例6 求下列极限
xxesinx,x(1，x)(1) (2) limlim(x)tan,,3x,,,0xx2
111，，，，2xxlim,ln(1，),lim(3) (4) 22,,,,x,0x,,xsinx，，，，
f(x),g(x)分析 (1)对于函数属于“”型未定式，可做如下变形 0,,
f(x)，，g(x),,f(x),g(x), 〔或〕 1,,1,,g(x)，，f(x)
,0f(x),g(x)这样就化成了“”型或“”型未定式了。 ,0
0,(2)对于“”型未定式，可利用通分等方式变形转化成型或型未定式，f(x),g(x)属于,,,0,
然后再利用法则计算。
0解 (1)这是“”型未定式，满足法则的条件，故 0
xxe(sinxcos)12xe(2cosx)2，,,,00limlim,,原式(“”型) (“”型) 2,0,0xx3x6x00
x2(cossin)1ex,x,lim, ,0x63
x1(2)这是“0,,”型未定式，根据有 tan,,x2cot2
x,,10lim原则(“”型),lim ,x,,x,,xx102cotcsc222
x2 ,lim2sin,2x,,2
2x (3)这是“”型未定式，提出因子，得 ,,,
11，，2x,lim,ln(1，)0,,原则(“型”) ,,x,,xx，，
51
11,，ln(1)0xx (“”型) ,limx,,102x
1设，则 y,x
11,y,ln(1，y)01y，,lim原则(“”型) lim,2y,0y,0y02y
y,lim (消去公因子) yy,02y(1，y)
1 ,2
(4)这是“”型未定式，通分后原式化为 ,,,
22x,sinx0,lin原式 (“”型) 22x,0xsinx0
xsin22xsinxlin 如果对此极限直接用洛必达法则，则运算较繁，因为的导数较繁，现利用已知极限,1x,0x
予以简化:
22222x,sinxxx,sinx,lim,lim原则 424x,0x,0xsinxx
2x2sinxcosx2xsin2x,,limlim ,,33x,x,004x4x
22cos2x4sin2x1,limlim ,,,2x,0x,012x24x3
,1 注意:洛必塔法是计算未定式极限的一个简便而有效的方法，但它并不是万能的，有时也并不一定
是最好的方法，例如极限
22 lim(x，2x,x,x)x,，,
是“”型未定式，变形后有 ,,,
2222(x，2x,x,x)(x，2x，x,x,lim原式 22x,，,x，2x，x,x
3x,,lim (“”型) 22x,，,,x，2x，x,x
利用洛必塔法则计算，得
3,lim原式 x,，,2x，22x,1，222x，2x2x,x
52
223(x，2x)(x,x) ,limx,，,122(x，1)x，1，(x,)x，2x2
, 此时虽然还是“”型，但如果继续继续使用洛必塔法则，则式子将变得更加复杂(事实上，用一次,
法则后式子已变得比以前复杂了)，且求不出极限值，这说明此题用洛必塔法则求解行不通，该题正确的做法是:
3x,lim(分子、分母同降以) 原式x22x,，,x，2x，x,x
3= limx,，,211，，1,xx
33,, 1，12
,,,2,,,,,,, 计算“”型极限时，常有学生这样计算，即，或，这是错误的，,,,,0,,,
0,正确的方法是化成型或型计算。如例6(3)，(4) 0,
f(x),x,ln(1，x)例7 求函数的单调区间。
f(x),1,，,解 函数的定义域是()
f(x) 的一阶导数为
1x,f(x),1,, x，1x，1
f'(x)f'(x) 影响正负性的因子是和x，1，亦即当x,0和x,,1附近变化时，可改变符号，但注意x
到x,,1不是定义域内的点，故不考虑x,,1附近的情况，只考虑x,0附近的情况，列表讨论如下:
x(,1,0)(1,，,)
f'(x) — +
f(x)
f(x)0,，,,1,0 即的单调增加区间是()，单调减少区间是()
f(x),x,arctanx 例8 证明:函数在其定义域内处处单调增加。
,f(x),0 分析 判断函数处处单调上升，有两个方法，一是用一阶导数判断，另一是用单调增加的
53
定义，即对任意，有 x,xf(x),f(x)1212
f(x),x,arctanx 证 函数的定义域是() ,,,，,
方法一:用单调性判别定理(导数判别法)。因为
21x,f(x),1,,,0,(x,0) 221，x1，x
f(x)f(x)所以函数在区间()内是单调增加的，即函数处处单调增加。 ,,,，,
方法二:利用函数单调增加的定义证明
设，是定义域()内任意两点，用 (xx),,,，,x,x1,212
f(x),x,arctanxf(x)由于函数在()内可导，因此在上连续，在内可导，,,,，,,,x,x(x,x)1212
满足拉格朗日中值定理条件，即存在，使得 ,,(x,x)12
, f(x),f(x),f(,)(x,x)2121
成立
2,1,,f(),1,,,0因为 ，且 x,x,021221，,1，,
所以 即 f(x),f(x),0.f(x),f(x).2112
f(x),x,arctanx这就证明了在定义域内处处单调增加。
23例9 求函数 f(x),(x，2)(x,1)
分析 求函数的极值时，首先要确定函数的极值点，一般说来，函数的极值点一定是驻点或不可
,f(x)导点，因此要先将函数的驻点和不可导点都求出来，然后讨论在这些点左右邻域内的符号情况，由
此判断该点是否为极值点。
f(x),,,，,解 函数的定义域是()
322,因为 f(x),2(x，2)(x,1)，3(x，2)(x,1)
2 ,(x，2)(x,1)(5x，4)
4f'(x),0令，得驻点 x,,2,x,,,x,11235
f'(x),,,，,将定义域()分成四个区间，讨论的符号情况如下: x,x,x123
(1, 444 ,,,,2x() (-2,-) - (-,1) -2 1 ) ，,555
x，2 — 0 + + +
54
2+ + + + (x,1)
— — + + 5x，4
,f(x) + 0 — 0 + 0 +
f(x) 极大点 极小点 不是极值点
f(,2),0 是极大值点，极大值; x,,2
441244 是极小值点，极小值; x,,f(,),,8,,8.40552125
不是极值点，只是驻点。 x,1
23f(x),x(6x，7) 求函数的极值。 例10
f(x)解 的一阶导数为
4x23,f(x),(6x，7)， 36x，7
10x，7, 36x，7
7,f(x),0 令，得驻点 x,,110
77f(x) 又时，不可导，即是不可导点，列表讨论如下: x,,x,,2266
7777 7(，) 7，) (,, (,,,,),x,,,,666101010
,f(x) + 不可导 — 0 +
f(x) 极大值 极小值
从表中可知:
77是极大点，极大值 x,,f(,),01,66
7773是极小点，极小值 x,,f(,),,9802m101050
小结 从上面几个例子看出
,1求函数单调区间时，应结合定义域考虑，(因为单调区间一定是定义域的子区间)，否则易出错。 ,,2f(x)求单调区间与求极值点所进行的讨论步骤实际上是相同的，通过列表讨论的符号情况很容易f(x)判决在单调区间，从而也得到极值点(使函数单调上升和单调下降发生转变的点)。 ,3如下两个结论是很重要的，应记住:
55
(1)驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点，在可导情况下，极值点必是驻点;(2)不可点
也可能是极点。
2ax，bx，a，1a,bf(x),例11 若函数在处取得极小值0，求的值。 x，,32x，1
2(ax，a)，(bx，1)bx，1f(x),,a，解 22x，1x，1
2,bx,2x，b,f(x), 22(x，1)
f(x)f(x)因为在处取得极小值，且在处也可导，故由极值点的必要条件知x,,3x,,3
为驻点，即有 x,,3
,3b，23，b,f(,3),,0 ? 24
,3b，1f(,3),a，,0 ? 4
1解?，?两式，求出 a,,b,32
223f(x),(x，4x,5)例12 求函数在区间上的最大值与最小值。 ,,,6,2
f(x)f(x)分析 求函数在区间上的最大值和最小值，只需将在内的所有极值求出来，再,,a,b,,a,bf(x)f(a)f(b)f(x)f(x)志的端点的函数值，比较，其中最大者为的最大值，小者为的最小值，具体
f(x)(a,b)计算时，一般先求出在内的驻点及不可导点，，„，然后比较 xxxn12
f(a),f(x),f(x),？f(x),f(b)12n
f(x)f(x)的大小，最大者就是在上的最大值、最小者就是在上的最小值。 ,,a,b,,a,b解 由
2(2x，4)4(x，2),f(x),, 3233(x，5)(x,1)3x，4x,5
f(x)x,,2x,,5x,1得到在驻点及不可导点，，计算知
33f(,6),49,f(2),49
3 f(,2),33,f(,5),f(1),0
56
3f(x)f(,5),f(1),0.所以在上的最大值为，最小值为 f(,2),33,,,6,2
f(x) 小结 求函数的最大值(或最小值)时，如果函数在区间(它可以是有限或无限的、开或闭的)
f(x)内可导且只有一个驻点，并且这个驻点同时也是函数的极值点，那么当是极大值时，xxf(x)000
f(x)也就是该区间上的最大值;当是极小值时，就是在该区间上的最小值。 f(x)f(x)f(x)000
32 例13 求函数在区间上的最小值。 f(x),2x,6x,18x,7,,1,4
解
2, f(x),6x,12x,18,6(x,3)(x，1)
,f(x),0令，得驻点，，因不在给定区间内，故不讨论的极x,3,x,,1x,,1x,,1x,,112222值情况。
,,f(x),0;x,3f(x),0f(x)f(3)因为时，时，，故是的极小值点，极小值为。 1,x,3x,3
f(x)f(x)f(3)由于在内可异，且惟一的驻点是极小值点，故函数在内的最小值就，x,3,,1,4,,1,4即
32 f(3),f(3),2，3,6，3,18，3,7min
,,61
R 例14 在半径为在半圆内作一定的接梯形，使其底为直径，其它三边为圆的弦，问怎样做梯形有面积最大,
f(x) 分析 在实际问题中，往往根据问题在性质就可以判定可导函数确定存在最大值或最小值，而且
,一定在定义区间内部取得，这时如果方程是否为极值，就可判定是所求的最大值或最小值。 f(x)f(x)00
2R解 如图4-2，设BOC=，梯形面积为，则梯形上底为，下底为，高为，，S2Rcos,Rsin,,
于是
1 S,(2Rcos,，2R),R•sin,2
2 ,R(cos,，1)sin,
22, 因 ,, S,R,sin,，(cos,，1)cos,
22,,,R(2cos，cos,1) 2,R(2cos,,1)(cos,，1),0
1,cos,令S,0，得，或cos,,,1(舍去)，故 ,2
, ,,3
57
,根据问题的实际意义知梯形面积的最大值是存在的，而现在所求的驻点中唯一的，故就是面积,,3
,的最大值点，因此所做的内接梯形，当其腰所对的中心角为时，梯形的面积最大， S3
22此题若设梯形上底长为，高为，则下底长为2R，高，于是面积为 2xh,R,xh
122 S,(2x，2R),R,x2
22,(x，R)R,x
x(R，x)22,由 S,R,x,22R,x
22R,Rx,2x ,22R,x
R,S,0, 令得 x,.2
RR 因为所求驻点是唯一的，而面积最大值又一定存在，所以最大点就是，即所做的梯形当x,x,22
R其上底长为时，面积最大。
这两种结论是一致的，请同学们自己验证。
例15 从半径为R的圆上载下中心角为的扇形卷一圆锥形，当为何值时，所得圆锥体的体积最aa
大,最大体积为多少,
分析 用扇形围成圆锥形后，扇形的面积就是圆锥的侧面积，扇形弧长就成为圆锥的底面周长，本题
欲求中心角为多大时，圆锥的体积最大，但与的关系，不易直接确定，这时需要借助一个中间变VVaa
12量—圆锥底面半径来联结与的关系。考虑到，而扇形弧长圆锥底面周长。V,Ra,,2,rV,,rhra3
22其中高，这样就把V与联系在一起了。 h,R,ra
22解 如图4-3是过圆锥轴线的部面图，设底面半径为，体积为V，则高h,R,x，于是 x
1222V,xR,x ,3
31x22,因为 V,,(2xR,x,223R,x
22x(2R,3x), 223R,x
6,x,RV,0.令解得， (x,0舍去)3
66,,x,Rx,RV,0V,0因时，;时，， 33
58
66x,Rx,R故是极大值点，且是唯一的，所也是体积的最大值点。 V33
因为扇形的弧大就是圆锥的底面周长，即有
2,x,Ra
,,2262626a,x,,R,,a,R 所以是的最大值点，即当扇形中心角(弧度)时，VRR333所做圆锥的体积为最大，最大体积
166232222V(R)R(R)R ,,,,,,max33327
从上面例子看出，解极植的应用问题，实际上归结为求一个函数在某区间上的最大值、最小值问题，其一般步骤为:
(1)分析问题，列出函数关系式。
分析题意，确定出需求最值的量及与这个量都是什么，然后根据已知条件或利用几何、物理或其他方面的一些已知规律列出所求最值的量与其他变量之间的关系。对一元函数来说，独立的变量只有一个，其
22,他变量均可用它表示出来，如例15中，高，(或)，因此面积只是(或)h,R,xh,cos,S,x的函数，独立变量就是(或)。 ,x
(2)对函数关系式求一阶导数，并令其为零，求出驻点。
(3)如果根据题意能确定该问题存在最大值或最小值，且所求的驻点唯一，则函数在该驻点处取得最值。
R例16 在半径为的圆内做一个内接等腰三角形(如图4-4，)，问等腰三角形的底边长AB,AC和其上的高分别为多少时，其面积最大,最大面积为多少,
(x,y)解 取圆心为坐标原点，轴平行于BC，正向指向C侧，设C点坐标为，三角形高为，则hx
h,R,y等腰三角形的底边长为2x，高
三角形的面积
11S= BC,h,,2x(R,y)22
,x(R,y)
22222C(x,y)y,0h,R,y由点在圆周上，得，从而(考虑到时，取较大x，y,Ry,R,x
值，此时面积S才能最大)
22S,x(R，R,x)故
,x22,S,R，R,x，x,由 22R,x
2222RR,x，R,2x ,22R,x
59
2222,令，得 S,0RR,x,2x,R
4224x,3xR,0
R3x,R 解得 ， y,,22
3所以当三角形的底边长为，高为时圆内接等腰三角形的面积最大，最大面积为 h,R3R2
33332S,R,R,R max224
例17 一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当车速为每小时20公里，每小时耗煤价值40元，其他费用每小时200元，甲、乙两地相距S公里，问火车行驶速度如何，才能使火车由甲地开乙方的总费用为最小,
公里，每小时耗煤的费用为元，从甲地到乙方的总费用为E元。 解 设火车行驶的速度为每小时yx
403y,40根据已知条件，知，且当时，，故，因此 x,20k,,0.005y,kx320
3 y,0.005x
S由于从甲地到乙地需时间小时，因此总费用为 x
S2002 E,(y，200),,(0.005x，)Sxx
200,因为 E,(0.01x,)S2x
33,令E,0，得 0.01x,200,x,1020,27.14
根据问题的意义和总费用的最小值是存在原，而现在所求的驻点又是唯一的，故函数在唯一驻点x,27.14处取得最小值，即当火车速度为每小时27.14公里时，从甲地到乙地的总费用为最省。
例18 求下列曲线的凹凸区间与拐点:
1(1)y, 2x，1
3a,b(2)(为常数) y,a,x,b
4(3) y,(x，1)
,,y,0解 (1)求曲线的凹凸区间与拐点，需先求出使二阶导数的点及二阶导数不存在的点。为此求函数的导数:
22x2(3x,1),,,y,,,y,( 2223(x，1)(x，1)
1,,,,y,0yx,,令，得，(没有不存在的点)。 3
60
列表讨论如下:
1 11111 ,,,,,,，,(,),) x333333
,, y+ 0 - 0 +
y::: 拐点 拐点
1111,,,,,，,,,曲线的凹区间是()，()，凸区间是()，拐点是 3333
1313(,,)(,)，。 4433
注意:写拐点时要将该点的横、纵坐标都写出来，而不能像写极值点那样只写横坐标。 (2)求导数
25,,1233,,,y,,(x,b),y,(x,b) 39
,,,,,,y,0y,0y,0令，则求不出实根，但是二阶导数不存在的点，且当时，，当时，，x,bx,bx,b
,,,bb,，,故曲线在()内是凸的，在()内是凹的。
b,a时，，故点()是曲线的拐点。 x,by,a
32,,,(3)， y,4(x，1)y,12(x，1)
,,,,y,0y,0(,1,0)显然x,,1是的根，但无论x,,1还是x,,1，都有，因此点不是曲线的拐点，
4即曲线没有拐点，它在(,,,，,)内是凹的。 y,(x，1)
三、自我检测题
一、单项选择题
xy,1(函数的单调增加区间是( ) 21，x
(,,,,1):(1,，,)(,1,1)A(; B(;
(0,3)(,2,0)C(; D(
y,f(x)(a,b),(a,,,b) 2(若函数满足条件( )，则在内至少存在一点，使得
f(b)，f(a),f(), ,b,a
(a,b) A(在内连续;
(a,b) B(在内可导;
61
(a,b)(a,b) C(在内连续，在内可导;
(a,b) D(在上连续，在内可导。 ,,a,b
y,arcsinx,x 3(函数的单调增加区间是( )。
(,,,，,)(0,1) A( B(
(,1,1)(,1,0) C( D(
,f(x),0y,f(x)(满足方程的点，一定是函数的( ) 4
A(极值点; B(拐点;
C(驻点; D(间断点
,,,f(x)(a,b)5(设函数在内连续，，且，则函数在处( )。 x,(a,b)f(x),f(x),0x,x0000
A(取得极大值; B(取得极小值; C(一定有拐点; D(可能有极值，也可能有拐点。 (x,f(x))00
6(下列函数在区间上满足拉格朗日中值定理条件的是( ) ,,,1,1
32y,(x，1)(x,1)y,1,x A(; B(;
11y, C(; D( y,xx,1
,,,y,f(x)f(x),0,f(x),0y,f(x)(a,b)7(若函数在区间内有，则曲线在此区间内是( )
A(下降且是凸的; B(下降且是凹的; C(上升且是凸的; D(长升且是凸的。
,f(x)x,,,f(x)f(0),0f(0),1f(0),,2 8(设函数有连续的二阶导数，且，，，则( )。 ,mil2x,0x
A(不存在; B(0;
C(-1; D(-2。
lnxy,x，9(曲线( )。 x
A(单调增加; B(没有拐点;
C(单调减少; D(x,0是水平渐近线。
10(如果曲线弧位于其上任一点切线的上方，则该由线弧是( ) A(长升; B(下降;
C(凹的; D(凸的。
32,2x,1 11(设函数在处取得极大值，则=( )。 f(x),ax,(ax),ax,aa
1A(1; B( 3
1C(0; D(。 ,3
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二、填空题
3 1(曲线的拐点是 。 y,2，5x,3x
2(函数的单调增加区间是 。 y,ln(2x,1
32(1,0) 3(若点是曲线的拐点，则 。 b,y,ax，bx，2a,
g(x)1,,g(x)g(0),g(0),1,lim, 4(设函数有一阶连续导数，且则 。 x,0lng(x)
,y,f(x)f(x)5(若函数的自变量从的左邻域变到的右邻域时，的符号由负变为正，则 xxx,xx000
y,f(x)是函数的 点。
x 6(函数在= 处取得极小值。 y,x,2x
,f(x)f(x),0 7(若连续函数在区间内恒有，则比函数在上的最大值是 。 ,,a,b,,a,b
y,x,ln(1，x) 8(函数在区间( )内单调减少，在区间( )内单调增加。 三、计算题
1(计算下列极限
x11e,1,x，，lim,(1)lim (2) x2,,x,0x,0xe1,x，，
ln(1sin3x),，lim(3) (4) limx(,arctanx)x,，,x,0tan2x2
tanax,asinxlim(a,0)(5); (6) lim(sec5x,tanx),x,0(1,cosax)x,2
2322(求函数的单调区间与极值。 y,(x，1)(x,5)
223y,(x,2x)3(求函数在区间〔0，3〕内的极大值、极小值和最大值、最小值。
32a,b,c,d(,2,44)(1,,10)4(试决定曲线中的，使得为驻点，为拐点。 y,ax，bx，cx，d
225(在圆上找一点，使此点圆的切线截两坐标轴在第一象限所围成的区域面积最P(x,y)x，y,100
小。
2A(0,a)A6(设是y轴上的一个给定点，求点到抛物线上的点的最短距离。 x,4y
7(证明下列不等式;
2(x,1)sinx,siny,x,y (1) (2) lnx,(x,1)x，1
自我检测题答案或提示
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(一)1(B;2(D;3(C;4(C;5(D;6(B;7(A;8(C;9(A;10(C;11(A
1(0,2)a,1,b,,3(二)1(;2(;3(;4(1; (,，,)2
1f(a)(,1,0) 5(极小值;6(;7(;8(，。 0.，,ln2
113(三)1((1);(2);(3)1;(4); 222
2，2a13x*(5)提示:分子、分母同除以后，对分母分别用洛必塔法则，。(6) ,.3a
11(,,,,1)(5,，,) 2(单调减少区间是，;单调增加区间是，; (,5)(,1,)22
318118f(),,f(,1),f(5),0. Mmm28
y(1),1y(2),0 3(极大值，极小值;
3y(2),0 最大值，最小值; y(3),9
a,1,b,,3,c,,24,d,16. 4(
11x220P(,).y,y,(x,x) 5(提示:过点的切线方程为，又因为，故x，y,1P(x,y)000000y220
11(,0)(0,)切线方程为，与两坐标轴交点坐标分别为，，围成的三角形面积ABxx，yy,100xy00112S,S,，将代入，有 .y,1,x0022xyx,x210000
a.6(a,2时，最短距离为，a,2时，最短距离为 2a,1
7((略)
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