柱坐标系与球坐标系
柱坐标系与球坐标系 z 1、柱坐标系
P(ρ,θ,Z) 设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，
用(ρ,θ)(ρ?0,0?θ,2π)表示点Q
在平面oxy上的极坐标，
点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)表示. o 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. y 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，记作(ρ,θ,Z). θ 其中ρ?0, 0?θ, 2π, -?,Z,+?
Q x 2，柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系
及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为:
x,,,cos, , y,,,sin,
, z,z,
3 应用:例1:设点的直角坐标为(1，1，1)，求它:在柱坐标系中的坐标. 1,cos,,, , 1,sin,,,, 解得ρ= ，θ= 24, 1,z,
点在柱坐标系中的坐标为 ,2 ( ， ，1). 4注:求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。
练习:
1、设点的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标.
, (2,,1)点在柱坐标系中的坐标为4 注:求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。 为 . , z2、设点M的柱坐标为(2,,7),求它的直角坐标。6 (3,1,7)
3，柱坐标系: M(x,y,z), zr 为常数 圆柱面
ory,P(r,,),,为常数半平面
z为常数 平 面
x
球坐标系
1，球坐标系:
Z
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，
P 连接OP，记| OP |=r，OP与OZ轴正向所夹的角为φ. 设P在oxy平面上的射影为Q， Ox轴按逆时 o y 针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.
Q 这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示. 空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系.
X 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系
(或空间极坐标系) .
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，
r,0,0,,,,,0,,,2,其中
球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的
, 应用，在测量实践中，球坐标中的角称为
0 被测点P(r,,,,)的方位角，90,,称为高低角
2 , 空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为;
z ,,P(r,φ,θ) x,rsincos,
, r ,,y,rsinsin,φ o , y z,rcos,θ , 2222Q x，y，z,r x 33,,3 应用:例:设点的球坐标为(2， ， ) 44 求它的直角坐标.,
点在直角坐标系中的坐标为( ,1 ，1 ，, ). 24 小结:
数轴
平面直角坐标系
坐标系 平面极坐标系
空间直角坐标系
柱坐标系
球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化，
从而产生了坐标法.
例1、将下列点的球坐标化为直角坐标。
5,, M(8，，)
36
例2、球坐标满足方程r,3的点所构成的图形是什么,并将此方程化为直角坐标方程。
D z G 例3、建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体.
,,,C(1,,)O(0,0,0)A(1,,0) 22E 2,F ,, D(1,0,0)E(2,,0)B(2,,)24 4
,,3,F(3,arccos,)G(2,,) 3442O C
33,,x B 5，练习:1、设点P的球坐标为 (2,,)A
44 求它的直角坐标.
(1,1,2),, 点在直角坐标系中的坐标为
2、设点P的直角坐标为 ， (6,23,4),
求它的球坐标. ,,5点在球坐标系中的坐标为 (8,,),,5 36(8,,)
36 3，,球坐标系:
球 r为常数
面 ,为常数圆锥面
半平面 ,为常数
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