3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理(1课时)

九年级数学导学稿切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点第3章对圆的进一步认识的两条线段长的乘积相等。课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理(1课时)【探索新知】郭家屯初中初三编写学习目标定理图形已知结论证法1．掌握相交弦定理及推论、切割线定理及推论、弦切角定理，并会灵活应用。相交弦⊙O中，AB、CD为弦，PA·PB＝连结AC、BD，证：2．会用相交弦定理及推论、切割线定理及推论、弦切角定理进行 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 和计算。定理交于P.PC·PD.△APC∽△DPB.难点：定理及推论的应用【温故知新】1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不相交弦⊙O中，AB为直径，PC2＝PA·PB.用相交弦定理.可以度量长度。定理的CD⊥AB于P.2.切线长定理推论对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，切割线⊙O中，PT切⊙O于T，PT2＝PA·PB连结TA、TB，证：平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。定理割线PB交⊙O于A△PTB∽△PAT切割线PB、PD为⊙O的两条割PA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，定理推线，交⊙O于A、C用两次切割线定理论3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。相交弦定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦长的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，这一点到割线与圆的交点的两条线段长的乘积等于切线长的平方。1学一学解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4∴PB＝4PA【典型例题】又∵PC＝12cm由切割线定理，得∴∴，例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作∴∴PB＝4×6＝24（cm）∴AB＝24－6＝18（cm）设圆心O到AB距离半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。为dcm，由勾股定理，得故应填。例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。证明：（1）连结BE图1图2图3图4解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理∴，，例2.如图2，⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝___cm。解：由相交弦定理，得AE·BE＝CE·DE∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，（2）又∵，，∴，即∴CE＝3cm或CE＝4cm。故应填3或4。∴厘米。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。求证：解：∵∠P＝∠P∠PAC＝∠B，∴△PAC∽△PBA，∴，∴。又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得∴，即，故应填PC。点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。图5图6图7图8例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。2证明：连结BD，∵AE切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ABD∵AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CDA.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形∵AB为⊙O的直径∴∠ADB＝90°∴∠E＝∠ADB＝3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）A.50°B.40°C.60°D.55°90°∴△ADE∽△BAD∴∴∵CD∥AB（定理：两平行弦所夹的弧相等）∴AD＝BC，∴例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB点悟：由结论AD·BC＝CD·AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC证明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAD＝∠PBA又∠APD＝∠BPA，∴△PAD∽△PBA图1图2图3图4∴同理可证△PCD∽△PBC∴∵PA、PC分别切⊙O于A、C∴PA＝4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（）A.8cmB.10cmC.12cmD.16cmPC∴∴AD·BC＝DC·AB例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）求证：BC＝2OE。A.B.52cmC.D.点悟：由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。而OA＝OB，只须证AE＝CE。6.PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段证明：连结OD。∵AC⊥AB，AB为直径∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D∴EA＝PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）A.20B.10C.5D.ED，OD⊥DE∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B∵∠ODE＝90°二、填空题∴∴∠C＝∠EDC∴ED＝EC∴AE＝EC∴OE是△ABC的中位线7.AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，∴BC＝2OE则∠EOF＝_____________度。8.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB例9.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，，的切线，交边DC于点F，G为切点。当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中则PC的长为_____________。点；10.（选做）正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点解：由∠DEF＝45°，得，∴∠DFE＝∠DEF∴DE＝DF又∵AD＝DC∴AE＝FC因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于D，连结BD交AC于P，则_____________。点A；同理，CD切圆B于点C。又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG。三、解答题因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点。11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，【达标检测】（答题时间：40分钟）DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。一、选择题12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3（弦心距求证：CB平分∠DCP。13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长是圆心到弦的垂直距离），则PA＝（）A.B.C.5D.8线于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半径。2.下列图形一定有内切圆的是（）3【试题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】一、选择题1.A2.C3.A4.B5.B6.A二、填空题7.908.19.3010.三、解答题：11.由切线长定理得△BDE周长为4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm12.证明：连结AC，则AC⊥CB∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1∵PC为⊙O的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，∴BC平分∠DCP13.设BM＝MN＝NC＝xcm又∵∴又∵OA是过切点A的半径，∴OA⊥AB即AC⊥AB在Rt△ABC中，由勾股定理，得，由割线定理：，又∵∴∴半径为。4