2009苏锡常镇二模数学试题及答案

2009苏锡常镇二模数学试题及答案 2009年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(二) 数学(正题卷) 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分(请把答案填写在答题卡相应位置上( 1(复数在复平面上对应的点在第 ? 象限( (2)，ii 2(某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10 种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 (若采用分层抽样 的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ? ( xA,3(已知集合，集合，若命题“”是命 Axx,,{|5}Bxxa,,{|} 开始 xB, 题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ? ( a 4(某校学生张超的学籍号码是200608251，2006表示入学年份，08表示所 输入 n在班级，25表示他在班上的学号，1表示男性(2表示女性)，若今年考 入该校的黄艳将被编入12班，在班上的学号为6号，则她的学籍号码的 各位数字和等于 ? ( S,0 AB:,5(集合若则 ? ( AB:,{2},AaBab,,{3,log},{,},2 是 Sn,26(阅读如图所示的程序框，若输入的是100，则输出的变量的 n ? ( 值是 否 ,,,,输出S 7(向量，= ? (ab,2ab,,(cos10,sin10),(cos70,sin70)SSn,， 8(方程有 ? 个不同的实数根( xxlg(2)1，,结束 nn,,1 9(已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直第6题图 径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为 ? ( 10(已知等比数列a中，，则使不等式 aa,,1,,n23 1111aaaa,，,，,，,,,，,, ()()()()0成立的最大自然数是 ? ( n123naaaa123n 2mfxmxxx,，,ln211(若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是 ? ( ，， 2212(如果圆()()4xaya,，,,上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围 是 ? ( xy，13(已知实数满足xxyy,，,，,13，则的最大值为 ? ( xy, Nn()NN(3)3,(10)5,,,,,,nn14(当为正整数时，函数表示的最大奇因数,如, nnSNNNNNN,，，，，，,，(1)(2)(3)(4)...(21)(2) 设,则S, ? ( nn 二、解答题:本大题共六小题，共计90分(请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 15((本题满分14分) 甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹. (1)求空弹出现在第一枪的概率; (2)求空弹出现在前三枪的概率; (3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔 ，第四枪瞄准了三角形射击,第四个弹孔落在三角形内，求第PQR,,PQRPQR 四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率(忽略弹孔大小). 16((本题满分14分) ,如图，ABCD为直角梯形，?C=?CDA=，AD=2BC=2CD，P为平面ABCD外一 90 点，且PB?BD( ? 求证:PA?BD; PC (2) 若与CD不垂直，求证:; PAPD, ? 若直线l过点P,且直线l?直线BC，试在直线l上找一点E， 使得直线PC?平面EBD. P l A D C B 17((本题满分14分) x,2 已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l:( ? 求椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程; ? 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂 线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值( 18((本题满分16分) ,390 如图，直角三角形ABC中，?B,，AB,1，BC,(点M,N分别在边AB和AC ,,AA 上(M点和B点不重合)，将?AMN沿MN翻折，?AMN变为?MN，使顶点落 ,,A 在边BC上(点和B点不重合).设?AMN,( ,,(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围; AM ,AN(2) 求线段长度的最小值( A N , M C B A' 19((本题满分16分) xxkR,已知,函数. fxmknmn()(01,01),，,,,,, mmn,,1,1k(1) 如果实数满足,函数是否具有奇偶性,如果有,求出相应的 mn,fx() 值,如果没有，说明为什么? mn,,,10,(2) 如果判断函数的单调性; fx() 1m,2k,0 (3) 如果，，且，求函数的对称轴或对称中心. yfx,()n,2 20((本题满分16分) 已知各项均不为零的数列{a}的前n项和为S，且满足a,c，2S,aa，r( ，nn1nnn1 (1)若r,,6，数列{a}能否成为等差数列,若能，求满足的条件;若不能，请说明cn 理由( aaaaaa321n,2n124 (2)设，， ,，，，？,，，，？PQnn,,,,,,aaaaaaaaaaaa，1234212nn,2345221nn 2 若r,c,4，求证:对于一切n?N*，不等式恒成立( ,,,,，nPQnnnn (加试题卷) 21. 【选做题】在下面A,B,C,D四个小题中选择两题作答，每小题10分，共20分.要写出 必要的文字说明或演算步骤. A(选修4—1 几何证明选讲 ANABBMP在直径是的半圆上有两点,设与的交点是. MN, 2APANBPBMAB,，,,求证: N M P A B B(选修4—2 矩阵与变换 2a，，,a,R已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点， MMP(1,2),P(4,0),,,,21，， (1)求实数a的值; (2)求矩阵的特征值及其对应的特征向量. M C(选修4—4 参数方程与极坐标 xt,，22,,求圆被直线(是参数截得的弦长. ,,,3cos)t, yt,，14, D(选修4—5 不等式证明选讲 已知是不相等的正实数， a,b 222222求证: (ab，a，b)(ab，a，b),9ab. 【必做题】第22题和第23题为必做题, 每小题10分，共20分.要写出必要的文字说明或演算步骤. 60221222. 有甲、乙两个箱子，甲箱中有张卡片，其中张写有数字，张写有数字，张 6302211写有数字;乙箱中也有张卡片，其中张写有数字，张写有数字，张写有数 2字. 2XX(1)如果从甲、乙箱中各取一张卡片，设取出的张卡片上数字之积为，求的 X 分布列及的数学期望; 3(2)如果从甲箱中取一张卡片，从乙箱中取两张卡片，那么取出的张卡片都写有 0 数字的概率是多少, 23. 如图所示，已知ABCD是正方形，PD?平面ABCD，PD=AD=2. (1)求异面直线PC与BD所成的角; (2)在线段PB上是否存在一点E，使PC?平面ADE, 若存在，确定E点的位置;若不存在，说明理由. 参考答案与评分标准 一、填空题 a,531. 二 2. 6 3. 4. 22 5. {2,3,4} 6. 5049 7. 32231618. 2 9. 10. 5 11. 12. (2,)(,2),,,,m?222223 n42，13. 4 14. 3 二(解答题 15. 解:设四发子弹编号为0(空弹)，1，2，3， (1)设第一枪出现“哑弹”的事件为A，有4个基本事件,则:(2分) 1 (4分) PA(),4 B(2) 法一:前三枪出现“哑弹”的事件为B,则第四枪出现“哑弹”的事件为, PAPB()(), 那么，(6分) 13 (9分) PBPBPA()1()1()1.,,,,,,,44 法二:前三枪共有4个基本事件{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},满足条件的有三 个,(7分) 3 则(9分) PB().,4 (3) 的面积为6，(10分) RTPQR, 11, 分别以为圆心、1为半径的三个扇形的面积和,(12分) PQR,,,，,,,442 设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C, 1,,6,2 .(14分) ,,,PC()1612 16. (1)ABCD为直角梯形，AD =22ABBD,，AB?BD，(1分) ？？ PB?BD ，AB PB =B，AB，PB平面PAB，BD?平面PAB，( 4分) ,, 面PAB，PA ?BD.(5分) PA,？ (2)假设PA=PD,取AD 中点N,连PN,BN,则PN?AD，BN?AD, (7分) AD?平面PNB,得 PB?AD，(8分) 又PB?BD ，得PB?平面ABCD, PBCD,?(9分) P l BCCD, 又?，?CD?平面PBC, PCCD ?CD?PC, 与已知条件与 不垂直矛盾 A D ?(10分) PAPD, (3)在上l取一点E，使PE=BC，(11分) PE?BC，四边形BCPE是平行四边形，(12分) ？？C B PC?BE，PC,平面EBD， BE平面EBD ,？ PC?平面EBD.(14分) ？ x,217. 解:??椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l:， 2x2，,y1 ?不妨设椭圆C的方程为((2分) 2a 22ac1，c,1,,2 ?，( 4分) 即((5分) cc 2x2，,y1 ?椭圆C的方程为((6分) 2 x,2Nxy(,) ? F(1，0)，右准线为l:， 设， 00 yy00，直线ON的斜率为，(8分) 则直线FN的斜率为k,k,FNON1xx,00 x,10 ?FN?OM，?直线OM的斜率为，(9分) k,,OMy0 x,12(1)x,00 ?直线OM的方程为:，点M的坐标为((11分) yx,,M(2,),yy00 2(1)x,0y，0y0 ?直线MN的斜率为((12分) k,MNx,20 ?MN?ON，?， kk,,,1MNON 2(1)x,0y，0yy00 ?， ,,,1xx,200 222 ?，即((13分) yxxx，,，,,2(1)(2)0xy，,2000000 ON,2 ?为定值((14分) ,MAMAx,,MBx,,118. 解:(1)设，则((2分) 1,x,,A在Rt?MB中，， (4分) cos(1802),,,x 11?( (5分) MAx,,,21cos22sin,,, , ?点M在线段AB上，M点和B点不重合，点和B点不重合， A ,,A 4590,,, ?((7分) 120:,,(2)在?AMN中，?ANM,,(8分) N ANMA, ,,(9分) ,sinsin(120),,,M 1C B sin,,2A' 12sin,,((10分) AN,,,2sinsin(120),,,sin(120),, 132,sin3sincos,，,,令t,,,,,,,，,2sinsin(120)2sin(sincos), 22 1311,,，,,,,，,,sin2cos2sin(230)((13分) 2222 ,,,,,4590,,,60230150,,,,?， ?( (14分) 3,,,23090,,,,,60 当且仅当，时，有最大值，(15分) t2 2,,?时，AN有最小值((16分) ,,603 19.(1)如果为偶函数，则 fx()fxfx()(),,, ,,xxxx 恒成立，(1分) mknmkn，,,，, xxxxxxxxxx 即: (2分) nkmmkn，,,，,,()()0,nmkmn,，,,()(1)0nmk,,, xxk,1. 由nm,,0不恒成立，得(3分) 如果为奇函数，则 fx()fxfx()(),,,, ,,xxxx 恒成立，(4分) mknmkn，,,,,, xxxxxxxx 即:(5分) nkmmkn，,,,,,,()()0,nmkmn，，，, xxxxk,,1.nm，,0 由恒成立，得(6分) ()(1)0,nmk，，, m？mn,,,10,(2)， ,1n xxk,0 ? 当时,显然在R上为增函数;(8分) fxmkn(),，, mxxxxk,0 当时，， ,()lnln[()lnln)]0fxmmknnmknn,，,，,n mmnlnxxxn,0, 由得得 ()lnln0,mkn，,()log,,,,,kknmnnmln 得.(9分) xkn,,log(log)mmn , ?当时, ,为减函数; (10分) fx()0,fx()xkn,,,,(,log(log)]mmn , 当时, fx()0,,fx()为增函数. (11分) xkn,,，,[log(log),)mmn 1xx,(3) 当时， fxk()22,,，,mn,,2,2 log()log(),,,kkxxxxxxxx,,,22k,0, 如果，(13分) fxkk()222()222222,，,,,,,,,,,, 则 fkxfx(log())(),,,,,2 1yfx,() ?函数有对称中心(14分) (log(),0).,k22 loglogkkx,xxxxx,,22k,0,fxk()2222222,,，,,，,,， 如果(15分) 则fkxfx(log)(),,, 2 1yfx,() ?函数有对称轴.(16分) xk,log22 r20. 解:(1)n,1时，2a,aa，r，?a,c?0，?2c,ca，r，( (1分) a,,2112122cn?2时，2S,aa，r，? 2S,aa，r，? ，,,nnn1n1n1n ?,?，得2a,a(a,a)(?a?0，?a,a,2( ( 3分) ，,，,nnn1n1nn1n1 则a，a，a，…，a，… 成公差为2的等差数列，a,a，2(n,1)( ,,1352n12n11 a，a，a，…，a，… 成公差为2的等差数列， a,a，2(n,1)( 2462n2n2 r2要使{a}为等差数列，当且仅当a,a,1(即(r,c,c( ( 4分) 21,,,cn21c2 ?r,,6，?c,c,6,0，c,,2或3( ?当c,,2，，不合题意，舍去. a,03 c,3?当且仅当时，数列为等差数列 (5分) {}an r(2),[a，2(n,1)],[a，2(n,1)],a,a,,2( aa,c，1212212nn,c r,[a，2(n,1)],(a，2n),a,a,2,,()( (8分) aa,c，2121221nn，c 1(1)1nn,,，，,，,[2](1)nannc? (9分) P1nrr2cc，,，,22cc 1(1)1nnr,Qnann,,，，,,，,[2](1)( (10分) n2rr2ccc，，cc 11rPQnncnn,,，,，，,(1)(1) nnrrccc，,，2cc r,,,,1,,,,,111c,2c,((11分) ，，，nn,,,,rrrr,,,,cccc，,，，,，22,,,,cccc,,,, rr?r,c,4，?,4，?,2( cr，?2c，,2cc 11113，,，,?0,,1( (13分) rr244cc，,，2cc r1,ccc,,，111c且，,，,1,,1( (14分) rrrrcccc，,，，,，22cccc rrr又?r,c,4，?，则0,(( ,1cc,,，,1201,，,，cccccc,1c，1cc,，11,1，,1?,1((?,1((15分) rrrrc，cc，,，2c，,2cccc 2?对于一切n?N*，不等式恒成立((16分) ,,,,，nPQnnnn 数学加试题参考答案及评分标准 21(A(选修4—1 几何证明选讲 证明:作于为直径, PEAB,E？ABN ,M P (2分) ？，,，,ANBAMB90 四点共圆,四点共圆. (6分) A ？PEBN,,,PEAM,,,B E AEABAPAN,,,(1) (8分) BEABBPBM,,,(2) (1)+(2)得(9分) ABAEBEAPANBPBM()，,,，, 2APANBPBMAB,，,, 即(10分) 21(B(选修4—2 矩阵与变换 2a1,4，，，，，，2243,,,,,aa解:(1)由=，(2分) ?. (3分) ,,,,,,,2021，，，，，， 23，，MM(2)由(1)知，则矩阵的特征多项式为 ,,,21，， ,,,232 (5分) f()(2)(1)634,,,,,,,,,,,,,,,21, M,1令，得矩阵的特征值为与4. (6分) f(,),0 (2)30,,,,xy,,,,1当时， ,，,xy0,,，,,2(1)0xy,, 1，，M,1?矩阵的属于特征值的一个特征向量为; (8分) ,,,1，， (2)30,,,,xy,,,4 当时， ,,,230xy,,，,,2(1)0xy,, 3，，?矩阵的属于特征值的一个特征向量为. (10分) M4,,2，， 21(C(选修4—4 参数方程与极坐标 将极坐标方程转化成直角坐标方程: 392222即:，即;(4分) ()xy,，,,,,3cosxyx，,324xt,，22,即:(7分) 23xy,,,yt,，14, 3203，,,2所以圆心到直线的距离，即直线经过圆心，(9分) d,,0222(1)，, 3所以直线截得的弦长为.(10分) 21(D(选修4—5 不等式证明选讲 32222 因为是正实数，所以(当且仅当ababababab，，,,,,?330a,b 22ab,,1abab,,即时，等号成立);(3分) 32222同理: ababababab，，,,,,?330 22ab,,1abab,,(当且仅当即时，等号成立);(6分) 222222 所以:()()9.ababababab，，，，? 22ab,,1abab,,(当且仅当即时，等号成立);(8分) ab,因为:， 222222所以:(10分) (ab，a，b)(ab，a，b),9ab. X22(解:(1)的可能取值为 0,1,2,4 111111CC,1CCCC,，,1212221;; PX(4),,,PX(2),,,1111CC,6CC,186666112CC,122PXPXPXPX(0)1(1)(2)(4),,,,,,,,,; PX(1),,,113CC,966 (4分) X所以的分布列为 0X124 2111 P (6分) 39618 21112EX,，，，，，，，,0124 数学期望为.(8分) 396183 12CC,123(2).(10分) ,12CC,1566 23(解:如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)， A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，(1分) (1)(2分) ？PC,(0,2,,2),DB,(2,2,0), PC,DB41cos,PC,DB,,,,, ? (3分) 222,22|PC|,|DB| ? ，?异面直线PC与BD所成的角为60?(4分) ,PC,DB,,60: (2)假设在PB上存在E点，使PC?平 ADE，记(5分) PE,,PB, (6分) ？PB,(2,2,,2),？PE,(2,,2,,,2,),？E(2,,2,,2,2,), ? 若PC?平面ADE，则有PC?AE，(7分) AE,(2,,2,2,,2,2,), 1即，?,,,E(1,1,1),(8分) PC,AE,8,,4,02 PDCPCAD,又?面，?，?PC?平面ADE. (9分) AD, ?存在E点且E为PB的中点时，PC?平面ADE. (10分)