2013高考数学总复习基础巩固强化练习:9-5线面、面面垂直的判定与性质(人教A版)
9-5线面、面面垂直的判定与性质
基础巩固强化
1.(2011?北京西城模拟)已知两条不同的直线a,b和两个不同的平面α,β,且a?α,b?β,那么α?β是a?b的( )
A(充分不必要条件
B(必要不充分条件
C(充要条件
D(既不充分也不必要条件
[答案] C
,[解析] α?β,,,?a?β或a?β , a?α,?a?b, ,
, b?β
,a?α,,,?b?α或b?α ,a?b,α?β. ?,
, b?β
2((文)(2011?唐山模拟)已知一个平面α,那么对于空间内的任意一条直线a,在平面α内一定存在一条直线b,使得a与b( )
A(平行 B(相交 C(异面 D(垂直
[答案] D
[解析] 当a与α相交时~平面内不存在直线与a平行,当a?α时~平面内不存在直线与a相交,当a?平面α时~平面α内不存在直线与a异面,无论a在何位置~a在平面α内总有射影a′~当b?α~b?a′时~有b?a~故选D.
(理)(2011?青岛模拟)设两个平面α,β,直线l,下列三个条件:?l?α;?l?β;?α?β.若以其中两个作为前提,另一个作为结论,则可
构成三个命
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
,这三个命题中正确命题的个数为( )
A(3 B(2 C(1 D(0
] C [答案
,,,l?αα?βl?β,,,,,,[解析] ?α?β,?/ l?β~此时可能l?β~? ,,,l?βl?αα?β,,,/ l?α~此时l与α还可能平行、斜交~故选C.
((文)(2011?安徽省皖南八校联考)设l,m是两条不同的直线,α3
是一个平面,则下列命题正确的是( )
A(若l?m,m?α,则l?α
B(若l?α,m?α,则l?m
C(若l?α,l?m,则m?α
D(若l?α,m?α,则l?m
[答案] B
[解析] 直线垂直于平面中两条相交直线~才能垂直于平面~故A错,C中m可能包含在平面α中,D中两条直线可能平行、相交或异面(
(理)(2011?东莞模拟)若l为一条直线,α、β、γ为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:
?α?γ,β?γ?α?β;?α?γ,β?γ?α?β;
?l?α,l?β?α?β.
其中的真命题有( )
A(0个 B(1个
C(2个 D(3个
[答案] C
[解析] ?中α与β可能平行~故?错~??正确(
4((2012?河北邯郸临漳一中模拟)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是( )
1A. B(3 2
3C. D(2 2
[答案] A
[解析] 由三视图知~该几何体是一个横放的四棱锥P,ABCD~其底面ABCD为直角梯形~AB,1~CD,2~高BC,1~棱锥的高PC,1~
111?体积V,×[×(1,2)×1]×1,. 322
5.(2012?广东深圳一调)如图,三棱柱ABC,ABC中,AA?平面1111
ABC,AA,AB,2,BC,1,AC,5,若规定正(主)视方向垂直平面1
ACCA,则此三棱柱的侧(左)视图的面积为( ) 11
45A. B(25 5
C(4 D(2
[答案] A
[解析]
25过B作BE?AC~垂足为E~平面BBE交AC于E~则BE,~11115
25由题意根据三视图的规则知~几何体的侧视图
表
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示长为~宽为2的5
2545矩形~所以几何体的侧视图的面积为S,×2,~故选A. 55
6((文)(2011?济宁三模)在正三棱柱ABC,ABC中,若AB,2,111
AA,1,则点A到平面ABC的距离为( ) 11
33A. B. 42
33C. D.3 4
[答案] B
[解析] 解法1:取BC中点E~连接AE、AE~过点A作AF?AE~11
垂足为F.
?AA?平面ABC~?AA?BC~ 11
AB,AC.?AE?BC. ?
?BC?平面AEA. 1
?BC?AF~又AF?AE~ 1
?AF?平面ABC. 1
?AF的长即为所求点A到平面ABC的距离( 1
3?AA,1~AE,3~?AF,. 12
113解法2:VA,ABC,S?AA,×3×1,. ?1ABC1333又?AB,AC,5~ 11
22在?ABE中~AE,AB,BE,2. 111
1?S?ABC,×2×2,2. 12
12?VA,ABC,×S?ABC?h,h. 1133
2333?h,~?h,.?点A到平面ABC距离为. 13322(理)(2011?海淀检测)若正四棱柱ABCD,ABCD的底面边长为1111
1,AB与底面ABCD成60?角,则AC到底面ABCD的距离为( ) 111
3A. B(1 3
C.2 D.3 [答案] D
[解析] 依题可知?BAB,60?~平面ABCD?平面ABCD~AC1111111
?平面ABCD~ 1111
?BB即为所求距离~在?ABB中得~ 11
BB,3.故选D. 1
7((文)(2011?扬州模拟)已知直线l,m,n,平面α,m?α,n?α,则“l?α”是“l?m且l?n”的________条件((填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)
[答案] 充分不必要
[解析] 若l?α~则l垂直于平面α内的任意直线~故l?m且l?n~但若l?m且l?n~不能得出l?α.
(理)(2011?揭阳模拟)设x、y、z是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:?x、y、z均为直线;?x、y是直线,z是平面;?z是直线,x、y是平面;?x、y、z均为平面,其中使“x?z且y?z?x?y”为真命题的序号是________(
[答案] ??
[解析] 当x、y为直线~z为平面时~有x?z~y?z?x?y,当x、y为平面~z为直线时~有x?z~y?z?x?y~故??正确(
[点评] 由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知??均使命题为假命题(
8((2011?苏州模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列四个命题:
?若m?α,n?β,m?n,则α?β;
?若m?α,n?β,m?n,则α?β;
?若m?α,n?β,m?n,则α?β;
?若m?α,n?β,α?β,则m?n.
其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)________(
[答案] ??
,[解析] ?m?α,,,?n?α或n?α , m?n,?α?β, ,
, n?β
?如图~m为BC~n为AB~α为平面ADDA~β为平面ABCD~111111
满足?的条件~故?错,
?在上图中~将AB、BC改为m、n~满足m?α~n?β~m?n~1111故?错,
,?n?β,,,?n?α或n?α , α?β,?m?n. ,
, m?α
9.
如图所示,在四棱锥P,ABCD中,PA?底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD?平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
[答案] DM?PC
[解析] ?四边形ABCD为菱形~?BD?AC~
?PA?平面ABCD~?BD?PA~
?PA?AC,A~?BD?平面PAC~?BD?PC~
故当DM?PC(或BM?PC)时~有PC?平面MBD~
从而有平面PCD?平面MBD.
10((文)
底面是平行四边形,侧棱垂直于底面的棱柱称为直平行六面体(如图,在直平行六面体AC中,四边形ABCD是菱形,?DAB,60?,1
AC?BD,O,AB,AA. 1
(1)求证:CO?平面ABD; 111
(2)求证:平面ABD?平面ACCA. 1111
[证明] (1)连接AC交BD于O~连接AO. 111111
在平行四边形AAOAO~CO,AO~ CC中~C?111111
?四边形AOCO为平行四边形~?CO?AO. 1111?CO?平面ABD~AO?平面ABD~ 111111
?CO?平面ABD. 111
(2)在直平行六面体AC中~ 1
AA?平面ABCD~?AA?BD. 11111111
?四边形ABCD为菱形~?BD?AC. 11111111
?AC?AA,A~AC?平面ACCA~AA?平面ACCA~?BD1111111111111?平面ACCA. 11
?BD?平面ABD~?平面ABD?平面ACCA. 11111111(理)(2012?北京东城二模)如图,矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直,MB?NC,MN?MB.
(1)求证:平面AMB?平面DNC;
(2)若MC?CB,求证BC?AC.
[解析] (1)因为MB?NC~MB?平面DNC~NC?平面DNC~所以
平面DNC. MB?
因为四边形AMND是矩形~所以MA?DN.
又MA?平面DNC~DN?平面DNC~
所以MA平面DNC. ?
又MA?MB,M~且MA~MB?平面AMB~
所以平面AMB平面DNC. ?
(2)因为四边形AMND是矩形~所以AM?MN.
因为平面AMND?平面MBCN~且平面AMND?平面MBCN,MN~所以AM?平面MBCN.
因为BC?平面MBCN~所以AM?BC.
因为MC?BC~MC?AM,M~所以BC?平面AMC. 因为AC?平面AMC~所以BC?AC.
能力拓展提升
11.(2012?安徽理,6)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b?m,则“α?β”是“a?b”的( ) A(充分不必要条件 B(必要不充分条件 C(充分必要条件 D(既不充分也不必要条件 [答案] A
[解析] ??α?β,m~b?β~α?β~b?m~?b?α~ 又?a?α~?b?a.?当a?α~a?m时~?b?m~?b?a~而此时平面α与平面β不一定垂直~故选A.
12((文)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中,正确的命题是( )
A(m?α,n?β,m?n?α?β
B(α?β,m?α,n?β?m?n
α?β,m?α,nβ?m?n C(?
D(α?β,α?β,m,n?m?n?β
[答案] B
[解析] 如下图(1)满足m?α~n?β~m?n~但βα~故A错, ?
,α?β,,,?m?β ,m?α,?m?n~故B对, ,
, n?β
如图(2)满足α?β~m?α~n?β~但m?n~故C错, 如图(3)α?β~α?β,m~
AB?m于B~BC?m于B~直线AC为直线n~显然满足D的条
件~但不能得出n?β.故D错(?选B.
(理)如图,在长方体ABCD,ABCD中,AB,BC,2,AD与BC111111
π所成的角为,则BC与平面BBDD所成角的正弦值为( ) 1112
61A. B. 32
153C. D. 52
[答案] B
[解析] 连接BC~?BC?AD~ 111
π?AD与BC所成的角为~?BC?BC~ 11112
?长方体ABCD,ABCD为正方体~取BD的中点M~连接CM~1111111
BM~?CM?平面BBDD~??CBM为BC与平面BBDD所成的1111111角~
?AB,BC,2~?CM,2~BC,22~ 11
MC11?sin?CBM,,~故选B. 1CB21
13((文)(2010?河北唐山)如图,在直四棱柱ABCD,ABCD中,1111?ADC,90?,且AA,AD,DC,2,M?平面ABCD,当DM?平面11ACD时,DM,________. 11
[答案] 22
[解析] ?DA,DC,DD且DA、DC、DD两两垂直~故当点M11
使四边形ADCM为正方形时~DM?平面ACD~?DM,22. 111
(理)(2011?西安模拟)在三棱柱ABC,ABC中,各棱长相等,侧棱111
垂直于底面,点D是侧面BBCC的中心,则AD与平面BBCC所成1111角的大小是________(
[答案] 60?
[解析]
如图~取BC中点E~连结DE、AE、AD~依题意知三棱柱为正三棱柱~易得AE?平面BBCC~故?ADE为AD与平面BBC C所成1111的角(设各棱长为1~则
31AE,~DE,~ 22
3
2AEtan?ADE,,,3~??ADE,60?. DE1
2
14((2012?山西联考)已知四棱锥P,ABCD的顶点都在球O的球面上,底面ABCD是矩形,平面PAD?底面ABCD,?PAD为正三角形,AB,2AD,4,则球O的表面积为________(
64[答案] π 3
[解析] 过P作PE?AB交球面于E~连结BE、CE~则BE?AP~CE?DP~
?三棱柱APD,BEC为正三棱柱~
23??PAD为正三角形~??PAD外接圆的半径为~ 3
23422?球O的半径R,2,,,,~ 33
642?球O的表面积S,4πR,π. 3
15((文)
(2011?北京石景山测试)在棱长为1的正方体ABCD,ABCD中,1111
E,F,G分别为棱BB,DD和CC的中点( 111
(1)求证:CF?平面DEG; 1
(2)求三棱锥D,AAE的体积; 11
(3)试在棱CD上求一点M,使DM?平面DEG. 1
[解析] (1)证明:?正方体ABCD,ABCD中~F~G分别为棱1111
DD和CC的中点~ 11
?DF?GC~且DF,GC. 11
四边形DGCF是平行四边形(?CFDG. ??11
又CF?平面DEG~DG?平面DEG~ 1
?CF?平面DEG. 1
(2)正方体ABCD,ABCD中~有AD?平面AAE. 1111111?AD是三棱锥D,AAE的高~AD,1. 111111
1?VD,AAE,?S?AAE?DA 111113
111,××1×1×1,. 326
(3)当M为棱CD的中点时~有DM?平面DEG. 1
正方体ABCD,ABCD中~有BC?平面CDDC~ 111111又?DM?平面CDDC~BC?EG~?EG?DM. 1111
1又?tan?GDC,tan?MDD,~ 12
??GDC,?MDD~??MDD,?DDG,?GDC,?DDG,1111
90?~?DM?DG. 1
又DG?EG,G~?DM?平面DEG. 1
(理)
DC,如图,已知在直四棱柱ABCD,ABCD中,AD?DC,AB?1111
DC,DD,2AD,2AB,2. 1
(1)求证:DB?平面BBCC; 11
(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使得DE?平面ABD,11并说明理由(
[解析] (1)证明:?AB?DC~AD?DC~?AB?AD~在Rt?ABD中~AB,AD,1~?BD,2~
易求BC,2~又?CD,2~?BD?BC.
又BD?BB~BB?BC,B~?BD?平面BBCC. 1111
(2)DC的中点即为E点(
?DE?AB~DE,AB~
?四边形ABED是平行四边形(?AD綊BE.
又AD綊AD~?BE綊AD~ 1111
?四边形ADEB是平行四边形(?DE?AB. 1111
?DE?平面ABD~AB?平面ABD~?DE平面ABD. ?11111116((文)(2011?北京文,17)如图,在四面体PABC中,PC?AB、PA?BC,点D、E、F、G分别是棱AP、AC、BC、PB的中点(
(1)求证:DE?平面BCP;
(2)求证:四边形DEFG为矩形;
(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等,说明理由(
[解析] (1)因为D~E分别为AP~AC的中点~
所以DE?PC~
又因为DE?平面BCP~PC?平面BCP~
所以DE?平面BCP.
(2)因为D~E~F~G分别为AP~AC~BC~PB的中点~所以DE?PC?FG~DG?AB?EF~所以四边形DEFG为平行四边形~ 又因为PC?AB~
所以DE?DG~所以四边形DEFG为矩形(
(3)存在点Q满足条件~理由如下:
连接DF~EG~设Q为EG的中点~
1由(2)知~DF?EG,Q~且QD,QE,QF,QG,EG~ 2
分别取PC~AB的中点M~N~连接ME~EN~NG~MG~MN. 与(2)同理~可证四边形MENG为矩形~其对角线交点为EG的中
1点Q~且QM,QN,EG~ 2
所以Q为满足条件的点(
(理)(2012?北京文,16)如图1,在Rt?ABC中,?C,90?,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将?ADE沿DE折起到?ADE的位置,使AF?CD,如图2. 11
(1)求证:DE?平面ACB; 1
(2)求证:AF?BE; 1
(3)线段AB上是否存在点Q,使AC?平面DEQ,说明理由( 11
[
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
] (1)利用线面平行判定定理证明(关键证明DE?BC)(
,,DE?ADDE?AD,,1,,(2)由平面图形知折叠后~~由线面垂直判 ,,DE?CDDE?CD,,
定定理证得DE?平面ACD~则DE?AF~又由AF?CD~易证得AF1111?平面BCDE~则AF?BE. 1
(3)采取先找再证的
办法
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处理(由DA,DC联想到等腰三角形底边1
上的中线是底面边上的高~可取AC中点~再由“中点找中点”原则1
取AB中点Q~证明AC?平面DEQ(利用(2)中的DE?平面ADC这111一结论)(
[解析] (1)因为D~E分别为AC~AB的中点~
所以DE?BC.
又因为DE?平面ACB~所以DE?平面ACB. 11
(2)由已知得AC?BC且DE?BC~
所以DE?AC.
所以DE?AD~DE?CD~所以DE?平面ADC. 11而AF?平面ADC~所以DE?AF. 111又因为AF?CD~ 1
所以AF?平面BCDE. 1
所以AF?BE. 1
(3)线段AB上存在点Q~使AC?平面DEQ. 11理由如下:
如图~分别取AC~AB的中点P~Q~则PQ?BC. 11
又因为DE?BC~所以DE?PQ~ 所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知~DE?平面ADC~ 1
所以DE?AC. 1
又因为P是等腰直角三角形DAC底边AC的中点~ 11所以AC?DP. 1
所以AC?平面DEP. 1
从而AC?平面DEQ. 1
故线段AB上存在点Q~使得AC?平面DEQ. 11[点评] (1)本题考查了线面平行~线面垂直的判定定理~性质定理~
折叠问题~存在性问题等(
(2)对于折叠问题~关键是看清折叠前后各量的变化与不变(包括长度、角度、位置关系等)~对于存在性问题~一般采取先找再证(取特例)的办法解决(
1(定点A和B都在平面α内,定点P?α,PB?α,C是α内异于A和B的动点,且PC?AC.那么,动点C在平面α内的轨迹是( )
A(一条线段,但要去掉两个点
B(一个圆,但要去掉两个点
C(一个椭圆,但要去掉两个点
D(半圆,但要去掉两个点
[答案] B
[解析] 连接BC~?PB?α~?AC?PB.
又?PC?AC~?AC?BC.
?C在以AB为直径的圆上(故选B.
2((2011?北京海淀区期末)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面(下列命题中不正确的是( )
A(若m?α,α?β,n,则m?n
B(若m?n,m?α,则n?α
C(若m?α,m?β,则α?β
D(若m?α,m?β,则α?β
[答案] A
[解析] 选项A中~直线m与直线n也可能异面~因此A不正确(
3.
(2012?武汉市训练)如图,正方体ABCD,ABCD的棱长为a,点1111E为AA的中点,在对角面BBDD上取一点M,使AM,ME最小,111
其最小值为________(
3[答案] a 2
[解析] 过点M作MN?平面ABCD交BD于点N~连结AN.设MN,x(0?x?a)~
2a2222AN,y(a?y?a)~则AM,ME,x,y,,,x,,y22
2a22222?x,,a,,,,x,,,a, 222
1a12222,x,a,,,x,,a. 222
1a12222设f(x),x,a,,,x,,a~ 222
ax,2x则f ′(x),, . a112222x,a,,x,,a222
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