第一章 有理数
一、知识网络结构
二、知识要点
不可以
相反意义
分界
0
-
可以
0
1、大于______的数叫正数,根据需要,有时正数前面加上,通常这个“+”号_____省略。在正数前面加上一个______的数叫做负数,这个“-”号_______省略。______既不是正数,也不是负数,它不仅仅表示没有,它是正数和负数的_______。在同一个问题中,分别用正数和负数表示具有_____________的量,如果正数表示某种意义的量,那么负数表示与它相反的意义的量,但把哪个量
规定
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为正数是可以任意选择的。
1
负整数
0
正整数
2、_______、_______、_________统称为整数,整数可以看作分母为______的分数,正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式。
负有理数
0
正有理数
分数
整数
3、有理数分类:按定义来分 ;
非正数
非正整数
非负数
非负整数
负数
4、正有理数常常称为正数,负有理数常常称为_______,正整数和0统称________,负整数和0统称________,正数和0统称________,负数和0统称_________ 。如果a是非负数,则 a≥0 。
原点
正
0
单位长度
正方向
原点
5、规定了_______、__________和___________的直线叫数轴。数轴的画法:①画一条直线,在直线上任取一点来表示数_____,即_______;②通常规定从原点向右(或向上)为______方向,用箭头标出,则从原点向______(或向______)为负方向;③选取适当的长度来表示单位长度。
原点
6、设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的_____边,与原点的距离是_______个单位长度;表示数-a的点在原点的_____边,与原点的距离是_______个单位长度。特别注意:任何一个有理数在数轴上都可以用一个点把它表示出来,但数轴上的每一个点并不一定都表示有理数。
7、相反数的定义:①代数定义:只有________不同的两个数叫做互为相反数;②几何定义:在数轴上位于_______的两旁,并且与原点的距离相等的两个点表示的数,叫做互为相反数。
8、相反数的性质:①互为相反数的两个数的和为0,并且绝对值相等。如果a和b互为相反数,则
a+b=0,a=-b,b=-a,︱a︱=︱b︱;②0的相反数是________。
9、数轴上表示数a的点与________的距离叫做数a的绝对值,记作_________。
10、绝对值的性质:一个正数的绝对值等于__________,一个负数的绝对值等于_______________,0的绝对值等于_____; 用字母表示(a是有理数)
注意:如果︱a︱=a,则a 0;如果︱a︱=-a,则a 0 。
11、有理数大小的比较:⑴规定:在数轴上表示的数,它们是按从左到右的顺序排列的,即从小到大的顺序,所以数轴表示的数,左边的数总______右边的数。⑵原则:①正数和正数比较,
小学
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已经学过。正数_____0;0_____负数;正数____负数;②两个负数比较,绝对值大的反而小。用字母表示:a>0,b>0,并且a>b,则-a____-b 。特别提醒:比较两个数的大小时,首先要分清是哪种类型,只有两个负数比较时才比较绝对值的大小。
12、有理数加法法则:①同号两数相加,取加数的_______符号,并把________相加,作为结果的绝对值;②绝对值不等的两数相加,取____________的加数的符号,并用较大的绝对值________较小的绝对值,作为结果的绝对值;③互为相反数的两数(绝对值相等)相加得__________;④一个数同____相加,仍得原数。
13、有理数加法法则用字母表示(设a>0,b>0,并且a>b):
① 〔+a〕+〔+b〕=+〔a+b〕,〔-a〕+〔-b〕=-〔a+b〕;
②〔-a〕+〔+b〕=-〔a-b〕,〔+a〕+〔-b〕=+〔a-b〕;
③〔+a〕+〔-a〕=0, 〔-b〕+〔+b〕=0;
④〔+a〕+0= a, 〔-a〕+0= -a, 0+〔+b〕=+b, 0+〔-b〕=-b。
14、有理数减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。字母表示:a-b= a+〔-b〕
15、有理数乘法法则:两个有理数相乘,_______得正,______得负,并把__________相乘,作为结果的绝对值;一个数同0相乘都得________ 。有理数乘法法则用字母表示(设a>0,b>0,并且a>b):
① 〔+a〕×〔+b〕=+〔a×b〕,〔-a〕×〔-b〕=+〔a×b〕;
②〔-a〕×〔+b〕=-〔a×b〕,〔+a〕×〔-b〕=-〔a×b〕;
③〔+a〕× 0= 0, 〔-a〕×0= 0, 0×〔+b〕=0, 0×〔-b〕=0。
16、多个不等于0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为______个时,积为负,当负因数的个数为______个时,积为正,并把_________相乘,作为结果的绝对值。多个有理数相乘,如果其中一个因数为0,那么积为_______。
17、乘积为_____的两个数互为倒数。 (≠0)倒数是 。倒数的性质:如果、b互为倒数,那么×b=1,=,b= 。互为倒数的两个数同号,0_________倒数。
18、有理数除法法则:①除以一个不为0的数等于乘以这个数的________;字母表示 ;②两个有理数相除,_______得正,______得负,并把__________相除,作为结果的绝对值;0除以任何一个不为0的数都得________ 。
19、求n个相同因数的______的运算叫乘方,乘方的结果叫______。用字母表示:, 是幂,是底数,是指数,并且是正整数。特别注意:当底数是分数或负数时,先用括号将分数或负数括上,再写上指数;一个数可以看作是它本身的_______次方。
20、幂的符号(正负)性质:①正数的任何次幂都是________,0的正整数次幂是_______;②负数的_____次幂是负数,负数的_____次幂是正数;③互为相反数的两个数的偶数次幂相等,奇数次幂仍互为相反数。
21、任何一个数的偶数次幂都是非负数,即大于或等于0,如:对于任何一个数,都有≥0 。
22、字母表示任何一个有理数,为正整数,则有
①当>0时,>0; ②当<0时,; ③当=0时,=0 。
23、有理数混合运算(五种)顺序:⑴先算_______,再算________,最后算_______;⑵同级运算,按照从____到_____的顺序进行;⑶如果有括号,就先算括号,并按_________、__________、_________的顺序进行。
24、在进行有理数混合运算时注意:①加法法则也可以推广到两个以上有理数相加的情况;②小学学过的运算律同样适用,在运算时要仔细观察题中各数之间的关系,适当运用运算律,改变运算顺序,尽量简化运算;③运算过程中,一般先把带分数化成假分数、小数化成分数,再进行乘方、乘除运算。
25、把一个大于10的数写成___________的形式(的整数数位只有_____位,是_______。) ,这种方法叫科学记数法。注意:①在科学记数法的形式中,,等于原数的整数位数减1;②一个负数用科学记数法表示时,只需在前加上一个“-”号即可。
末位数字
26、和实际完全符合的数叫______数,和实际接近的数叫______数。一个近似数,从左边第一个_______的数字起,到____________止,所有的数字都叫这个近似数的有效数字。