13__正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差

13__正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差13__正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差概率论与数理统计习题解答第二章随机变量及其分布 13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差 2P(,1.6,X,5.8)P(X,4.56)一、设随机变量服从正态分布，求(1);(2)( XN(1,2) X,1解:(1) P(,1.6,X,5.8),P(,2.6,X,1,4.8),P(,1.3,,2.4)2 ,Φ(2.4),Φ(,1.3),Φ(2.4),[1,Φ(1.3)],0.9918,1，0.9032,0.89500,10,10,10,1 X,1...

13__正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差概率论与数理统计习题解答第二章随机变量及其分布 13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差 2P(,1.6,X,5.8)P(X,4.56)一、设随机变量服从正态分布，求(1);(2)( XN(1,2) X,1解:(1) P(,1.6,X,5.8),P(,2.6,X,1,4.8),P(,1.3,,2.4)2 ,Φ(2.4),Φ(,1.3),Φ(2.4),[1,Φ(1.3)],0.9918,1，0.9032,0.89500,10,10,10,1 X,1(2) P(X,4.56),1,P(X,4.56),1,P(,2.78,,1.78)2 ,1,[Φ(1.78),Φ(,2.78)],1,Φ(1.78)，1,Φ(2.78)]0,10,10,10,1 2,0.9625,0.9973,0.0402. 2100,1.2二、已知某种机械零件的直径(mm)服从正态分布(规定直径在(mm)XN(100,0.6) 之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率( p,P(X,100,1.2),1,P(X,100,1.2)解:设表示这种机械零件的不合格品率，则( p ,1.2X,1001.2X,100而 P(X,100,1.2),P(,,),P(,2,,2)0.60.60.60.6 ,,(2),,(,2),,(2),[1,,(2)],2,(2),1 ,2，0.9772,1,0.9544 p,1,0.9544,0.0456故( 三、测量到某一目标的距离时发生的误差(m)具有概率密度 X2(20)x,,13200() fx,e 402, 30求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过m的概率( 解:三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为 D,{第一次ξ,30},{第二次ξ,30},{第三次ξ,30} 2 因为，所以由事件的相互独立性，有 ξ~N(20,40) 333P(D),(P{ξ,30}),(P{ξ,,30，ξ,30}),[Φ(,1.25)，1,Φ(0.25)] 0,10,1 33 ,(2,0.5987,0.8944),0.5069,0.13025 于是有 P{三次测量中,至少有一次绝对值,30米},1,P(D),1,0.13025,0.86975( X2Y,e四、设随机变量，求随机变量函数的概率密度(所得的概率分布称为对X~N(,,,) 数正态分布)( 解:由题设，知X的概率密度为 2,()x,,122, f(x),e(,,,x,，,)X,,2 从而可得随机变量Y的分布函数为 X( F(y),P(Y,y),P(e,y)Y ,y,0当时，有;此时亦有( F(y),0F(y),0YY 概率论与数理统计习题解答第二章随机变量及其分布 y,0当时，有 2,,(x),lny12,2()(ln)( Fy,PX,y,edxY,,,2,,2,(ln)y,,122,,()Fy,e 此时亦有( Y2,,y 从而可得随机变量的概率密度为 Y ,0,y0;,2,,(ln)y,,, f(y)12,Y2,e,y,0.,,,2y, 22X~N(,,,)Y~N(,,,)五、设随机变量与独立，，，求: XY1122 b (1) 随机变量函数的数学期望与方差，其中及为常数; Z,aX，bYa1 (2) 随机变量函数的数学期望与方差( Z,XY2 22E(X),,,D(X),,E(Y),,,D(Y),,解:由题设，有;(从而有 1122(1); E(Z),E(aX，bY),E(aX)，E(bY),aE(X)，bE(Y),a,，b,112 222222D(Z),D(aX，bY),D(aX)，D(bY),aD(X)，bD(Y),a,，b, ( 112(2); E(Z),E(XY),E(X)E(Y),,,212 2222222D(Z),D(XY),E(XY),E(XY),E(X)E(Y),E(X)E(Y) 2 2222 ,[D(X)，E(X)][D(Y)，E(Y)],E(X)E(Y) 22 ,D(X)D(Y)，D(X)E(Y)，D(Y)E(X) 222222 ( ,,,，,,，,,121221

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