【doc】 广义S-几何凸函数的定义及其应用一则

【doc】 广义S-几何凸函数的定义及其应用一则 广义S-几何凸函数的定义及其应用一则 第18卷第4期 2005年12月 眚鸟私盛技术净 ]ournalofQingdaoVocationalandTechnicalCollege Vo1.18No.4 Dec.2005 广义S一几何凸函数的定义及其应用一则 张小明,续铁权 (1.浙江广播电视大学海宁学院,浙江海宁314400;2.青岛职业技术学院,山东青岛266071) 摘要:本文首先对现有的S一几何凸函数定义进行了拓广,定义了广义S一几何凸函数,得到广义S一几何 凸函数的判别定理,并依此推广一个已知不等式. 关键词:不等式;几何凸函数;S一几何凸函数;广义S一几何凸函数 中图分类号:O174.13文献标识码:A文章编号:1672—2698(2005)04—0060—03 一 ,引言 本文设R,R分别为元向量的全体和分量全 为正数的元向量的全体.对于z一(z,z.…,z)? R,一(l,y2,…,y)?R定义 e一(P1,P2,…,en),z?Y一 (z…YzzYz,…,zYA(z)一? 对于z?R,口>0,定义 z一(zj,Xa,…,z:),lnx一 (1nx,lnxz,…,lnx),G(z)一?? A(x)一厶n1x?,G(x)一? 定义1[1设ER,称E为对数凸集([1]中 称其几何凸集),如果任取其中的两点z和Y,对于任 何O<a,1且口+一1,都有?E. 注:若E为对数凸集,则lnE={lnxIz?E}为R 中凸集,因任取lnx,lny?lnE,有z,y?E,所以p ?E对任何O<a,1且口+一1成立,进而有alnx - [-fllny?lnE,故lnE为凸集. E13中还给出S一几何凸函数的定义如下: 定义2[..设z一(zl,z2,…,z)?R,一 (,yz,…,y)?R,它们的递减排列分别为(pc], [2],…,x,I])和(YE1]’3,[2],…,3,[]),若满足 ?砌?Y],忌一1,2,…,一1, ?mE=?Y[O 则称(z,zz,…,z)对数控制(,y.,…,y),记为 lnx)-lny. 引理1[z一(z1,z2,…,z)?R对数控制 60 (G(z),G(z),…,G(z)). 定义3[1]设z,Y?ER,f是定义在E上的 非负函数,如果当lnxlny时,有f(z)() 厂(),则称f是E上的Schur一几何凸(凹)函数,简 称S一几何凸(凹)函数. 仅引入S一几何凸(凹)函数的定义,有时十分不 便,因有时我们还不知一个函数是否非负,如[1]中第 142页的例3证明,化费了一番努力才解决这个矛 盾.所以有必要去掉定义中非负性的 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 .本文首先 定义了广义的S一几何凸函数,然后利用这个拓广了 的定义,推广一个有关算术平均和几何平均的不等 式. 二,广义S一几何凸函数的定义和判定定理 定义4设z,Y?ER,f是定义在E上的 函数,如果当lnxk-lny时,有厂(z)三三=()厂(),则称 f是E上的广义Schur一几何凸(凹)函数,简称广义 S一几何凸(凹)函数. 为了得到广义S一几何凸(凹)函数的判定定理, 还需以下引理2,其中凸集,S一凸(凹)函数,控制 “>-_”等概念可参考E4]中的第一章知识. 引理2?设集合HR是有内点的对称凸 集,:H—R连续,且在H中的内点都可微,则在 H上为S一凸函数的充分必要条件是在H上对称 且对H的任意内点z,都有 (zl—z2)(l一2)0. 定理1设对称函数厂在有内点的对称对数凸 集E上连续且一阶可微,在E的任一有界子集上都 收稿日期:2005-04—27 作者简介:张小明(1968一),男,浙江海宁人,副教授,硕士. 眚名私盛技术晕2005年第4期 有界,且任取z=(z1,X2,…,X)?ER,有 (1nx1一lnx2)(z1f1一X2f2)三三=0,(1) 则是E上的广义S一几何凸函数;若上式不等号反 向,则是E上的广义S一几何凹函数. 证明任取向量b,cEE,lnb>--lnc.下证f(b) f(c).因存在正实数,,p,使得b,c?En[,,p]”,f在 有界区域En[,,p]”上为有界,故存在足够大的正数 M,使得f(x)+M在En[,,p]”取值为正.令g(x)一 f(x)+M,xEEn[,,p]”,考虑函数lng(e),其中Y ?H一{lnxIxEEn[,,p]”).由注1和题意知此时H 为有内点的对称凸集,又因 (一2)[lng))一(1ng Yldy ))]d. 一 c—cg一g, 令x—e,由于g(x)取值为正,所以上式为 (Y~--Y2c筹一鬻 n一?n簪., 利用引理2知lng(e)是S一凸函数,由S一凸函数的 定义知 lng(e曲)三三=lng(e)?lng(6)三三=lng(c) ?g(6)g(c)?(6)(c), 所以f是E上的广义的S一几何凸函数.当(1)式反 向时,同理可证E上的广义S,几何凹函数. 三,应用一则 设O<mzM,一1,2,…,,2,,22,1,2,…, 是正数,?一1,记 A(x,)一?X,G(x,)一?, 仿此定义A(x.,),G(x,). [1][5]证明了 命题4m[A(x)一G(z)]A(x)一G(x) 4M[A(x)一G(z)](2) 本文把它推广为 定理2当口>0,口?1时,有 (1)K.[A(z)一G(z)]A(x) 一 G(x.)LA(z)一G(z)].(3) 其中 (2)KA(z,)一G(x,)]A(x,) 一 G(x.,)L.[A(z,)一G(x,)].(4) r口,0<口<1 K一J, 10t2,口>1 r口,0<<1 L.一j. I口M,口>1 证明先证明(3),记,一m,M]. 对于z一(z,z2,…,X)?P,设(z)一[A(z) 一 G(x)]一K.[A(z)--G(x)],显见厂(z)在P上有 界,P是对称对数凸集?.又 一 旦rzr一]一r1一], OX1LXlJLXlJ 一 旦rz一]一r1一], Ox2LX2JLX2J (1一lnx2?af差) =一 1(1n z一lnx2)[口(z{一z!)一K(z一z)] 一(z一z)(1nz一lnx2)[口.箜_=量一K]. n.r1一.r0 由微分中值定理知存在使得一a一,在r口——口 JL1JL2 X1,z2之间,故<M. (1nz一lnx2)(zaf— zz af) 一 (X1一X2)(1nx1一lnx2)(口一K.). ,2 当口>1时,K=口<口一,(1nx1一lnz2) (zaf—z zx f)~0 ;当o<口<1时,K.一口M口一< 口_.,(1nz一lnx2)(z一z2af一 )0.由定理1, 函数是,上的广义S-几何凸函数,由定义4及引 理1知厂()三三=厂(G(z)),即 [A(X.)一G(x)]一KA(z)一G(x)] 三三=[A(0(z))一0(z)]一Kd[A(G(z))一G(z)]一0, 所以[A(X.)一G(x)]K.[A(X)一G(x)],从而得 到(3)的左式. 若再设g(z):LA(z)一G(z)]一[A()一 61 2005年第4期眚鸟取盛技术晕 G(x)],其中z?R,同理可证g上I的广义s-几 何凸函数,从而得到(3)的右式. (3)式证毕. , 对于(4)式,若所有i是有理数,设一_gi(志,P 是自然数),在(3)中设z有P个分量,其中有k个 z(一1,2,…,)就得到(4).若存在是无理数,取 n个正有理数列{,)(一1,2,…,n;j一1,2,…),使 墨一1,(一1,2,…),且当一?,---~;t,记 一 (lj,…,),由前面的证明得到 K口[A(z,)一G(x,)]A(x,)一G(x,) L口[A(z,)一G(x,)], 再令一?,就得到(4)式. 参考文献: EI-I张小明.几何凸函数EM].合肥:安徽大学出版 社,2004. [2] I-3-1 [4] 杨定华.关于几何凸函数的不等式[J].河北大学 (自然科学版),2002,22(4). ConstantinP.Niculescu,ConvexityAccording totheGeometricMean.MathematicalInequali— ties&Applications.2000(2):155—167. 王伯英.控制不等式基础[M].北京:北京师范大 学出版社,1990. [5]陈胜利.均值不等式的加强及逆向I-J-1.数学通 讯,2000(17). TheDefinitionofGeneralizedS-GeometricallyConvexFunctionandOneofItsApplications quan, ZHANGXiao—ming,XUTie— (1.HainingCollege,ZhejiangTVUniversity,Zhejiang314400; 2.QingdaoVocationalandTechnicalCollege,Qingdao,Shandong266071) Abstract:Thispaperimprovesthedefinition thenewconception,aninequalityisgeneralized. ofS—geometricallyconvexfunction.Fortheapplicationof Keywords:inequality;geometricallyconvexfunction;S-geometricallyconvexfunction;generalizedS-ge— ometricallyconvexfunction 0?o0?O0?0.?O0?o.?O0?O0?O000O?0o?0o?o0?o0?00 ?oo?o0?o0?O0?O0?0o?0o?O0?o0?O0?00?0o?O0?0o ?00?o0?00?0o?O0?o0?0o?0o?00?0o?o0?O0?o0?o0? O0?oo?0o?o0?o0?O0?O0?o (上接第55页) ADiscussionontheIssueof”Pre一0bject’’ —— ConsultingwithMr.HuangBorong QIUJun—hai,ZHAIWan—ling,FENGYing (QingdaoCampusofShandongDezhouScienceandTechnologyVocational College, Qingdao,Shandong266000) Abstract:The”pre—object”,acommonplaceissueinthefieldofthegrammar,seemsunnecessaryforUS tOdiscuss,However,intheseyears,bothHuangBorongandLiaoXudong,asanewforce,havethenega— tiveattitudeabout”pre—object”intheirworkModernChineseLanguage.Itiscontrarytothetraditional0一 pinion,butitcanbesaidtobeapioneeringreformandmaycausethedebateinthefieldofthegrammar. Combiningtheteachingpractice,theauthortriestosketchilydiscussthisgrammarphenomenonof”pre—ob— ject”fromthefollowingthreeaspects:traditionalconcept,practicalapplicationandtheoreticalfoundation. ThepurposeistodrawtheattentionandconsultswithMr.HuangBorongandMr.LiaoXudong.Itcanbe agoodthingtoexchangeopinionswiththescholars. Keywords:pre—object;sentencestyle 62