最大似然估计例题 矩估计与极大似然估计的典型例题
关于矩估计与极大似然估计的典型例题例1，设总体X具有分布律
23??1X~??θ22θ(1?θ)(1?θ)2???? 其中0<θ<1为未知参数。已经取得了样本值x1=1,x2=2,x3=1，试求参数θ的矩估计与极大似然估计。 解:(i)求矩估计量，列矩方程(只有一个未知参数) E(X)=θ2+2×2θ(1?θ)+3×(1?θ)2=3?2θ=X 43?3?X3?x5θ矩====2226
)求极大似然估计，写出似然函数，即样本出现的概率(iiii)求极大似然估计，写出似然函数，即样本出现的概率得L(θ)=P(X1=x1,X2=x2,X3=x3) =P(X1=1,X2=2,X3=1)
=P(X1=1)×P(X2=2)×P(X3=1)
=θ2×2θ(1?θ)×θ2=2θ5(1?θ)
1
对数似然
lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1?θ)
dlnL(θ)51=?=0dθθ1?θ
得极大似然估计为
5ˆθ极=6
(以h记)X服从双参数指数分布，其概例2，某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命(服从双参数指数分布， 率密度为
?1?exp[?(x?µ)/θ],x?µf(x)=?θ?0,其他? µ>0均为未知参数，自一批这种零件中随机抽取n件进行其中θ，
寿命试验，设它们的失效时间分别为x1,x2,L,xn. µ的最大似然估计量;(1)求θ，
µ的矩估计量。(2)求θ，
解:(1)似然函数，记样本的联合概率密度为 n
L(θ，µ)=f(x1,x2,L,xn;θ，µ)=?f(xi) i=1
?n1??exp[?(xi?µ)/θ],x1,x2,L,xn?µ=?i=1θ
?0,其他?
n?1?nexp(?(?xi?nµ)/θ),µ?x(1)=?θi=1
2
?0,µ>x(1)?
µ)=0肯定不是最大值的似然函数，L(θ，在求极大似然估计
时在求极大似然估计时，
值，不考虑这部分，只考虑另一部分。 取另一部分的对数似然函数
lnL(θ,µ)=?nlnθ?(?xi?nµ)/θ,µ?x(1) i=1n
?n
???lnL(θ,µ)
?=?n+?xi?nµ
i=1=
??θθθ20
??lnL(θ,µ)
??µ=n
θ>0
可知关于θ，µ的驻点不存在，但能判定单调性由?lnL(θ,µ)n
?µ=θ>0知
n
lnL(θ,µ)=?nlnθ?(?xi?nµ)/θ,µ?x(1), i=1
关于µ是增函数，故
µˆ极=x(1)
3
?lnL(θ,µ)=?n?n
xi?nµ
将之代入到i=1
?θθ+θ2=0中得θˆ极=?x(1)
则µˆ极=x(1)，θˆ极=?x(1)一定能使得似然函数达到最大，故θ，µ的极大似然估计为
???θˆ极=x?x(1)
??µˆ极=x(1)
(2)列矩方程组(两个未知参数)
+?1?E(X)=?xexp[?(x?µ)/θ]dx=µ+θ=?µθ??n+?2112222?E(X)=xexp[?(x?µ)/θ]dx=(µ+θ)+θ=?Xi?µ?θni=1?
解出
n?12ˆθ=(X?)?矩?ini=1??1n?ˆ2µ=?(X?)?i?矩ni=1?
,Xn为例3，设总体X~U[0,θ]，其中θ>0为未知参数，X1,X2,K为未知参数，
,xn为样本观察值，x1,x2,K，求未来自总体X的一组简单随机样本的一组简单随机样本，为样本观察值， 知参数θ的极大似然估计。
解:似然函数，即样本的联合概率密度
?1n,0?x1,x2,L,xn?θL(θ)=f(x1,x2,L,xn;θ)=?f(xi)=?θ
4
i?1??0,elsen
L(θ)=0肯定不是最大值，考虑另一部分的最大值，取对数似然
lnL(θ)=?nlnθ,θ?x(n)
dlnL(θ)n=?<0dθθ
知lnL(θ)=?nlnθ在θ?x(n)内是单调递减的，故θ取x(n)能使得似然函数达到最大，则θ的极大似然估计值为θˆ极=x(n)，极大似然估计量为θˆ极=X(n)
5
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