高考数学导数及其应用怎么考
一.设计立意及思路：
导数是高中新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是对学生进行理性思维训练的良好素材。从近几年的高考命
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：
第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。
第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。
正是基于以上的认识，本专题在例题设计上也是逐层递进，而在每一个例题上又注意一题多解和多题一解，并且逐步拓展，使学生能循序渐进的掌握知识和方法，
二.高考考点回顾：
1.考试要求：
(1) 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）。掌握函数在某一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函数的概念。
(2)熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
(3)了解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）。会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
2.近5年全国新课程卷对本章内容的考查情况：
科别
年份
题型
题量
分值
考查内容
文科
2000
解答题
1
14
导数在实际中的应用
2001
解答题
1
12
利用导数求函数的单调区间
2002
解答题
1
12
综合运用导数的几何意义证明不等式
2003
解答题
1
12
利用导数求曲线的切线方程
2004
(浙江卷)
解答题
1
12
求函数导数。利用导数求最值，解有关单调性问题。
理科
2000
解答题
1
12
导数在实际中的应用
2001
选择、解答题
各1题
5+12
利用导数求函数的极值和证明函数的单调性。
2002
解答题
1
12
综合运用导数的几何意义证明不等式
2003
选择、解答题
各1题
5+12
导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间
2004
(浙江卷)
选择、解答题
各1题
5+12
导函数的概念，；利用导数求曲线的切线方程，求函数的最值。
三.基础知识梳理：
1.导数的有关概念。
(1)定义：
函数y=f(x)的导数f/(x)，就是当
时，函数的增量
与自变量的增量
的比
的极限，即
。
(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。
(3)几何意义：
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。
2.求导的方法：
(1)常用的导数公式：
C/=0（C为常数）；
(xm)/=mxm-1(m∈Q);
(sinx)/=cosx;
(cosx)/= -sinx ;
(ex)/=ex;
(ax)/=axlna
;
.
(2)两个函数的四则运算的导数：
(3)复合函数的导数：
3.导数的运用：
(1)判断函数的单调性。
当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f/(x)>0，则f(x)为增函数；如果f/(x)<0，则f(x)为减函数。
(2)极大值和极小值。
设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)
f(x0)）,我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。
(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。
四.例题讲解：
例1.(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；
(2)若f(x)在R上可导，且f(x)= -f(x)，求f/(0)。
(1)解：如果函数y=f(x)在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比
，当
时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。记作
。
(2)解法一：∵f(x)= f(-x)，则f(△x)= f(-△x)
∴
当
时，有
∴
∴
。
解法二：∵f(x)= f(-x)，两边对x求导，得
∴
∴
。
评析：本题旨在考查学生对函数在某一点处的定义的掌握。题（2）可对其几何意义加以解释：由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数，它的图象关于y轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y轴对称，斜率为互为相反数，点(0,f(0))位于y轴上，且f/(0)存在，故在该点的切线必须平行x轴（当f(0)=0时，与x轴重合），于是有f/(0)=0。在题（2）的解二中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的奇函数的导函数为偶函数吗？
例2. 设f(x)在点x0处可导，a为常数，则
等于( )
A.f/(x0) B.2af/(x0) C.af/(x0) D.0
解：
故选(C)
评析：在例1的基础之上，本题旨在巩固学生对函数在某一点处的导数的定义的掌握。
例3.一汽车以50km/h的速度沿直线驶出，同时，一气球以10km/h的速度离开此车直线上升，求1h后它们彼此分离的速度。（人教版高三数学教材（选修Ⅱ）第三章复习参考题B组第6题）
解：以汽车和气球运动方向所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系系（如图），t时刻汽车位于(50t,0)处，气球位于(0,10t)处，
则两汽车和气球的距离
令t=1,
故1h后它们彼此分离的速度为
。
（例3图）
评析：本题考查学生对导数的某些实际背景的了解，要求学生能熟练运用复合函数的求导法则。而且考查了学生的画图识图能力，考查了学生用所学数学知识处理实际问题的能力。2004年全国高考湖北卷（数学理科）第16题就是由本题改编而成。
例4.已知抛物线C：y=x2+2x，按下列条件求切线方程：
(1) 切线过曲线上一点（1，3）。
拓展：已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y= -x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，当a取何值时，C1和C2有且仅有一条切线？写出此公切线的方程。（2003年全国高考卷新课程（数学文科））
(2) 切线过抛物线外的一点（1，1）。
(3) 切线的斜率为2。
拓展：点P为抛物线C:：y=x2+2x上任意一点，则点P到直线y=2x-2的最小距离为_______。
评析：本题考查曲线y=f(x)在点x0处的导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处切线的斜率。以题组的形式通过不同角度让学生熟练掌握导数几何意义的应用。第（1）小题的拓展是将第（1）小题中的点一般化，考查内容是一样的，是在第（1）小题的基础上有所提高，激发学生的兴趣。第（3）小题的拓展与第（3）小题解法类似，只是在出题上换个角度，属多题一解的类型。
例5.设f/(x)是函数f(x)的导函数，y=f/(x)的图象如右图所示，则y=f(x) 的图象最有可能是（ ）
（2004年全国高考浙江卷（数学理科）第11 题）
答案：（C）
评析：此题以直观的角度揭示了可导函数的单调性和其导数的关系。令
，可由对此题的分析，结合图象作以下拓展：
(1)求f(x)的极值；
在此处注意结合图形让学生理解极值的有关概念。如让学生判断下列说法是否正确：①极大值一定比极小值大；②区间的端点一定是极值点；③导数为0的点一定是极值点；④极值点一定是导数为0的点。从而进一步强调求极值的方法。
(2)求y=f(x)在x∈[0,3]上的最值；
让学生辨析极值和最值的区别，让学生进一步熟悉利用导数求函数最值的基本思路。
(3)用总长为14.8的钢条制做一个长方形的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少是容器的容积最大？并求出它的最大容积。（2002年全国新课程高考卷（理科）第20题）
此题为题（2）的类似拓展，强调了导数在实际生活中的应用。
(4)解不等式f(x)≥1。
导数是分析函数单调性的有力工具，故有很多问题如：证明不等式、解不等式、解方程、分析方程根的个数等等都可以转化为利用函数单调性处理，进而用导数方法求解。
例6.设函数
，其中a>0。
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 解不等式f(x)≤1。
解：(1)
1 当a≥1时，有
，此时f/(x)<0，
∴函数f(x)在区间
上是单调递减函数。
2 当00得
，
∴f(x)在区间
上是单调递增函数。
(2)当a≥1时,∵函数f(x)在区间
上是单调递减函数,
由f(0)=1,
∴当且仅当x≥0时f(x)≤1.
当0
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