斜入射条件下平面光栅的光栅方程研究

斜入射条件下平面光栅的光栅方程研究 2006 年 9 月 天水师范学院学报Sep.,2006 第 26 卷 第 5 期 Journal of Tianshui Normal University Vol.26 No.5 斜入射条件下平面光栅的光栅方程研究 张明霞, 郭小花 ( 天水师范学院 数理与信息科学学院, 甘肃 天水 741001) 摘 要: 分析和讨论了光波在一般斜入射条件下光栅平面内的相位分布, 通过理论分析及数学推导, 得到一般 斜入射条件下光栅的光栅方程。这个光栅方程不仅可以解释常见《光学》课程理论与实验教科书中光波在垂直入射 以及特殊斜入射条件下透过光栅时的衍射现象, 也可以解释光波在一般斜入射条件下透过光栅时的所有衍射现象, 是对常见《光学》理论和实验教科书中平面光栅衍射理论及实验原理的进一步补充和完善。 关键词: 斜入射; 狭缝光源; 光栅衍射; 衍射图样; 光栅方程; 《光学》 中图分类号: O436.1 文献标识码: A 文章编号: 1371- 1351 ( 2006) 05- 0044- 04 也就是说, 一般常用教科书中讨论的垂直入射或者 斜入射条件下 绪论1 的光栅平面内相位的分布是一般斜入射条件下 相 位分布的特殊情形, 利用在这些特殊情形下得到的 光栅衍射实 验是大学物 理光学实验 中很重要光栅的光栅方程不能完全解释在一般情形下所产 的一个实验。实验使用确定衍射明纹位置的光栅方 生的衍射现象, 使得长期以来的光栅衍射的理论和 程研究光波在不同的入射方式下通过平面透射 光 实验教学存在着用特殊指导一般, 个别演示普通的 栅( 简 称 光 栅 ) 时 的 衍 射 现 象 , 分 析 衍 射 条 纹 的 形 状况, 从而在光栅衍射理论和实验教学中形成了令 状、位置分布和光波的入射方式及光栅狭缝方向之 学习者困惑生疑的模糊地带。 间的关系, 并对光栅的光栅常数、角色散、分辨本领 下面笔者将从一般斜入射条件出发, 考虑位于 及光波的波长等物理量进行测量, 帮助学生学习和 光栅平面内的相位随着光波入射方式的不同而 呈 理解光栅衍射理论。在目前国内高校《光学》课程常 现不同的相位分布的情形, 通过严密的理论分析及 [1- 4]用的理论和实验教科书光栅衍射的相关章节中, 数学推导得到在一般斜入射条件下光栅的确定明 仅仅对光波在垂直入射或特殊斜入射条件下 的光 纹位置的光栅方程, 利用笔者得到的这个光栅方程 栅方程及衍射图样进行了理论分析与实验验证。但 不仅可以解释常见《光学》理论和实验教科书中讨 笔者发现在实际的光栅衍射实验中, 光波的入射方 论的特殊情形下的衍射现象, 也可以解释在普遍情 式不仅仅是垂直入射或特殊斜入射, 而常常是一般 形下的所有衍射现象, 使学生能够全面准确地理解 斜入射, 实验中产生的衍射图样随着光波入射方式 光栅衍射理论以及使用分光仪作光栅衍射 实验时 的不同而产生复杂多样的变化, 这就使得上述教科 [1- 2]观测到的所有实验现象, 是对常见《光学》理论和 书中的分析和讨论不能完全解释现实实 验中出现 [3- 4]实验教科书中光栅衍射理论及实验原理的更进 的复杂多变的衍射现象, 从而使学生甚至实验教师 一步拓展和完善。 都产生了疑惑。 对此笔者进行了长时间的思考和研究, 发现产 生这个问题的原因是: 光波在垂直入射时光栅平面 内的光波相位是相等的, 光波在特殊斜入射时光栅 平面内同一条狭缝上的光波相位是相等的或者是 在光栅平面内和狭缝相垂直的直线上的光波 相位 2 实验现象 是相等的, 而在一般斜入射条件下, 光栅平面内的 光波的相位分布随着光波入射方式的变化而变化。 图 1 所示为在 分光仪上做 光栅衍射实 验时的 简单装置示意图。高压汞灯发出的光波先经过平行 光管。平行光管的左端为一狭缝 S, 可看作一狭缝光 源, 它的方向可调, 平行光管后依次是平面透射光 收稿日期: 2006- 08- 16 作者简介: 张明霞( 1971- ) , 女, 甘肃甘谷人, 天水师范学院数理与信息科学学院讲师。 44 栅( 简称光栅) 及望远镜, 通过望远镜可将在无穷远 处所产生的夫琅禾费衍射图样重现在望远镜 的目 3 理论分析镜视场中。为了讨论方便, 建立如图所示的坐标系, y 轴与光栅狭缝平行, 光栅位于 xoy 平面内, x′o′y′代 3.1 点光源作用时光栅平面内的相位分布 表衍射屏。 若平行光管左端用点光源代替缝光源, 则入射 到光栅上的光波可近似看作是一束单色平面光波, [2]波场中任一点 p 的复振幅为 #$ ?r ki(- ")0"u( p) =Ae 0 $ 上式中 为 点的振幅, r为 的位置矢量, "Ap p 0 0 %为初相位, 波矢k的方向余弦为 图 1 实验装置示意图 kkk xyz, , cos#= cos$= cos%= 图 2、图 3、图 4 分别为狭缝光源在 xoy 平面内 k k k不同方向时通过望远镜所观察到的衍射图样, 设狭 % 其中 k ,k ,k 分别为光矢量k在 x, y, z 轴上的投x y z 缝光源与 y 轴之间的夹角为 φ′。图 2 为狭缝光源与 [5] 光栅狭缝平行时的衍射图样, 衍射图样为和狭缝光 影, 因此等相位面满足 源平行的直线型的衍射条纹; 图 3 为狭缝光源与光 k x+k y+k z=常数 ( 1) x y z & % 3.1.1 k与 Z 同向时, #=$= , %=0, 此时, k=k=xy 栅狭缝垂直时的衍射图样,此时衍射图样仅在 x 方 2 0, k=k, 由( 1) 式知光栅平面 xoy 为等相位面, 如图 5 z向是一条连续的亮线, 中央很大一个范围很亮, 呈 ( a) 所示, 虚线为光栅狭缝, 常用《光学》教科书中指 白色, 两端光的强度逐渐减弱, 最外端呈现紫色。图 的垂直入射就是这种情形。 4 为狭缝光源与光栅狭缝方向( y 轴正方向) 成任意 角度 φ′( 0?φ′?180?) 时的 衍射图样 , 衍射图样仍 为直线型的衍射条纹, 但衍射条纹与 y 轴之间的夹 角仍为 φ′, 在实验中观察到的不同级数的谱线间没 有重叠现象, 随着级数的增大, 谱线的强度逐渐减 弱, 同一级谱线从中央亮纹依次向外分别为紫线、 绿线、黄线, 最后一级谱线中只观察到紫色的谱线。 紫 绿黄 紫 绿黄 紫 紫绿 黄 紫绿 黄 紫 图 5 光栅平面内光波的相位分布 & %位于 平面内时, , 此时, 3.1.2 kxoz $= kx+ky= xy2 图 3 缝光源与 y 轴 图 2 缝光源与 y 轴 垂直时的衍射图样 平行时的衍射图样 常数, 对任一条狭缝来说, z=0, x 为一定值, 光波到 达每一条狭缝时, 同一条狭缝上光波相位相等, 一般 [1- 2]常见教科书中所说的斜入射指的就是这种特殊 斜入射, 如图 5 ( b) 所示, 实线为等相位面与光栅平 面的交线, 光栅平面内等相位线与 y 轴平行, 等相位 & 线与 轴之间的夹角 。x = !2 & %3.1.3 k位于 yoz 平面内时, ’= , 此时等相位 2 图 缝光源与 轴成夹角 时的衍射图样4 y ' !面满足 k y+k z=常数, 每一条狭缝上的光波相位不 y z 3.3 线光源作用时的衍射图样及光栅方程 相等, 但是在光栅平面内和狭缝相垂直的直线上的 线光源可看作是无穷多点光源的集合, 若实验 光波相位是相同的, 如图 5( c) 所示。光栅平面内等 时光源为线光源, 那么衍射图样可看作是每一个点 相位线与 x 轴之间的夹角 !=0。 光源所产生的衍射图样非相干叠加的结果, 当改变 !线光源的方向或者是改变光栅狭缝的方向时, 上述 3.1.4 k在任意斜入射的情况下,等相位面满足 点光源所对应的夹角 !、&、& 随着变化。因此衍射图 0kx+ky+kz=常数, 在光栅平面内, z=0, kx+ky=常数, xyzxy样会发生相应的变化, 但是无论如何, !、&、& 满足 0等相位线为一倾斜直线, 等相位线与 x 轴之间的夹 ( 3) 式, 所以当线光源作用时, 其光栅方程仍为 角为 !, 0?!?180?, 如图 5( d) 所示。 3.2 全面的光栅方程 ( &&) ( !) dsin?sinsin=kλ k=0, ?1, ?2 0如图 6 所示, 设 "为斜入射时平行光束与光栅 0 3.4 实验现象的理论解释 平面法线之间的夹角, " 为衍射角, ! 为等相位线与 [1, 2, 6]下面根据得到的光栅方程的一般形式( 3) 对利 x 轴之间的夹角, 根据衍射理论, 当衍射条纹为 用分光仪作光栅行射实验所观察到的衍射现象进 亮纹时必须满足 行理论分析与解释。 3.4.1 当狭缝光源和 y 轴平行时, 每一个点光源 ( ""dsin?d′sin=kλ k=0, ?1, ?2 ) ( 1) 0 所对应的在光栅平面内的等相 位线与 x 轴的 夹角 =0, 不论取任何值, 此时光栅方程为 dsin=kλ( k=0,!& ?1, ?2 ) , 这是大多数《光学》理论和实验教科书 [1- 4][1- 4] 中都介绍过的光栅方程, 但这些教科书中重点 讨论的是光波垂直入射时的特殊情形 ( =0, &=0) , !0 若 &, 在光栅!此时光栅平面为一等相位面,?0=0 0 平面内等 相 位 线 为 一 平 行 于 x 轴 的 直 线 , 如 图 5 ( c) 。根据相邻狭缝间的位相分布的特殊性, 不难得 图 6 斜入射条件光栅的衍射光路图 到相邻缝间距离为 d 的光波到达衍射亮纹位置时 的相位差仍是 dsin&, 因此当缝光源和 y 轴平行时, 其中 d 为光栅常数, d′为过 A、B 两点的等相位 不管是垂直入射的光波还是特殊斜入射的光波, 衍 面之间的距离, A、B 位于相邻狭缝上且 A、B 的连线 射亮纹的位置都由 而定, 衍射图样是平行 dsin&=kλ平行于 x 轴, 当 A、B 所在狭缝是等相位线时, d′=d, 于 y 轴的直线型条纹。在同一级衍射条纹中, 波长越 [1- 4] 此时光栅方程为长衍射角越大, 若实验中选用高压汞灯, 则可观察 ( "") ( k=0, ?1, ?2 ) dsin?sin=kλ 0到同一级光谱线中, 紫光衍射角最小, 黄光最大, 如 这就是大家常见的特殊斜入射时的光栅方程。图 2 所示。 在一般斜入射时, A 和 B 两点所在狭缝并不是等相 3.4.2 当缝光源与 y 轴垂直时, 每一个点光源所 位线, 因此经过 A、B 两点的等相位面之间的距离小 对应的等相位线与 x 轴间的夹角 =90?, 因此光栅 ! % 于 。如图 所示, 等相位线与 轴之间的夹角为 d6 y 2 方程变为 ( ) ( ) , 这d sin&?sin&=kλ k=0, ?1, ?2 0- !,根据简单的几何关系可得到 [1- 2], 当 k=0 是常见的特殊斜入射条件下的光栅方程 d′=dsin! 时, &=&, 零级衍射亮斑在 0′点的两侧, 并且在点光 0d′就是经过 A 和 B 的两个等相位面之间的 距 源的几何像点的位置。因此零级亮纹宽度加宽且仅 离, 如图 6 所示, A 点和 C 点位于等相位线上, 因此 在 x 方向, 缝光源越长, 谱线越宽, 并且多级光谱线 可以得到重叠在一起, 在中央零级亮纹强度最大, 两侧强度 d′sin= dsinsin( 2) &!& 0逐渐减弱, 并且两端出现很明显的紫色, 这是因为 [6- 7]由( 1) 、( 2) 可知当光波在一般斜入射时的全面 在各级光谱中, 随着级数的增大, 谱线强度逐渐 的光栅方程为 [6] 减弱, 红色明纹衰减最快, 紫色明纹衰减得最慢 , 多) ( ) ( ( 3) dsin&?sin!sin&=kλ k=0, ?1, ?2 0 级光谱重叠的结果是两侧出现紫色。其中 & 为衍射角, &为平行的入射光线和光栅 0 当狭缝光源与 y 轴的夹角为任意角度 !′ 3.4.3 平面法线间的夹角, ! 为等相位线与 x 轴间的夹角, &、&在法线的同侧时, 上式左边括号中取正号, 在 时, 每一个点光源所对应的等相位线与 x 轴间的夹 0 法线异侧时取负号。 角 =′,, θ随着狭缝的位置变化而变化, 因此光!!!0 46 谱线的位置也在变化, , , 三者满足( ) 式, 当 θθ3k= "些疑点, 是对常用《光学》理论和实验教科书中光栅0 衍射理论及实验原理的更进一步拓展和完善。笔者 0 时, sin=sinsin, 根据费马 原理, 不难得 到零级 θ"θ0运用此光栅方程进行光栅衍射理论和实验教学 的 亮纹仍在缝光源的像的位置, 狭缝光源以 z 为轴旋 实践证明, 这个方程对学生彻底全面掌握光栅衍射 转一周, 则各级谱线在 xy 平面内也旋转一周, 各谱 0理论有着良好的教学效果。 线的位置仍由 ( ) 而定。反过来 d sinθ?sinsinθ=kλ" 0 若保持缝光源的位置不变, 将光栅以 z 为轴旋转一 周, 谱线方向不变, 因为狭缝光源的方向没有变化, 参考文献: 但是各级谱线的位置在 x 方向发生变化, 当 φ变到姚启钧.光学教程[M].北京:高等教育出版社,2003. [1] 90?时, 所有谱线都重叠在一起, 此时满足特殊斜入 赵凯华,钟锡华.光学( 上、下) [M]. 北京:北京大学出版社, [2] 射条件, 就是前面所讨论的 3.4.2 的情况。 1999. 杨述武,王定义.普通物理实验( 三?光学部分) [M].北京:高 [3] 等教育出版社,2002. 张兆奎,等.大学物理实验[M].北京:高等教育出版社,2001. 4 结束语 [4] 苏亚凤, 李普选, 徐忠锋, 张孝林. 斜入射条件下光栅衍射 [5] 现象的分析[J].大学物理,2001,20(7):18- 25. 通过以上理论分析及数学推导, 同时考虑光栅刘春平,宋汉阁.光栅衍射实验现象引发的新思考[J].大学 物理实验,2004,17(1):22- 25. 平面内等相位线或相位的分布情形, 得出在一般斜 [6] 徐寿泉. 用衍射屏平移相因子计算夫琅禾费衍射场强分 入射条件下的全面的光栅方程为 d( sin!?sin"sin!) 0布[J].大学物理,2004,23(5):25- 26. [7] 。此光栅方程不仅可以对=kλ, 其中 k=0, ?1, ?2 一般教科书中所讨论的垂直入射或特殊斜入射 条 件下的衍射现象作出解释, 也可以对一般斜入射条 件下的光栅衍射实验中出现的所有实验现象作出 〔责任编辑艾小刚〕理论解释, 解决了以往理论和实验教学中存在的一 A Study on Grating Diffraction with Slating Incidence Ray Zhang Mingxia, Guo Xiaohua (School of Mathematics- Physics and Information Science, Tianshui Normal University, Tianshui Gansu 741001, China) Abstract: Wave phase distribution in the grating surface differs with incidence rays in grating diffraction experiments by means of spectrometer, and the diffraction pattern varies accordingly. However, no grating equation in either theo- retically- or experimentally-o riented textbooks can explain the phenomena fully owing to their focus on normal inci- dence and special slating incidence only. Based on investigations into the complex phrase distribution with common slating incidence ray, the present research modified the plane grating diffraction equation. More universally applica- ble, the equation is a development and extension of diffraction theory and experimental rationale in that it can not only account for diffraction phenomena with normal and special slating incidence discussed in commonplace textbooks, but also those with common slating incidence. Key words: slating incidence; slit ray; grating diffraction; diffraction pattern; grating equation; Optics textbooks