【2017年整理】四阶行列式的计算
四阶行列式的计算;
N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);
矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;
含参数的线性方程组解的情况的讨论;
齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解); 讨论一个向量能否用和向量组线性表示;
讨论或
证明
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向量组的相关性;
求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示; 将无关组正交化、单位化;
求方阵的特征值和特征向量;
讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵; 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化; 写出二次型的矩阵,并将二次型
标准
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化,写出变换矩阵; 判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分:基本知识
一、行列式
1(行列式的定义
用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;
(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;
2(行列式的计算
一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;
N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法
定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。
特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积; (2)行列式值为0的几种情况:
? 行列式某行(列)元素全为0;
? 行列式某行(列)的对应元素相同;
? 行列式某行(列)的元素对应成比例;
? 奇数阶的反对称行列式。
二(矩阵
1(矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);
2(矩阵的运算
(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;
(2)关于乘法的几个结论:
?矩阵乘法一般不满足交换律(若AB,BA,称A、B是可交换矩阵); ?矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;
?若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;
?|kA|=k^n|A|
3(矩阵的秩
(1)定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;
(2)秩的求法 一般不用定义求,而用下面结论:
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。
求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4(逆矩阵
(1)定义:A、B为n阶方阵,若AB,BA,I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立);
(2)性质: (AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)';(A B的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)
(3)可逆的条件:
? |A|?0; ?r(A)=n; ?A->I; (4)逆的求解
伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*;(A* A的伴随矩阵~)
?初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:A^-1)
5(用逆矩阵求解矩阵方程:
AX=B,则X=(A^-1)B;
XB=A,则X=B(A^-1);
AXB=C,则X=(A^-1)C(B^-1) 三、线性方程组
1(线性方程组解的判定
定理:
(1) r(A,b)?r(A) 无解;
(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;
(3)r(A,b)=r(A)
合同
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变换。 3(二次型或对称矩阵的正定性:
(1)定义(略);
(2)正定的充要条件:
?A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0; ?A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0;