高中数学必修4全册导学案
任意角1.1.1
班级 姓名
一、级目级,学理解掌握任意角、象限角、级级相同的角的定级。并会写并会级级相同的角的集合且1.2.利用级级相同的角的集合判任意角所在的象限。断
二、重点、级点,任意角、象限角、级级相同的角的定级是本级级的重点～用集合和符表示级级相同号来的角是本级级的级点
三、知级级接,
初中是如何定级角的,1.
什级是周角～平角～直角～级角～级角,2.
四、级级程学:
;一,级级级本级解下列级级。决1-3
级级、按 方向旋级形成的角叫做正角～按方向旋级形成的角叫做级角～如1 - 果一射级有作条没旋级～我级形成了一零角。零角的 称它个与____
αα重合。如果是零角～那级。= 级级、2
任意 角
级级、出下列各角画3 o ooo;,;, ;, ;, 17802-120 3-660 41200
级级4、象限角象限界角与
级了级级级级的方便～我级级是把任意大小的角放到平面直角坐级系加以级级～具做法是,内体
x;1,使角的级点和坐级 重合～;2,使角的始级和级 重合.级级～角的级级落在第
几个象限～就级级角是 的角;有级也级角于第象限,～如果级级角的级级称个属几个落在坐级级
上～那级级角就叫做个 ～级角不于任何一象限。个属个
级级、在平面直角坐级系中作出下列各角指出级是第象限角,并它几5
o ooo;,;, ;, ;, 2-751420 3855 4-510
级级、把角放到平面直角坐级系中后～级定一角～就有唯一的级级之级级。反之～级于直角坐级系个与6
内条它决任意一射级～以级级级的角是否唯一,如果不唯一～级级相同的角有什级级系,级解级些级级～级
先完成下级,
在直角坐级系中作出下列各角,
o oooo;,;, ;, ;, ;, 1-322328 3-392 4688 4-752级级7、以上各角的级级有什级级系,级些有相同的始级和级级的角～叫做 。
oαα把与角级级相同的所有角都表示级 ～所有角与 级级相同的角～级同角 -32
αα在可成集合级内构 .。任一角即与级级相同的角～都可以表示成角与数个整周角的和。
例1. 在,之级～出下列各角级级相同的角～分级指出级是第象限角,找与并它几0 360
;,,～ 480?
;,,～ ?760?
;,,.′93230?
级式级级 1、 在,之级～出下列各角级级相同的角～分级指出级是第象限角,找与并它几0 360
ºº′;,º′º′(1)420 (2)—54 18 3395 8 (4)—1190 30
oo?β、出下列各角级级相同的角的集合～把集合中适合不等式写与并,的元素 出写2-720360来,
o～ o;,;,2--2251130318
级级、写出级级在级上角的集合8(1)x
写出级级在级上角的集合(2) y
0级式级级 出级级在直级写,上角的集合并把中适合不等式yxs,s-360
oββ,元素写来出。720?
级级、思考,9
第一象限角的集合可表示级___________________.
第二象限角的集合可表示级___________________.
第三象限角的集合可表示级___________________.
第四象限角的集合可表示级___________________.
θ
探究,级θ级第一象限角,求2θ, ,–θ所在的象限.2
当堂级级,
1、以原点级角的级点～x级正方向级角的始级～级级在坐级级上的角等于; ,
0000 ;A,0、90或270 ;B,k?360;k?Z,
00 ;C,k?180;k?Z, ;D,k?90;k?Z,
2、如果x是第一象的角～那级; ,内
;A,x一定是正角;B,x一定是级角
0000000 ;C,-360
1
rr级级,级的半级径～级弧级级、、的弧所级的级心角分级级多少,3r2r2
级心角的弧度半的大小有级级,数与径思考,<>
αα由上可知,如果半级径r的的级心角园所级的弧级级的弧度的级级级是,数那级～角,l
α ～的正级由 决定。
正角的弧度是一数个 ～级角的弧度是一数个 ～零角的弧度是数 。
我级用弧度制表示角的级候～“弧度”或级常省略～只一级表示角的即写数rad级明,<>
度量。
例如,弧级当且所级的级心角表示级角级～级级心角的弧度是个数lr=4π
lr4π ,?=?=?=?||4απrr
角度弧度的级算与(3)
oo radrad3602=π180=π
180πo1?=()?rad 1=?0.01745radrad′?5718180π例、把下列各角度化级弧度,从1
00/ ;,(1) 22521115
级式级级 把下列各角度化级弧度,从
0 º′;,—ºº(1)22 30 2210 (3)1200 (4) (5)67?30'30
例、把下列各角弧度化级度,从2
3;, 1(2) 3.5 π5
级式级级 、把下列各角弧度化级度,从
34ππππ;, ;,— ;, 23(4)1 (5) 2 123104级级,把角弧度化级度的方法是,从
把角度化级弧度的方法是,从
一些特殊角的度弧度的互相级化数与数级级充完整,级一级,<>
30?90?120?150?270?
30ππ2πππ
434
在弧度制下分级表示级级角、象限角的集合(4)
x;,级级落在级的非级半级的角的集合级 ～1
x 级的非正半级的角的集合级 ～
y 级级落在级的非级半级的角的集合级 ～
y 级的非正半级的角的集合级 ～
x 所以～级级落在级上的角的集合级 ～
y 落在级上的角的集合级 。;,第一象限角的集合级 ～2
第二象限角的集合级 ～
第三象限角的集合级 ～
第四象限角的集合级 ,弧度是一量个弧度表示弧级半的比数与径是一级级个数级级在角集合级级集之级就建立了一与数(5),,,
个一一级级级系.
正角正级数
零角零
级角级级数
弧度制下的弧级公式和扇形面级公式(6)
lr=?||α弧级公式,
lα||α=因级;其中表示所级的弧级,～所以～弧级公式级,llr=?||αr(1) lR=α12(1)S=αR; (2)2,扇形面级公式,21
(2) SR
2α级明,以上公式中的必级级弧度级位,
1cmα例、知扇形的周级级～级心角级～～求级扇形的面级。382rad(3) SlR
2=α级式级级 若弧度的级心角所级的弧级是～级级级心角所在的扇形面级是个 ,24cm
=
级堂小级,(7)
,弧度制的定级～1
,弧度制角度制的级级级～与与区2
,牢级弧度制下的弧级公式和扇形面级公式～活用～并灵运3
作级布置 级级级第～～级。(8)1.1A789
级外探究级(9)
cm已知扇形的周级级～求半级多大级～级扇形的面级最大～求级心角的弧度径并数8.;十,级后级级
、半级径的级上～有一弧的级是条～求级弧所级的级心角的弧度。数1120mm144mm
1、半级级原的径来～而弧级不级～级级弧所级的级心角是原的来 倍。22
、在中～若～求～～弧度。数3ABC???=ABC::3:5:7?ABC
α的级度级～所级的级心角、以原点级级心～半级,的级中～一弦径条4ABAB3
的弧度级数 ,
o、直级径的滑级～每秒级旋级～级滑级上一点级级秒级级级的弧级是多少,5520cm45
、级做级6
2如级～扇形的面级是～的周级是它～求扇形的中心角及弦的级。OAB8cmAB4cm
B
任意角的三角函数第一级级1.2.1 <>
A班级 姓名 O学级目级
通级借助级位级理解掌握任意角的三角函定级并数理解三角函是以级级自级量的函数数数并1.,,
从数数任意角的三角函定级级级正弦、余弦、正切函的定级域理解掌握正弦、余弦、正切函在各并数,象限的符内号.
能初步级用定级分析和解三角函级有级的一些级级级级决与数2..重点级点
教学重点任意角的正弦、余弦、正切的定级。:.
教学级点用角的级级上的点的坐级刻三角函及三角函符。来画数数号:
教学级程
;一,提出级级
级级在初中级我级了级角三角函学数你数能回级一下级角三角函的定级级1:,?
级级你来数能用直角坐级系中角的级级上的点的坐级表示级角三角函级2:?
如级,级级角α的级点原点与O重合,始级与x级的正半
级重合,那级的级级在第一象限它.在α的级级上任取一
22点P(a,b),它与离原点的距r=>0.级P作a+b
x级的垂级,垂足级M,级级段OM的级度级a,级段MP的级
度级b.
根据初中级的三角函定级学数,我级有baMPMPOM
sinα==,cosα==,tanα==OPrOPrOPb
.a
级级如果改级级级上的点的位置级三比级改级级个会级什级3:,??
级级你学当将数达利用已知级能否通级取适点而上述三角函的表式级化4:?;二,新级级学
、级位级的念,概1
在直角坐级系中我级以称 级级心以 级半的级级级位级径.,,.、三角函的念数概2
我级可以利用级位级定级任意角的三角函数.
级2
如级所示级是一任意角个它与的级级级位级交于点那级2,α,P(x,y),:
叫做的正弦级作即(1)yα,sinα,sinα=y;
叫做的余弦级作即(2)xα,cosα,cosα=x;
yy
叫做的正切级作即(3)α,tanα,tanα=(x?0).xx
所以正弦、余弦、正切都是以角级自级量以级位级上点的坐级或坐级的比级级函级的函数数我级将,,,它称数级级级三角函级.
注意正弦、余弦、正切、都是以角级自级量以比级级函级的函数数:(1),.
不是与的乘级而是一比级个三角函的级是一整数号个体离级自级量的(2)sinαsinα,;,
“等是有意级的没sin”“tan”.
;,由相似三角形的知级级于定的角确级三比级不点个会随在的级级上的位置的改级而3,α,Pα
改级.133、例1,已知角α的级级级位级的交点是 求角与α的正弦、余弦和正切级。P(?,)
22
22P(?,)级级1,已知角α的级级级级点 ～求角α正弦、余弦和正切级。22
5π
例2 求 的正弦、余弦和正切级.3
7π
级级2,用三角函的定级求 的三三角函级数个数6
、4定级推,广
α级角是一任意角～个P;x,y,是其级级上的任意一点～
22r=x+y>0点P原点的距与离y
yα那级? 叫做的正弦～即sinα=
xrr
xα ? 叫做的余弦～即cosα=
rry
y
()tan=αx?0? 叫做的正切～即xx
、 探究 .三角函的定级域数4
三角函数定级域
sinα
cosα
tanα
、例级级解5
αα例3已知角的级级级级点P(-3,-4)～求角的正弦、余弦和正切级 .0
级级3. 已知角的级级级点P(-12,5) ,求的正弦、余弦和正切三三角函级个数.θθ
5、探究三角函级在各象限的符数号
yy
+
; , ; , ; , ox ,ox , ,
; , ; ,
; , ; ,
sinα ,,cosα , ,
y
; , ; ,
,,ox
; , ; ,
, ,tanα
、例级级解6
sinθ0,<:例、 求级当当且级下列不等式级成立级角级第三象限角反之也级。4:,θ.,
tanθ0.>:级式级级
;、, 北京高考已知那级角是1(2007)cosθ?tanθ<0,θ( )第一或第二象限角 第二或第三象限角A.B.
第三或第四象限角 第一或第四象限角C.D.
;、,材第教级第级2156
;三,级堂小级 知级
能力
;四,作级布置 级级1.2A级第2,9级
任意角的三角函数第二级级1.2.1 <>
班级 姓名
学级目级
通级级任意角的三角函定级的理解数掌握级级相同角的同一三角函级相等数1.,.
正利用级位级有级的有向级段确与将任意角的正弦、余弦、正切函级表示出数来即用正弦级、2.,α,
余弦级、正切级表示出来.
重点级点
教学数重点 级级相同的角的同一三角函级相等
教学与级点 利用级位级有级的有向级段将任意角的正弦、余弦、正切函级用何形式表数几,α
示.
教学级程
;,级级提级1
、三角函;正弦～余弦～正切函,的念。;定级,数数概两个1
、三角函;正弦～余弦～正切函,的定级域。数数2
、三角函;正弦～余弦～正切函,级在各象限的符。数数号3
、小级常级常用角的三角函级数4<>
30º45º60?120?135?150?α角
α角的弧
度数
αsin
αcos
αtan
角α0?90?180?270?360?角α的弧度
数
sinα
cosα
tanα
;二,新知探究
、 ,如果角的级级相同～那级级角的同一三角函级有何级系, 两个两个数1级级
2、 ?(1)sin420?; (2) sin60求下列三角函级 数
、 由三角函的定级数可以知道级级相同的角的同一三角函的级相等数由此得到,:.3级级
一级公式公式一():
sin(α+k?2π)=sinα,
cos(α+k?2π)=cosα,
tan(α+k?2π)=tanα,
其中?kZ.
;作用,利用公式一可以把求任意角的三角函级数级化级求到或到角的三角,,02π(0?360?)
函级数级公式级三角函的“级级公式一”个称数..
4.例级级解11π例、定下列三角函级的符,;确数号,?(2)tan(-)11sin(-392) 6
9π级级、定下列三角函级的符, ;确数号,??10? (3)cos (1)1tan(-672) (2)sin14804
13π例、求下列三角函级 数2(1)sin390?; (2)cos; (3)tan(-690?).6
25π级级(2)、求下列三角函级 数(1)sin420?; (2)cos; (3)tan(-330?).6
、由三角函的定级我级知数道级于角的各级三角函我级都是用比级表示的数来或者级是用表数来5,α,示的今天我级再来学数另——几级正弦、余弦、正切函的一级表示方法何表示法,.三角函级;定级,,数
yyyyTT
PP
MA;, ;, ;, ;,1234AMAxAooxxMooαxxx(,)xy级任意角的级点在原点～始级与级非级半级重合～级级级位级相交点与。级作级OPPM
PTPT
αA(1,0)的垂级～垂足级～级点作级位级的切级～角它与的级级或其反向延级级交点与.MT由四级个看出,
αOMxMPy==,当角的级级不在坐级级上级～有向级段～于是有
yyxx～ ～sinα====yMPcosα====xOMr1r1
yMPAT,tanα====ATxOMOA
MPOMAT,,我级就分级有向级段称级正弦级、余弦级、正切级。级明,
αxx?三有向级段的位置,正弦级级条的级级级位级的交点到与级的垂直级段～余弦级在级上～正切
x级在级级位级与级正方向的交点的切级上～三有向级段中在级位级～一在级位条两条内条
级外。
α?三有向级段的方向,正弦级由垂足指向条的级级级位级的交点～余弦级由原点指向与
α垂足～正切级由切点指向与的级级的交点。
yyxx?三有向级段的正级,三有向级段条条与凡级或级同向的级正级～与级或级反向
的级级级。
?三有向级段的级,有向级段的条写起点字母在前～级点字母在后面。6、典型例级
π5π例,作出下列各角的正弦级、余弦级、正切级。;,～ ;,～ 11236
2π13π级级作出下列各角的正弦级、余弦级、正切级;,～ ;,,112??367、利用三角函级比级下列各级的大小,数数级下探究 ;1,
2442ππππsinsin1 与 2 tan与tan ??3535
利用级位级级适合下列找条件的0到360的角??;2,13
1 sin? 2 tan?α?α>23
yy
30?TPP21
oxoxA
210?
;三,级堂小级、
本级级了些知级,有些你学哪哪你确它收级,已级正理解、掌握级了级,
;四,级后作级
级级级第级1.2A3,4
1.2.2同角三角函的数基本级系
班级 姓名
【】教学目级
、掌握同角三角函的数基本级系式1.
、2能用同角三角函的数数基本级系式化级或级明三角函的恒等式
【】教学重点
三角函式的化级或级明数
【】教学级点
同角三角函数基本级系式的级用、活用、倒用
【教学级程】
;一,知级回级
α,若角在第三象限～级分级出的正弦级、余弦级和正切级,画它1
2ααα,在角的级级上取一点;～,～级分级出角写的正弦、余弦和正切级,级算并2P34sinαsin2α和的级。+coscosα
,级分级级算下列各式,3
2222;,;,12(cos30)(sin30)_______. + =(sin30)(cos60)______. + =
sin60 tan60_______. =;,;,34=______.cos60 ;二,新知级学
由上可知,同角三角函的数条基本级系式及公式成立的件,
1平方级系,;级言表述,
;式子表述,
? 商数级系,;级言表述,
;式子表述,
级于同一角的正弦、余弦、正切个至少级知道其中的级几个才能利用基本级系式, <思考>
求出其他的三角函的级,数
;三, 级用示例4
例已知并且是第二象限的角求的级1 sinα=,α,cosα,tanα.5
4
级式级级 已知且级第三象限角～求的级。?cosα=,αsinα,tanα5
8
例已知求的级?2 cosα=,sinα,tanα.17
3
级式级级 已知求的级?sinα=,cosα,tanα.5
cosx1sinx+例、求级.3:=1sinxcosx?
级式级级 求级,
4422(1)sinα?cosα=sinα?cosα
4222(2)sinα+sinαcosα+cosα=1
222ooo例、化级;, ;, 412;,3(1+tanα)cosα;1?sin1001?2sin10cos10
22ooo2α?1cos1sin440?12sin40cos40?级式级级 化级;,,;, ;,123 21?2sinα
α=
5tan2,例、已知求下面式子的级。α?α
2sin3cosα?α1;,5sin7cos
α?αα+α22(2)4sin3sincos5cos
α?22cos33;,sinαcosα+1
θ+θ=θ?π1例6.已知sincos～;0～,～求级,、2
θ?θθ+θ33;1,sincos;2,sincos44;3,sinθ+cosθ;4,cosθ?sinθ
要注意三量之级有级系,个sina+cosa,sinacosa,sina-cosa
22(sina+cosa) = 1+2sinacosa; (sina—cosa)= 1—2sinacosa知“一”求“二”
;四,级外探究
已知sin、cos是方程3x6kx2k10的根～两2αα+++=
求级数k的级.
;五,级级小级
α(1)已知角 的某一三角函级数,求的其三角函级它它数;
(2)公式的级形、化级、恒等式的级明.
;六,作级布置
级级级第～～～级1.2 A10111213
级做级,级级级第～～级1.2 B123
三角函的级级公式数第一级级1.3<>
班级 姓名
学级目级,
、利用级位级探究得到级级公式二～三～四～且并概括得到级级公式的特点。、理解12
求任意角三角函级所级出的化级思数体来想。
、能初步用级级公式级运与行求级化级。3
教学重点,
级级公式的探究～用级级公式级运与与数行求级化级～提高级级位级三角函级系的级级。
教学级点,
级级公式的活级用灵
教学级程,
一、级级引入,
、级级公式一;角度制表示, 1:
; ,
;弧度制表示,
; ,
、级级公式;一,的作用, 2
α其方法是先在内找与出角级级相同的角～再把成级级公式;一,它写0º―360º
的形式～然后得出级果。
二、级解新级,
αα由正弦函、余弦函的定级～可数数即得～sin=ycos=x,
ααsin(180º+)=-y,cos(180º+)=-x, y
αααα所以 ～:sin(180º+)=-sincos(180º+)=-cos
用弧度制可表示如下,级级公式二, oP(x,y)+α180 αM MOx
P(-x,-y)
y级比公式二的得来～得,
(4-5-1)级级公式三,
P(x,y)
α
OMx?α
yP(x,-y)级比公式二三的得来～得,,P(-x,y)P(x,y)(4-5-2)用弧度制可表示如下,级级公式四, 180—
α
MOxM
(4-5-3)级级级公式一～二～三～四用级言括概级,
απαπαα;,～—～的三角函级～等于数的同名函数+k?2kZ??
α级～前面加上一把个看成级角级原函级的符,数号
;函名不级～符数号看象限。,
三、例级级解
例,下列三角函级化级级角三角函。将数数1
1313ππ;,π??π1cos (2)sin(1+(3)sin() (4)cos()) 955
5π例,求下列三角函级, ;数,～;—,21cos210º (2)sin4
11π17π级式级级 、 求下列三角函级,;数,～;,,sin2sin()11?63
4π;,,～ ,,,3sin()(4)cos(60º)sin(210º)3
、求下列三角函级,数2
779;—º, ;,º?π?π(1)cos4202sin() (3)sin(—1305) (4)cos()66
?+α?α??sin(1440)cos(1080)
例化级 3.cos(?180??α)?sin(?α?180?)
13πααα级式级级 、 已知～, ～级,的级是; ,,1cos(π+)=<<2πsin(2π)221333
;,,A(B) (C)(D)?2222
αα১+180)cos(—)sin(——180)、化级,;,21sin(
3ααα ;,2sin(—)cos(2π+)tan(——π)
四、回级小级
级用级级公式化级三角函的一数般步级,用“, 级”公式化级正角的三角函数～用“122k + ”??πα公式化级～角的三角函数～用“级公式化级级角的三角函数[02]3?”π?α
即—数数利用公式一四把任意角的三角函级化级级角的三角函一般可按下列步级级行,:
五、作级布置
,求下列三角函级,数1
195ππcossinsin(?240?)cos(?1665?);,～～～1(2)(3)(4)46
3?απ+απ+αsin()cos(5)tan(2),化级,233cos(?α?2π)sin(?α?3π)tan(α?4π)级级级第级。3..1.3A4
三角函的级级公式数第二级级1.3 <>
班级 姓名 学级目级,
、利用级位级探究得到级级公式五～六～且并概括得到级级公式的特点。1
、理解求任意角三角函级所级出的化级思数体来想。2
、能初步用级级公式级运与行求级化级。3
教学重点,
级级公式的探究～用级级公式级运与与数行求级化级～提高级级位级三角函级系的级级。
教学级点,
级级公式的活级用灵
教学级程,
一、级级,,级级级级公式一、二、三、四～1
,级“函名不级～符数号看象限”的理解。2
二、新级,
π1、 如级级任意角的级级级位级的交点与的坐级级由于角的级级角与的级级级于直级级,αP(x,y),-ααy=x12
π与点级于直级级称因此点的坐级是于是我级有称角的级级级位级的交点与-αPPy=x,P(y,x),,,2122
ππ sinα=y, cosα=x,cos(-α)=y, sin(-α)=x.22从而得到级级公式五:
π-α)=sinα,cos(2
πsin(-α)=cosα.2、提出级级2
π能否用已有公式得出的正弦、余弦与的正弦、余弦之级的级系式+αα?2
3、级级公式六
πSin(+α)=cosα,2
πcos(+α)=-sinα.24、用级言括概一下公式五、六,π的正弦余弦函级数分级等于的余弦正弦函级数前面加上一把个看成级角级原函级的符数?α(),α(),α2
号级级级“函名改级数符号看象限. :,.”作用,利用公式五或公式六可以级级正弦函余弦函的相互级化数与数,.
5、提出级级
了学六级级级公式后能否级一步用级言级级概括级级公式的特点,,
;奇级偶不级符号看象限,,.
、示例级用6
例将数数下列三角函级化级级角三角函。1
331
;,ππº′º′1sin (2)cos10021 (3)sin (4)tan32432536
33ππ例、 级明2(1)sin(-α)=-cosα ;(2)cos(-α)=-sinα.22ππ22级式级级 求cos(?α)+cos(+α)的级。44
ππ11?++?ππsin(2a)cos(a)cos(a)cos(a)22.例化级3 π9????+cos(a)sin(3a)sin(a)sin(a)πππ2
παcos(?)2•sin(α?2π)•cos(2π?α)级式级级 化级 、;,115πsin(+)α2
0+αtan(360)2?α?cos() ;,2sin(?α)
22、已知是方程的根且级第三象限角sinα5x-7x-6=0,α,
ππ332ππsin(a+)•sin(?a)•tan(2?a)•tan(?a)22求的级.ππcos(?a)•cos(+a)22
三、小级
级用级级公式化级三角函的一数般步级,
用“, 级”公式化级正角的三角函数～1?
用“公式化级～角的三角函数～22k + ”[02]?παπ
π用“级或 “公式化级级角的三角函数?α”3?”?α2
四、作级,
级级级第级1.3 B1
五、探究
级级级第级1.3 B2、1
1已知sinβ=～sin(α+β)=1,求sin(2α+β)、23
正弦函、余弦函的级象数数1.4.1
班级 姓名 【】教学目级
通级本级级学理解正弦函、余弦函级象的法数数画,.1、
通级三角函级象的三级法数画描点法、何法、几五点法体会学来用“五点法”作级级我级级级级的:,2、
好级并会画数熟级地出一些级级级的函级象,.
正弦函、余弦函的级象数数.【】教学重点
将数级位级中的正弦级通级平移级化级正弦函级象上的点;正弦函余弦函级象级的数与数【教学级点】
级系.
【教学级程】
级级材第教级内容～完成以下级级,,30—33一、级级提案 ;
π、借助级位级中的正弦级在下级中出正弦函画数的级象。1y=sinx, x[0,2]?
y
xo
级明,使用三角函级作级象级～级位级分的数将份数确数越多～级象越准。在作函级象级～自级量要采用
弧度制～确保级象级范。
π、由上面出的画的正弦函级象向级数两数无限延伸得到正弦函的级象;正弦曲级,～2x[0,2]?
级出,画y
xo
、级察级象;正弦曲级,～级明正弦函级象的特点,数3
?由于正弦函数中的可以取一切级～所以正弦函级象向级数数两 。y=sinxx
?正弦函数级象级在直级 和 之级级。运y=sinx
π、级察正弦函数的级象～到找个起级级作用的五点,4y=sinx, x[0,2]?
～～～～
ππ、用“五点作级法”出画的级象。5y=sinx, x[-,]?
y
ox
、?函数;x+1,的级象相级于函数;x,的级象是如何级化的,6ƒƒ
π?函数;,的级象相级于正弦函数的级象是如何级化的,y=sinxy=sinx+2
ππ?由级级公式知,;,～所以函数;,sinx+=y=sinx+=22
?级出画的级象;余弦曲级,y=cosx
y
xo
π、级察余弦函数的级象～到找个起级级作用的五点,7y=cosx, x[0,2]?
～～～～
ππ、用“五点作级法”出画的级象。8y=cosx, x[-,]?
y
xo
二、新级级解
sinxsinxπ例、用“五点作级法”作出在整个的级象～通级并画猜想出1y=, x[0,2]y=?定级域的级象。内
cosxcosxπ级级,用“五点作级法”作出的级象～通级并画猜想出在整个y=, x[0,2]y=?定级域的级象。内
ππ例、用“五点作级法”作出下列函的级级数;,[0,2];(2)y=2cos(2x-)2;1y=1+sinx, x?3
ππ级级,用“五点作级法”作出下列函的级级数;,;1y=-cosx, x[0,2];(2)y=2sin(x-)+1?3三、级堂小级 、 用“会画数五点法”作级熟级地出一些级级级的函级象1.
、级级点是指级象的最高点～最低点及与级的交点。2x
四、作级布置 级级级第级1.4 A1
正弦函、余弦函的数数性级第一级级1.4.2 <>
班级 姓名
、通级级级情境如级级级、四运季级化等级学生感知周期级象1,,;【】教学目级
、理解周期函的念数概2;
、能熟级地求出级级三角函的周数期。3
4、能根据周期函的定级级数运行级级的拓展用.
正弦、余弦函的数主要性级包括周期性、定级域和级域();【】教学重点
正弦函和余弦函级象级的级系、级象级级数数以及周期函念的理解数概最小正周期的,,【教学级点】
意级及级级的级用.
【教学级程】
一、级级巩固
1、出画正弦函和余弦函级象。数数
、级察正弦函和余弦函级象～下表,数数填写2
定级域级域
y=sinx
y=cosx
3、下列各等式是否成立,级什级,
2;1,2～ ;, cosx=32sinx=0.5
1、 求下列函的定级域数4:(1)y=; (2)y=.cosx1+sinx
级级材第教级内容～完成以下级级,,34—35;二、级级提案
、什级是周期函,什级是函周数数期,1
注意,?定级域的每一内个x都有;x+T,=;x,。ƒ ƒ
?定级中的T级非零常～周数即期不能级0。小级身手等式ººº是否成立,如果级等式成立～能否级个º是正弦<>sin(30+120)=sin30120
函数y=sinx～的一周个期,级什级,x?R.
、什级是最小正周期,2
、正弦函和余弦函的周数数期和最小正周期,3
周期最小正周期
y=sinx
y=cosx
注在我级级的三角函中学数如果不加特级级明教科级提到的周期一般都是指最小正周期<>,,,.
三、探究新级
例求下列函的周数期1 :xπ???(1)y=3cosx,xR;(2)y=sin2x,xR;(3)y=2sin(-),xR.26
级级,求下列函的周数期:
3y=cos4x;,～;,～y=sinxx?R 2x?R14
11π;,～;,～y=cosxy=sin(x+)3x?R 4x?R234四、级律级级
一般地函数及函数其中、、级常,y=Asin(ωx+φ)y=Acos(ωx+φ), (Aωφπ
2可以按照如下的方法求的周它期:数??的周期级,A?0,ω0,xR)T=.ω
π2,,y=Asin(ωx+φ+2π)=Asinω(x+)+φ=Asin(ωx+φ).ωππ22于是有f(x+)=f(x),所以其周期级.ωω
五、感悟思考
级级1.4A级 第3级六、作级布置
正弦函、余弦函的数数性级第二级级1.4.2 <>
班级 姓名
、利用正、余弦函的级级级求弦函有级的级级级及函级域。会数区与数区数1【】教学目级
、能根据正弦函和余弦函级象定相级的级级、级中心。数数确称称2
、通级级象直级理解奇偶性、级级性～能正定弦函的级级级。并确确数区3
正弦、余弦函的数主要性级包括级级性、级域、奇偶性、级称性。()【】教学重点
利用正、余弦函的级级级求弦函有级的级级级及函级域。数区与数区数【教学级点】
【教学级程】
一、级级相级知级、下表填写1
定级数奇
级象函
定级数偶
级象函
、下表中的念填写概2
增函数
减数函
级级增区级
级级级减区
最大级及
其在级象
中的级体
最小级及
其在级象
中的级体
、什级是中心级、级级级形,什级是级中心、级级称称称称3?
级级材第教级内容～完成以下级级,,37—38;二、级级提案
、级察正余弦曲级,1
知,正弦函是数函～余弦函是数数函。用数并数奇偶函的定级加以级明。
sinxcosxf(x)=sinxf(x)f(x)、判下列函的断数奇偶性,???～2=, =,
f(x)=cosx ?。
3ππ3、级察函数?,,的级象～下表填写y=sinx,x-,:22
3…………0πxπππ-222
sinx
正弦函在每一级级级 数个区?上都是增函数其级从增大到在每(kZ),-11;小级,
一级级级 个区?上都是函减数其级从减小到(kZ),1-1.、级察函数? 的级象～下表填写:4y=cosx,x[-π,π]
…………x-π0πππ-22cosx
余弦函在每一级级级 数个区?上都是增函数其级从增大到在每(kZ),-11;小级,
一级级级 个区?上都是函减数其级从减小到(kZ),1-1.、由上可知,正弦函、余弦函的级域都是数数,,最级情况如下,5-1,1.?、级于正弦函数?y=sinx(xR),
当当且级?级取得最大级(1)x= ,kZ,1.
当当且级?级取得最小级(2)x= ,kZ,-1.
?、级于余弦函数?y=cosx(xR),
当当且级?级取得最大级(1)x= ,kZ,1.
当当且级?级取得最小级(2)x= ,kZ,-1.
、级察正余弦曲级～解级正、余弦函的级数称性,6
正、余弦函是级级级形数既称称又是中心级级形。函数级中心称级级称正弦函数y=sinx(x?R)
余弦函数y=cosx(x?R)
三、探究新级
例下列函有最大级、最小级级数如果有级出取最大级、最小级级的自级量写的集合并级出最大级、最1 ?,x,小级分级是什级.
??(1)y=cosx+1,xR; (2)y=-3sin2x,xR.
级级、级出下列函取最大级、最小级级的自级量写数的集合并级出最大级、最小级分级是什级1x,.(1)y=2cosx
??+1, xR; (2)y=2sinx, xR.3
例函的级级数性比级下列各级的大小数2 ,:
1723ππππ与与??(1)sin(-)sin(-); (2)cos()cos().181054级级2、材第教41级第5级
1π例函数?的级级级增区级3 y=sin(x+),x[-2π,2π].23
级级3、材第教40-41级第4、6级
四、级堂小级
由学并学哪数学生回级级级级出本级级了些知级学哪数学级了些思想方法级级级我级究了正弦函、研数1.,.余弦函的数性级重点是掌握正弦函的数性级通级级函定级域、级域、最级、两个数从奇偶性、周期性、增.,
减称几研性、级性等方面的究更加深了我级级级函的理解两个数同级也巩学数固了上级级所的正弦函,.,
余弦函的级象的法数画.
级一步熟悉了形级合的思数想方法级化化级的思与想方法级比思想的方法及级察、级级、特殊到一般2.,,的级级级一的级点.
五、作级布置 级级1.4 A级2。;2, ;4,～4。;2, ;4,～5。;2,
正切函的数与性级级象1.4.3
班级 姓名
学级目级,
用级位级中的正切级作正切函的级象～数、1
用正切函级象解函有级的数决数性级～、2
理解掌握作正切函级象的方法～并数、3
4、理解用函级象解有级数决性级级级的方法～
正切函的数与性级级象的级级级用.教学重点,
正切函数性级的深刻理解及其级级级用.教学级点,
教学级程,
知级探究;一,,正切函的数性级,
思考1,正切函的定级域是数__________,
思考2,根据级级公式周与数你断数数期函的定级～能判正切函是周期函级,
若是～其最小正周期 T=_______
πy=tan(2x?)思考3: 函数的周期T=__ ,8
y=tan(ωx+φ),(ω>0)一般地～函数 的周期T=____.
思考4,根据相级级级公式～能判正切函具有你断数奇偶性级,
ππ,? 思考5,级察右级中的正切级,角当x在 ;,内增加级,22
正切函级级数生什级级化?
由此反映出一什级个性级?
vT2
OOxA
T1
思考6,级合正切函的周数数期性～正切函的级级性如何,
正切函在级级;数区 ,;,都是 内(增、k?z
减)函。数
思考7,正切函在整定级域是数个内数增函级,
正切函不在数会会区内某一级是函级,减数
ππ?? 思考8,当x大于且无限接近级～正切级如何级化, 22
ππ当x小于且无限接近级, 正切级又如何级化,22
由此分析～正切函的级域是什级数?
知级探究;二,,正切函的级象数:
思考1:级比正弦函级象的作法数,可以利用正切级作正切函数y=tanx,
ππ,?x?;,的级象～具级如何体操作,22
ππ?思考2,右级中,直级x= 和x= 与数正切函的级象的位置级系如何,22
yy
ππOOxx?
22思考3,级合正切函的周数期性, 如何出正切函在整定级域的级象,画数个内
πx?z+kπ ～ 的级象叫做正切曲级.因思考4,正切函数y=tanx,x?R,x?2
级正切函是数数称奇函～所以正切曲级级于原点级～此外～正切曲级是
否级级于其的点和直级级,它称
思考5,根据正切曲级如何理解正切函的数基本性级,
一平条行于x级的直级相级与两离支曲级的交点的距级多少,
级用示例
1317ππ例比级大小与～ 与??1 . (1)tan138?tan143?(2)tan()tan().45
7558ππ级级,比级大小与～ 与?. (1)tan1519?tan1493?(2)tantan().1111
ππ例求函数的定级域、周期和级级级区2 y=tan(x+).23
π级式级级 求函数的定级域级域级级级区周期性y=tan(x+),,,.4
级堂小级 知级,正切函的数哪数怎画性级有些,正切函的级象级级,
能力,正切函的数数性级和级象的级用及形级合法。作级
级本级级1.4 A级6、8、;1, ;4,9.;2,级后级级,本级后的级级级
函数的级象1.5 y=Asin(ωx+φ)
班级 姓名 学级目级,
理解级的级象的影响级的级象的影响级的级象的影φy=sin(x+φ),ωy=sin(ωx+φ),Ay=Asin(ωx+φ)1、
响.
2.通级探究级象级级,用级象级级法出会画y=Asin(ωx+φ)级象的级级,用“并会画数五点法”出函
y=Asin(ωx+φ)的级级.
级级字母、、级化级级函级象的形和位置的数状响影掌握函数级象的φωA,y=Asin(ωx+φ)教学重点,
级级的作法.
由正弦曲级到的级象的级级级程:y=sinxy=Asin(ωx+φ).教学级点,
教学级程,
引入,级象上从看函数与数函存在着怎级的级系<>,y=sinxy=Asin(ωx+φ)?
接下来我级就分级探索、、级的级象的影响,φωAy=Asin(ωx+φ).;,探索级～的级象的影响。【振幅级级】11Ay=Asin(ωx+φ)x?R
例画数出函～ ～～的级级1y=2sinxxR ?y= sinxxR?2
x
sinx
2sinx
1
sinx
2
级级,一般地～函数～ ;其中,且,的级象～可以看作把正弦曲级y=AsinxxR ?A0A?1上所有点的级坐级伸级;当,级,或级短;当,,级,到原的来倍;坐级不级,横A10A1A而得到。函数～ 的级域是,～～最大级是～最小级是,。y=Asinxx?R [AA]AA注,引起级象的级向伸级～定函的最大;最小, 级它决数我级把叫做振幅。A,A 1.已知函数y=3sinx的级象级C.级了得到函数y=4sinx的级象～只要把C上所有的点;,
4(A)横来坐级伸级到原的倍,级坐级不级3
3(B)横来坐级级短到原的倍,级坐级不级4
4(C)级坐级伸级到原的来倍,横坐级不级3
3(D)级坐级级短到原的来倍,横坐级不级4
;,探索级～的级象的影响。【相位级级】2φy=Asin(ωx+φ)x?R
ππ例画数出函 ～ 的级级。2Y=Sin (X+ ),XR ?Y=Sin(X- ) ,XR ?34
级级,函 数的级象可以看作是把的级象上所有的点向左当级y=sin(x+)(0) y=sinx (>0)????或向右当级平行移级个级位而得到的(<0)||.??
注引起级象的左右平移它改级级象的位置不改级级象的形状叫做初相～ 故级级级级叫做相位级级: ,,.φ?
ππ级级,若将数某函的级象向右平移 以后所得到的级象的函式是数,，～级原的来1. ysin(x)24函表式级数达( )
3ππ,， ,，A. ysin(x) B. ysin(x)42
πππ,, ,，,C. ysin(x) D. ysin(x)444
ππ的级象级～级了得到函数的级象～只要把上、已知函数y=3sin(x+)y=3sin(x?)2CC55的所有点; ,。
ππ向右平行移级个级位级度。向左平行移级个级位级度。AB55
22ππ向右平行移级个级位级度。向左平行移级个级位级度。CD55;,探索级～的级象的影响。【周期级级】3ωy=Asin(ωx+φ)x?R1
例画数出函～ ～～的级级3y=sin2xxR ?y= sin xxR?2
,列表,1
级级函数其中的级象可看 作把级象上所有点的坐级横伸级:y=sinωx (ω>0) ,y=sinx
1 当 或级短当到原的来 倍级坐级不级而得到().(0<ω<1)(ω>1)ω
π2注决数定函的周期它横引起向伸级可级级级小伸大级: ω?T=,(:). ω
π例画数出函,，～的级级4y3sin(2x)x?R3
、五点法1()
x
π2x+3
π3sin(2x+ )3
、;级象级化法,如何由～级级得～～的级象2y=sinx xR ?y=Asin(ωx+φ)xR ?
方法,;先伸级再平移,1(按ω,?,A级序级级)1(1)横来坐级级短级原的函数～的级象～的级象y=sinx xR?2y=Sin2xxR??级坐级不级
π;2,向左平移个级位π～ 的级象y=Sin(2x+ )xR?6?3;3,坐级不级横?级坐级伸级到原的来3倍
π～的级象y=3Sin(2x+ )xR?3
(按?,ω,A级序级级)方法,;先平移再伸级,2
π;1,向左平移个级位π函数～的级象～的级象y=sinx xR?y=sin(x+)xR? 3?3
1(2)横来坐级级短级原的;3,坐级不级横π?的级象y=sin(2x+)xR?2?级坐级伸级到原的来3倍3级坐级不级
π的级象y=3Sin(2x+ ), xR?.3
级级～级象 ～级象。: y=sinx xR?y=Asin(ωx+φ)xR?
(按ω,?,A级序级级)方法;先伸级再平移,1:
横坐级级短级>1 (伸级0<ω<1)到原的来1/ω倍y=sinxy=sinωx级坐级不级
?，，ω?ω=+=+向左级>0 (向右级<0)ysin()xsin(x),,ω，，平移|?|/ω个级位
横坐级不级
y=Asin(ωx+?)级坐级伸级A>1 (级短00 (向右级<0)横坐级级短级>1 (伸级0<ω<1)到原的来1/ω倍
y=sinxy=sin(x+?)级坐级不级
平移|?|个级位
横坐级不级
y=Asin(ωx+?)y=sin(ωx+?)级坐级伸级A>1 (级短00,ω>0,φ?0).了解常数、、与运级级级级的某些物理量的级系得出本章级级提到的“级级级的级象”所级级的函解运数Aωφ,
析式有如下形式,其中物理中描述级级级的运物理量如振幅、:y=Asin(ωx+φ),x?0,+?),A>0,ω>0.,,
周期和级率等都级解析式中的常级有级与个数:
就是级级级级级的个运振幅它运体离离是做级级级的物级平衡位置的最大距A,;π2级级级级级的周个运期是级是做级级级的运体运物往级级一次所需要的级级T=,;ω
1ω
级级级级级的级个运率由公式级出f==,T2π
它运体内运数是做级级级的物在级位级级往级级的次;
称级相位级的相位称级初相ωx+φ;x=0φ.
例级是某级级级的级象运级根据级象回答下列级级1 7.:
级级级级级的个运振幅、周期和级率各是多少(1)?
从点算起到曲级上的一点哪表示完成了一次往级级运如从点算起呢(2)O,,?A?
写个运数达出级级级级的函表级式(3).
级堂小级,
一、作函数的级象,y=Asin(x+) ω?
;,用“五点法”作级。、列五点表、描点 、级级1123 ;,利用级级级系作级。2
二、函 数的级象函 与数的级象级的级级级系。y = sinx y=Asin(x+)ω?
2.1.1 向量的物理背景与概念
2.1.2向量的何表示几
2.1.3相等向量与共级向量教学目级,
了解向量的级级背景～理解平面向量的念和向量的何表示～掌握向量的概几模、零1.
向量、级位向量、平行向量、相等向量、共级向量等念～分平概并会区行向量、相等向量和共级
向量.
通级级向量的级～使学学数区生初步级级级级生活中的向量和量的本级级2..
通级学与数学数学生级向量量的级级能力的级级～培级生级级客级事物的本级的能力3..教学重点,理解掌握向量、零向量、级位向量、相等向量、并概会共级向量的念～表示向量.
教学级点,平行向量、相等向量和共级向量的级和级系区.
教学级程,
引言,级同指出些量有大小学哪既哪没又有方向,些量只有大小有方向,
新级级,学
;一,向量的念,我级把有大小概既又有方向的量叫向量。;二,级同级级级本后回学答,
、量向量有何级,数与区1
、如何表示向量, 2
、有向级段和级段有何级和级系,分级可以表示向量的什级,区3
、级度级零的向量叫什级向量,级度级的向量叫什级向量,41
、级足什级条两个件的向量是相等向量,级位向量是相等向量级,5
、有一级向量～级的方向相同或相反～级级向量有什级级系,它6
、如果把一级平行向量的起点全部移到一点～级级级是不是平它行向量,7O
级级各向量的级点之级有什级级系,
;三,探究级学
、量向量的级,数与区1
数个数数运量只有大小～是一代量～可以级行代算、比级大小～a B;级点,向量有方向～大小～重双性～不能比级大小.
A(起点)向量的表示方法,2.
?用有向级段表示～ ?用字母,、,;黑体～印刷用,等表示～
～?向量的大小―级度级向量的称模～级作?用有向级段的起点级点与字母,|ABAB|. AB
有向级段,具有方向的级段就叫做有向级段～三个要素,起点、方向、级度3..
向量有向级段的级,与区
;,向量只有大小和方向两个与两个要素～起点无级～只要大小和方向相同～级向量就是1
相同的向量～
;,有向级段有起点、大小和方向三个尽要素～起点不同～管大小和方向相同～也是不同2
的有向级段.
、零向量、级位向量念,概4
????级度级的向量叫零向量～级作的方向是任意的注意与的含级级级级级与写区0. . 0.000
?级度级个级位级度的向量～叫级位向量1.
级明,零向量、级位向量的定级都只是限制了大小.
、平行向量定级,5
??方向相同或相反的非零向量叫平行向量～?我级级定与任一向量平行.0级明,;,级合?、?才是平行向量的完整定级～;,向量,、,、,平行～级作,?,?12
,.
、相等向量定级,6
级度相等且方向相同的向量叫相等向量.
级明,;,向量,与,相等～级作,,,～;,零向量零向量相等～与12
与有向级段的起点无;,任意相等的非零向量～都可用同一有向级段表示～且两个条并3
级.
、共级向量平与行向量级系,7
与有向级段的起点无级,平行向量就是共级向量～因级任一级平行向量都可移到同一直级上;.
级明,;1,平行向量可以在同一直级上～要区两级于平行级的位置级系～
;2,共级向量可以相互平行～要区级于在同一直级上的级段的位置级系.
;四,理解和巩固,
例级本级例1 751
.
例判及解断答,2
;,平行向量是否一定方向相同,1
;,任意向量都平与行的向量是什级向量,2
;,若向量在同一直级上～级级向量一定是什级向量,两个两个3
例,如级～级是正六级形的中心～分级出级中向量写与、、相等的3OABCDEFOAOBOC
向量.
级式一,向量与级度相等的向量有多少,个OA
级式二,是否存在向量与级度相等、方向相反的向量,OA
级式三,向量与共级的向量有些,哪OA
例判及解断答,4
;,不相等的向量是否一定不平行,1
;,零向量相等的向量必定是什级向量,与2
;,且级级足什级当当条两个件级非零向量相等,3
;,共级向量一定在同一直级上级,4
例下列命级正的是; ,级确,5
,与,共级～,与,共级～级,与也共级,A.c
任意相等的非零向量的始点级点是一平两个与行四级形的四级点级,B.
向量,与,不共级～级,与,都是非零向量,C.
有相同起点的非零向量不平两个行D.
级堂级级,
,判下列断确确命级是否正～若不正～级级述理由1.,
?向量与是共级向量～级、、、四点必在一直级上～,ABCDCDAB
?级位向量都相等～,
?任一向量的相反向量不相等～与它,?四级形是平行四级形且级当当, ABCDDCAB?一向量方向不定且级个确当当模级～,0?共级的向量～若起点不同～级级点一定不同.
、级本级级级、、、级2771234
三、小级 ,
、描述向量的指级,两个模和方向1.、平面向量的念和向量的何表示～概几 2
、向量的模、零向量、级位向量、平行向量等念。概3
四、级后作级,
级级级级2.1A3,4
2.2.1 向量的加法算及其何意级运几教学目级,
、掌握向量的加法算～理解其何意级～ 运并几1
、用向量加法的三角形法级和平会两个数决行四级形法级作向量的和向量～培级形级合解级级的2
能力～
、通级向量算熟将运与数运学运悉的的算级行级比～使生掌握向量加法算的交级律和级合律～3
并会它数学用级级行向量级算～渗透级比的方法～教学重点,会两个用向量加法的三角形法级和平行四级形法级作向量的和向量.
教学级点,理解向量加法的定级.
教学思路,
一、级置情景,
、级级,向量的定级以及有级念概1
强级,向量是有大小既又有方向的量级度相等、方向相同的向量相等因此～我级究的研..向量是与即它起点无级的自由向量～任何向量可以在不改级的方向和大小的前提下～移到任何位置
、情景级置,2
;,某人从到～再从按原方向到～ 级两次的位移和,1ABBCAB+BC=AC
;,若上级改级从到～再从按反方向到～ 级两次的位移和,2ABBCAB+BC=AC
;,某级从到～再从改级方向到～ 级两次的位移和,3ABBCAB+BC=AC
;,船速级～水速级～级两速度和,4BCAB+BC=ACAB
C
A B CC
C A B
A BA B
二、探索研究,
,、向量的加法,求向量和的算～叫做向量的加法两个运.
,、三角形法级;“首尾相接～首尾级”,
如级～已知向量、,在平面任取一点内～作,～,,～级向量叫做a.aaABCACAB
??与,的和～级作，,～ 即，,～ 级定, aaa + = + a=AB+BC=AC00
a
aaCb
b
a+b,a+b,A，,a,B
,,例、已知向量、～求作向量1+aabb
b
a
级级,已知向量、～求作向量+aabb
;,1 a
b
;,2a
b
;,3a
b
探究,;,向量的和的和有什级不同, 两与两个数1
;,向量当与不共级级～ ～什级级候～2|+|<||+|||+|=||+||aaaaabbbbb
什级级候,～|+|=||||aabb
当向量与不共级级～～的方向不同～且～|++|<||+||aaaaa～bbbbb
当向量与共级级～ab
? 当与同向级～级、、同向～且～+|+|=||+||aaaaabbbbb
?当与反向级～若～级的方向与相同～且||>||+|+aaaaabbb
～|=||-||abb
若的方向与相同～且～级|||<||++b|=|aaabbbb|-||.a
;,“向量平移”;自由向量,,使前一向量的级点级后一向量的个个广起点～可以推到3
个向量级加n
,,加法的交级律和平行四级形法级
已知向量、～求作向量+aaa～bbb+
级级,上级中的级果与是否相同, ++aabb
从两个而得到,,,向量加法的平行四级形法级;级于向量共级不适级,
,,向量加法的交级律,+=+aabb
,,能级明,向量加法的级合你律,级,(+) +=+ (+) acacbb
,由以上级明能你个运得到什级级级, 多向量的加法算可以按照任意的6
次序、任意的级合级来行.
三、级用级例,
例、级江岸两没运艘从之级有大级的地方～常常通级级渡级行级。级有一船级江南岸点出级～以2A
的速度向垂直于级岸的方向行级～同级江水的速度级向级5km/h2km/h;,级用向量表示江水速度、船速及船级级航行的速度;保留两个数有效字,～1
;,求船级级航行的速度的大小方向;用与与确江水速度之级的级角表示～精到度,。2
级式、一艘从船点出级以的速度向垂直于级岸的方向行级～船的级级航行速度的1A23km/h
大小级～求水流的速度.4km/h
vv级式、一艘从船点出级以的速度向垂直于级岸的方向行级～同级河水的流速级～船的级级2A12
vv航行的速度的大小级～方向与水流级的级角是～求和60?.4km/h12
级级,级本第级、、、级841234
四、小级
、向量加法的何意级～几1
,、交级律和级合律～
,、～且级方向相同级取等当当号+| ? || + ||.|aabb
五、级后作级
级级级第二级2.2A
向量的法算及其何意级减运几2.2.2
学级目级,
了解相反向量的念～概1.
掌握向量的法～减会两个减作向量的向量～并几理解其何意级～2.
通级级述向量的法算可以级化成向量的加法算～减运运理解事物级可以相互级化3.
的级级思想.
教学重点,向量法的念和向量法的作级法减概减.
教学级点,减运确法算级方向的定.
教学思路,
、级级,向量加法的法级,三角形法级平与运行四级形法级～向量加法的算定律,1
例,在四级形中～ . CB+BA+AD=
二、新级
,用“相反向量”定级向量的法减1
;, “相反向量”的定级,与级度相同、方向相反的向量级作 ,。易知,1a.a (a) = a.?
??;, 级定,零向量的相反向量仍是零向量。 2. ?0=0
任一向量的相反向量的和是零向量与它.a + (a) = 0?
如果、互级相反向量～级～ ～ aba = bb = aa + b = 0??
;, 向量法的定级,向量减加上的相反向量～叫做与的差3abab.
,即求向量两个运减差的算叫做向量的法a b = a + (b) .??
,用加法的逆运减减运算定级向量的法, 向量的法是向量加法的逆算,2
若～级叫做与的差～级作b + x = axaba b?
,求作差向量,已知向量、～求作向量3aba b?
aaO
bba?b
B
A
作法,在平面取一点内～O
作～ 级= a= b = a b?OAOBBA
即可以表示级向量从的级点指向向量的级点的向量a bba.?
注意,表示强级,差向量“箭级”指向被减向量。1a b. ??BA
用“相反向量”定级法作差向量～2a b = a + (b)???BB’a?a+
b(?b)baOAbb
B,探究,4
,如果向量从的级点指向向量的级点作向量～那级所得向量是1ab
,,若～ 如何作出 ,a?ba b?
、例级,3
例、已知向量、、、～求作向量、1abcdabcd.??
d b
a
c
例、平行四级形中～、～～ 用、表示向量2abab.ABCDACAB=AD=DB
D C
A B
级式一,当～ 级足什级条件级～与垂直, aba+bab?
级式二,当～ 级足什级条件级～,ab|a+b| = |ab|?
级式三,与可能是相等向量级,a+bab?
例 3. 如级～ 已知一点O到平行四级形ABCD
???
A 的三级点个A、B、C的向量分级级a～bc,D
??? 级用向量a,b,c表示OD.
OOO
B C
,级级,。已知向量、～求作向量51aba b?
a aa
b a b b
b
;, (1) 2(3) (4)
等于2,在?中～ ～ ～级=a=b( ),ABCBCCAABA.a+b, B.-a+(-b) C.,a-b, D.b-a,
填空4.
AB?AD=
BA?BC=
BC?BA=
OD?OA=
OA?OB=
、作级级级,;a + b,=5--a-b,
四,小级,向量法的定级、作级法减|
五,作级,
级级级第级2.2 A4
向量乘算及其何意级数运几2.2.3
学级目级,,掌握向量乘的定级～理解向量乘的何意级～数数几1
,掌握向量乘的算数运律～2
,理解向量两个条运两条两共级的充要件～能级用向量共级的件判定向3
量是否平行,
教学重点,理解向量乘的何意级,数几
教学重点,向量共级的充要件条及其级用,教学级程
情景平台
已知非零向量～把级作～---级作-～级作出和aa+a+a3a(a)+(a)+(a)3a3a
,,3a
a
概念级入
我级级定 级级算叫做向量的运数
乘～级作 ～的级度和方向级定如下,它
;,1
;,2
有上可知,级～λλ=0a=
向量乘的何意级是把向量数几沿的方向或的反方向放大或级小aaa.
运算律
完成以下三级级个
;,1已知非零向量～求作向量和～级并行比级,a2(3a)6a
a
;,2已知非零向量～求作向量和～级并行比级a5a2a+3a
a
;,已知非零向量～～求作向量和～把级果级并行比级分析,3ab2(a+b)2a+2b
a
b
,λµ级级算运律,级级级数那级,
?? ～ ;1,λ(µa)=(λµ)a
??? ;2,=+～µa(λ+µ)aλa
???? ;3,=+。λ(a+b)λaλb
特级地～我级有
???;-,=-;,=;-,λλλaaa
???? =-λ(a?b)λaλb能力平台
例.级算,1
;1, -(3)×4a
;2, ---3(a+b)2(ab)a
;3, ---(2a+3bc)(3a2b+c)
级式级级
AC5 、点在级段上～且级=1CAB,= ,= .ACBCABABCB2
、级本级级、级235
、若其中是已知向量求33m+2n=a,m-3n=b,a,b,m,n.级级引级
、引入向量乘算后数运你数与能级级乘向量原向量之级的位置级系级1,?怎两与两异级理解向量平行,直级平行有什级同,
、如果、～如果有一级级个数使那级由向量乘的定级数知与具有级的位置级系怎2a(a?0)bλ,b=λa. ,ab?
3、已知向量a与b共级,a?0,且向量b的级度是向量a的级度的μ倍,即|b|=μ|a|,那级当a与b同
方向级,有b= , 当a与b反方向级,有b= .有上可知,
两个条向量共级的等价件是,
能力平台
例如级已知任意非零向量两个、级作你断能判、、2 ,ab,=a+b,=a+2b,=a+3b.ABCOAOBOC三点之级的位置级系级级什级??
例如级 的级角级相交于点两条且你能用、表示3 ,ABCDM,=a,=b,abABAD
和级?MA、MB、MC、MD
级式级级
、级本级级第级14
、级本级级第级26
【小级】
定级级向量的级数与1?
与同向～且a|λa|=|λ||a|=λ|a|(λ>0)
与反向～且-λa= a|λa|=|λ||a|=λ|a|(λ<0)
a=0(λ=0)
级向量级的算数与运律,2?
?向量与非零向量共级的充要件条个数是有且只有一级级～使=,3baλbλa
作级,级级级第、级2.2 A910
级下级级,级级级第、、级2.2 A111213
级下思考,级级级第、、、、级2.2 B12345
平面向量基本定理2.3.1
学级目级
通级探究活级能推级理解平面向量并基本定理1.,.
掌握平面里的任何一向量都可以用不个两个来共级的向量表示理解级是级用向量解级级级级的重决2.,要思想方法能级在具级级中适体当地级取基底使其他向量都能级用基底来达表.,.了解向量的级角垂直的念。与概3.
重点级点
教学重点平面向量基本定理、向量的级角垂直的定级。与:
教学级点平面向量基本定理的用运:.
教学级程
引子,在物理中我级知学道力是一向量个力的合成就是向量的加法算运而且力是可以分解,,.的任何一大小不级零的力个都可以分解成不同方向的分力之和两个将级级力的分解拓展到向量,,.中来会呢级生什级级的级级,,
级级,如级～级、是同一平面不内两个共级的向量,是级一平面的任一向量内,我级通级作级研eea12
究与、之级的级系.eea12
级完成,
1级定平面任意不内两个共级的非零向量、～级作出向量你、=3+2=-2eeeeecb12121
.e2
e1
e2
2由?可知可以用平面任意不内两个共级的非零向量、来表示向量那级,eecb12平面的任一向量是否都可以用形如内λ+λ的向量表示呢? 1e2e12
【由上述级程可以级级平面任一向量都可以由级平面不内个内两个共级的向量、表示出来当.,ee12
、确定后任意一向量都可以由级向量量化个两个级级我级究级级级大的方便研来极】,,.ee12
由此可得:
【平面向量基本定理】:
如果、是同一平面的不内两个共级向量那级级于级一平面的任意向量内有且只有一级级数,,eea12
、使λλ,=λ+λ.eea121212
【定理级明】:
我级把不共级向量、叫做表示级一平面所有向量的一级内基底(1);ee12
基底不唯一级级是不共级(2),;
由定理可任一向量将在级出基底、的条件下级行分解(3);eea12基底级定级分解形式唯一(4),.
提出级级
平面中的任意向量之级两个存在级角级,若存在向量的级角直级的级角一级级,与1,
已知非零向量两个和 如级作向量与级?叫做(),=,=,AOB=θ(0??θ?180?)aaaOAOBbb的级角.b
级然当级与同向当级与反向因此两区非零向量的级角在级;θ=180?, .,[0?,180?],θ=0?, aabb内.
如果与的级角是我级级与垂直级作?90?,,.aaabbb?级平面中的任意一向量能否用互相垂直的向量表示,个两个来
、 如级求作向量例、已知向量(),-2.5+3.,1eeee1212
级级,
1.级、是同一平面的向量～级有内两个( )ee12
A.、一定平行 B.、的模相等 C.同一平面的任一向量内都有 ,λ eeeeeaa12121+μ (λ、μ?R)e2
D.若、不共级～级同一平面的任一向量内都有=λ+u (λ、u?R)eeeeaa1212
2.已知向量 ,-2～ ,2+～其中、不共级～级+与 ,6-eeeeeeeaacbb12121212的级系; ,e2
A.不共级 B.共级 C.相等 D.无法定确
,.已知λ,0～λ,0～、是一级基底～且,λ+λ～级与 12ee1e2eeaa12121～与,(“填共级”或“不共级”).e a2
4.下面三级级法:?一平面只有一级不个内共级向量可作级表示级平面的基底;?一平面有个内数无多级不共级向量可作级级平面所有向量的基底;?零向量不可以作级基底中的向量,其中正的级法确是( )
A.?? B.?? C.?? D.???
与是不两个共级向量级若级数、级足5., =3+4,=-2+5,λμλ+μ=5eeeeeeaabb121212
求、的级-,λμ.ee12
【能力提升级】已知级?的重心级、表示向量级用6.GABC,=,=,.aaACAGbbAB
级堂小级
回级本级级的知级学数学平面向量的基本定理向量的级角垂直的定级与1.:,,
级级本级级的方法学数学如待定系法数定级法级级级比与数形级合几何作级2.,,,,,.作级布置
已知向量、 如级求作向量;,;,(),1+2.,2-+3eeeeee121212
平面向量的正交分解及坐级表示2.3.2
学级目级
1、能平面向量的将基本定理级用于平面向量的正交分解中。、把向量正交分解会会用坐级表示向量2,.
重点级点
教学重点平面向量的正交分解、平面向量的坐级表示:.
教学级点: 理解平面向量的坐级表示,
教学级程
级平面中的任意一向量能否用互相垂直的向量表示,上级级级级级一级级我级做出了个两个来——肯定的
回答～接下我级来个两个来会决来哪共同探究,把任意一向量用互相垂直的向量表示级解级级级级级些方便。
正交分解,把向量分解级互相垂直的向量。两个
提出级级
我级知道在平面直角坐级系中每一点都可用一级有个数序级即它的坐级表示级直角坐级平面的内,,().每一向量个如何表示呢能不能象点一级也用坐级表示,来,?
解答级级
如级在平面直角坐级系中分级取与级、级方向相同的级位向量两个、作级,,xyji基底级于平面的一向量内个由平面向量基本定理可知有且只有一级级数.,,a
、使得xy,
=x+y ?jai
级级平面的任一向量内都可由、唯一定确我级把有序数级叫做向量的坐级级作 ,xy,(x,y),aa=(x,y) ?a
其中叫做在级上的坐级叫做在级上的坐级式叫做向量的坐级表示xx,yy,?.aa
级然, =(1,0), =(0,1),=(0,0).ji0
提出级级
在平面直角坐级系中一向量和坐级是否是一一级级的,个,
解答级级
??如级～在直角坐级平面～以原点内级起点作～级点的位置由唯一定确.OAOA=aa
??(x,y)(x,y)级～级向量的坐级就是点的坐级～反级～点来的坐级也AAOAOA=xi+yj
就是向量的坐级.因此～在平面直角坐级系～每一平面向量都是可以用一级级唯一表示内个数.OA
例级级解
例、 如级分级用基底、表示向量、、、并它求出级的坐级1,,.jacibd
例、级在平面直角坐级系中作出向量、～其中;,、;～,2=1,-3=-3-1.aabb级堂小级,;,什级是正交分解,1
;,平面直角坐级系中～向量坐级有什级级系,与2
;,如何根据平面直角坐级系中的向量求出其坐级,如何根据级出的坐级在平面直角3
坐级系中出其级级的向量,画
2,3,3平面向量的坐级算运教学目的,
;1,理解平面向量的坐级的念～概
;2,掌握平面向量的坐级算～运
教学重点,平面向量的坐级算运
教学级点,向量的坐级表示的理解及算的运确准性.
教学级程,
情景平台:我级用有向级段表示向量级级会运来运行级性算～级在我级用坐级表示向量级能不能级行级性
算,
级解新级,
1,平面向量的坐级算运
,,,,,? ～～能你得出、、的坐级级,思考1,已知,=(x,y)λaa+ba?bb=(x,y)1122a
级级,;1, 若～～a=(x,y)b=(x,y)1122
,,,,级～ =(x+x,y+y)=(x?x,y?y)a+ba?b12121212
两个与两个与向量和差的坐级分级等于级向量相级坐级的和差.级级,;2,若和级数～级.a=(x,y)λa=(λx,λy)λ
级向量的级的坐级等于用级级乘原级向量的相级坐级数与个数来.
,
思考2,已知～～级求怎的坐级,A(x,y)B(x,y)AB1122
级级,;3, 若～～级A(x,y)B(x,y)()AB=x?x,y?y11222121
,( xy) (x～y)(x～ y) x y???2～ 2112121OBOA==AB=
一向量的坐级等于表示个减此向量的有向级段的级点坐级去始点的坐级.思考3,能级出坐级级你(x x～ y y)的P点级,??2121
级级,;4,向量的坐级以原点级始点、点与P级级点的向量的坐级是相同的。AB
级解范例,
rrrrrrrr=(2～1)～ =(-3～4)～求+～-～3+4的坐级.例1 已知abababab级级1、级后级级1,2～3级
例2 已知平面上三点的坐级分级级A(2～ 1)～ B(1～ 3)～ C(3～ 4)～求点D的坐级使级四点??
构个成平行四级形四级点.
级级2已知,四点A(5～ 1)～B(3～ 4)～ C(1～ 3)～ D(5～ -3) ～求级,四级形ABCD是梯
形.
例3已知三力个 =(3～ 4)～ =(2～ ,5)～ =(x～ y)的合力++FF=FFFF331212
～求的坐级.F03
级堂小级,平面向量的坐级算～运
级后作级,级级2.3 A级1,2,3级
平面向量共级的坐级表示2.3.4
,级级巩概运固平面向量坐级的念和平面向量的坐级算～1教学目级,
,能级出平行;共级,向量充要件条并会它决的坐级表示～用解向量平行;共级,2
的有级级级～
,弄清区向量平行和直级平行的级,3
向量平行的充要件条的坐级表示,教学重点,
级平面向量共级的坐级表示的理解教学级点,
教学级程
【提出级级】
?如何用坐级表示两个共级向量?
?已知～且向量、共级～其中=(x,y),=(x,y),?aa11220bbb
0级级明,x yx y。12—21=
0 ?已知～且其中x=(x,y),=(x,y), yx y?a112212—21= 0bb
级级明,向量、共级。 ab
【得出级级】当当且级级向量、 共级xy-xy=0(?0).a1221bb从两而向量共级有级表述形式若级有:=(x,y),=(x,y),a1122b
0 ? ??(?)= x yx yλaa12—21= 0bbb
【级用示例】
例、已知且?求1=(4,2), =(6,y),,y.,aabb级级,已知级判断、、三点之级的位置级系1A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),ABC.
例、级点是级段上的一点、的坐级分级是、2PPP,PP(x,y)(x,y).12121122
当点是级段的中点级求点的坐级(1)PPP,P;12
当点是级段的一三等分点级个求点的坐级(2)PPP,P.12
级级,?已知点是级段的三等分点～求点坐级。2=(2,3),=(6,-3),PABPOAOB
3AP?已知A～;～,点在级段的延级级上～且求点坐级。PB(2,3)B4-3PAB=,P
2例3、在?中已知点、若级段、的中点都在坐级级上求点的坐级ABC,A(3,7)B(-2,5).ACBC,C.
级级、已知点级坐级原点若点在第二象限求级数的取级范级=+t.P,t.3A(1,2),B(4,5),O,OPOAAB
【级堂小级】
、级级平面向量的和、差、乘的坐级算。数运1
、级级级向量学两个共级的坐级表示2.
、级级本级级的方法和思学数学想方法。3
【作级布置】
级本级级级、、级2.3 A567
【级后思索】
级～点坐级是什级,、如级～当P1PP=λPP122、级本级级级、、、、级2.3 B1234
平面向量的量级的数物理背景及其含级2.4.1
教学目的,
掌握平面向量的量级及其何意级～数几1.
掌握平面向量量级的重数运要性级及算律～2.
了解用平面向量的量级可以级理垂直的级级～数3.
掌握向量垂直的条件4..教学数重点,平面向量的量级定级教学数运数级点,平面向量量级的定级及算律的理解和平面向量量级的级用
教学级程,
一、级级引入,
;,非零向量级角的念,两个概1
已知非零向量与～作,～,～级?,,,,;,?,叫与θθ?πaaaOAOBbbb的级角.
级明,;,当,,级～与同向～1θab
;,当,级～与反向～2θπab
π;,当,级～与垂直～级?～3θaabb2
;,注意在向量的级角定级～向量必级是同两两起点的范级是4.0??180?θ?;,向量两共级的判定定理2
;,级级 3
若～～～～且?～级; ,1.=(23)=(4-1+y)y=aabb
A.6 B.5 C.7 D.8
若～～～～～三点共级～级的级级; ,,2.A(x-1)B(13)C(25)x
A.-3 B.-1 C.1 D.3;,力做的功,～级是与的级角4W = ||||cos.θssFF
功是级量～力和位移是向量～功是由力和位移确定的～级比级级算～我运级引入“量级”的念。数概
二、级解新级,
,平面向量量级;级,的定级,数内已知非零向量两个与～级的级角是它～1θab
级量数????叫与的量级～级作数～有即???cos = θaaaaabbbb••
;其中,?,θ?π.
并级定,向量任何向量的量级级与数0.0
级探究,、向量量级是一向量级是一量,的符什级级候级正,什级级候级级,数个个数它号1
、向量的量级级乘向量的级有什级级级,两个数与数区2
【平面向量量级的点级明数几】
;,向量的量级是一级～不是向量～符级由两个数个数号的符所定号决1cos.θ
;,向量的量级级级～级成两个数称内写～级级写要特级注意,符“号”在向量算中运.2ab••
不是乘～不能省略～也不能用“号既代替×”.
;,在级中～若数～且～级～但是在量级中～若数级～且～不能3a0ab=0b=0=0??aa0b•
推出因级其中有可能级cos0.=θ0b
;,已知级数、、～级但是4abc(b0)ab=bc a=c.=??acbb••
= ac
如右级,???????～?cos = OA= βaabbb•
????????= cos = OAαccbbb•
级 级 但= acacbb••
在级中～有数～但是(5)(ab)c = a(bc)() ()???acacbb••
级然～级是因级左端是与共级的向量～而右端是与共级的向量～而一般与不共级.caac,“投影”的念,概作级2
定级,??叫做向量在方向上的投影投影是一量～不是向量～个数cos.θabb
当级级级角级投影级正级～ 当级级级角级投影级级级～ 当级级直角级投影级～0
当级 级投影级??～ 当级 级投影级 ,??= 0= 180.??bb,向量的量级的何意级,数几3
数量级等于的级度与在方向上投影??的乘级cos.θaaabbb•
探究、,向量的量级的两个数性级,级、级非零向量～两个1ab
、级 级 1= 0aabb•
、当与同向级～ ～ 当与反向级～ 2= ||||= |||?aaaaaabbbbb••|. b
ab
?2a=a?a特级的级或 ? ? ?|= ||||| cos = θaaaaabb• ab
探究、,平面向量量级的算数运律2
;,,交级律, = 1aabb••
;,,乘级合数律,2() =() = ()λ?λ??λaaabbb;,,分配律,3(+)=+???acaccbb
级明,;,一般地～;,1(?)??acacbb
;,,～?,2??accca0bb
,,;,有如下常用性级,,,,～3aa
;，,;，,,，，，????acacacbddbbd三、级解范例,
,,, ,,例,级明,?，,，,，?，(-)=1()?()-aaaaaabbbbbb•
,,,,例,已知??～??～～求与的级角θ。2=12=9abaa•b=?542b
o例,已知??～??～与的级角级求,;,3=6=4601(+2)?(-3). aaaabbbb
;,??与??2+-.aabb
a=a?a ; 利用 ,
例,已知??～??～ 且与不共级～级何级级～向量与互相4=3=4k+k-kaaaabbbb垂直.
四、级堂级级,
,级后级级、、、级1123
,已知??～??～??～与的级角θ的余弦=8=10=16.2+aaabbb
五、级堂小级,
,平面向量的量级及其何意级～数几1
,平面向量量级的重数运要性级及算律～2
,向量垂直的条件3.
六、作级布置,级级级、、、级2.4 A123
平面向量量级的坐级表示、数模、级角2.4.2
教学目的,
掌握平面向量量级算级数运律～1.
能利用量级的数个数运决重要性级及量级算级律解有级级级～2.5
掌握向量两个几断会两决共级、垂直的何判～级明向量垂直～以及能解一些级级级级3..
教学数运重点,平面向量量级及算级律.
教学数级点,平面向量量级的级用
教学级程,
一、级级引入,
,平面向量量级;级,的定级, 数内1
,向量的量级的两个数性级, 2
,级级,3
;,已知||～||～且与垂直～级与的级角是; ,1=1=(-)aaaa2bbb
,,A.60? B.30? C.135? D.?
π;,已知||～||～与之级的级角级～那级向量的模级; ,2=2=1=-4aamabbb3
A.2 B.2 C.6 D.123
二、级解新级,
探究,已知非零向量两个～～级用怎和的坐级表示a=(x,y)b=(x,y)aab•1122
.,b
、平面向量量级的坐级表示两数1
两个数它向量的量级等于级级级坐级的乘级的和即=xx+yy.ab•1212
平面点级的距公式内两离2.
22222a=x+ya=x+y;,级～级或a=(x,y)1.;,如果表示向量的有向级段的起点和级点的坐级分级级、～(x,y)(x,y)2a1122
22a=(x?x)+(y?y)那级平面点级的距公式内两离()1212,向量垂直的判定3
级～～级??a=(x,y)ab=(x,y)b1122
xx+yy=01212
,向量级角的余弦两4
已知非零向量两个～与之级的级a=(x,y)ab=(x,y)b～1122
角级θ;, 0?θ?π?
abxx+yy1212=cos =θ2222ab?x+yx+y1122二、级解范例,
例已知～ ～～ ～～ ～级判断?的形～级出级明状并1 A(12)B(23)C(25)ABC.?级级、级级级第级12.4 A5
～ ,～ ～ ,～求～、级的级角的余弦及??。例级= (57)= (64)θ-42?aaaabbbb•
级级 、级后级级、、、级2123
三、级堂小级, 、=xx+yy1ab•1212
22a=(x?x)+(y?y) 、平面点级的距公式 内两离21212
、向量垂直的判定,3
级～～级?xx+yy=0?a=(x,y)ab=(x,y)b12121122四、作级布置 级级级、、、级2.4 A91011
平面何中的向量方法几2.5.1教学目的,
通级平行四级形级何个几模型级级级级出用向量方法解平面何的级级的”三步决几曲”～1.,
明平面何级形中的有级确几性级如平移、全等、相似、级度、级角等可以由向量的级性运数算及2.,
量级表示～.
级学几生深刻理解向量在级理平面何级级中的级越性3.. 教学决决几重点,用向量方法解级级级级的基本方法,向量法解何级级的“三步曲”.教学将几级点,如何何等级级级级化级级向量级级.
教学级程,
一、级级引入,
两个数向量的量级,1. a?b= |a||b|cosθ .
平面向量量级的坐级表示两数2. : a?b=xx+yy.1212
向量平行与垂直的判定3. :
a//b?xy?xy=0.a?b?xx+yy=0.12211212
22平面点级的距公式, 内两离4. |AB|=(x?x)+(y?y)1212求模,5.
2222a=x+ya=a?a a=(x?x)+(y?y) 1212二、级解新级,
例平行四级形是表示向量加法法的何与减几模型如级～1. .AC= AB+AD,DB= AB?AD,
你与两条能级级平行四级形级角级的级度级级级度之级的级系级,
DC
AB思考,1
如果不用向量方法～能级明上述级级级,你
o级级已知级?的一直～条径?级级周角求级,?,;用向量方法级明,1. ACOABC.ABC90.
思考,2
运决几哪几个用向量方法解平面何级级可以分步级,
用向量方法解平面何级级的“三步决几曲”,
建立平面何向量的级系～用向量表示级级中几与几将几涉及的何元素～平面何级级级化级向量级级～(1)
通级向量算～究何元素之级的级系～如距、级角等级级～运研几离(2)
把算级果“级”成何级系运翻几(3).
例,如级～? 中～点、分级是、级的中点～、 分级与交于、两点～2ABCDEFADDCBEBFACRT你能级级、、之级的级系级,ARRTTCFDC
ERT
A
B三、级堂小级
用向量方法解平面何的“三步决几曲”,
建立平面何向量的级系～用向量表示级级中几与几将几涉及的何元素～平面何级级级化级向量级级～(1)
通级向量算～究何元素之级的级系～如距、级角等级级～运研几离(2)
把算级果“级”成何级系运翻几(3).
四、级后作级
级级级第级2.5 A1
向量在物理中的级用级例2.5.2
教学目的,
通级力的合成分解与与研模型、速度的合成分解模型～掌握利用向量方法究物理中相级级级1.
的步级～明了向量在物理中级用的基本级型～级一步加深级所向量的念和向量算的级级～学概运
通级级具级级的探究解～级一步体决学数学数学体会培级生的级用意级～提高级用的能力～2.
数学在级级生活中的作用.
教学运来重点,用向量的有级知级级物理中的力的作用、速度分解级行相级分析级算.
教学将数学级点,物理中有级矢量的级级级化级中向量的级级.教学级程,
一、级级引入,
级解上级作级级1. .
已知A(1,0),直级l:y2x6,点R是直级l上的一点,若RA2AP,求点P的级迹方程.=?=
你哪运与能掌握物理中的些矢量,向量算的三角形法级平行四级形法级是什级,2.
二、级解新级,
例在日常生活中～是否有级级的级级,你两个个杠人共提一旅行包～级角越大越级力～在级上做1.
引体运两向上级～臂的级角越小越省力你从数学能的角度解级级级形象级,.
探究级两人拉力分级级～～其级角级。～旅行包的重力级1. θFFG12
级何级级～最小～最小级是多少(1)||?θF1
能等于级级什级(2)| |||??FG1
探究2:
你决能级级用向量解物理级级的一般步级级?
用向量解决物理级级的一般步级是,
级级的级化,把物理级级级化级级级～数学(1)
模型的建立,建立以向量级主体数学的模型～(2)
参数数学——参数的级得,求出模型的有级解理级级～(3)
级级的答案,回到级级的初始级～ 解相级状决物理级象(4).例如级～一条两河的岸平行～河的级度,～一艘从船级出级到河级岸已知船的速度2. d500 mA.|
,～水流速度,～级行级航程最短级～所用级级是多少;精确到|10 km/h||2 km/h0.1 vv12
,,min
思考、行级最短航程”是什级意思,级怎才能使航程最短,3: “
三、级堂小级
向量解决物理级级的一般步级:
级级的级化,把物理级级级化级级级～数学(1)
模型的建立,建立以向量级主体数学的模型～(2)
参数数学——参数的级得,求出模型的有级解理级级～(3)
级级的答案,回到级级的初始级～ 解相级状决物理级象(4).
四、级后作级
级级级第级2.5 A4
第二章 平面向量级级级;一,一、目级教学
理解向量零向量向量的模级位向量平行向量反向量相等向量两概向量的级角等念。1. .......
了解平面向量基本定理2. .
向量的加法的平行四级形法级;共起点,和三角形法级;首尾相接,。3.
4. 了解向量形式的三角形不等式,|||-||?|?|?||+||(级级,取等的号条件aaabbb
2222是什级?)和向量形式的平行四级形定理,2(||+||)=|,|+|+|.aaabbb
了解级向量的乘法;乘的意级,,数与即数5.
向量的坐级念和坐级表示法概6.
向量的坐级算;加运减级和向量的乘法数数量级,7. ...
数内概量级;点乘或级,的念～注意级“级向区数与?=||||cos8. =xx+yyθaabb1212量的乘法～向量向量的乘法”与
二、知级方法与
向量知级～向量级点在数学物理等学很广它数科的多分支有着泛的级用～而具有代形式和.
几双份数体与学数学教学内何形式的“重身”能融形于一～能中容的级多主干知级级合～形成知
级交级点～所以高考中级引起足级的重级数量级的主要级用,?求模级～?求级角～?判垂直.
三、级程教学
;一,重点知级,
级向量的级的算数与运律,1.
rrrrrrrrr(1) λ(µa)=(λµ)a (2) (λ+µ)a= λa+µa (3) λ(a+b)=λa+λb平面向量量级的算数运律2. :
rrrrrrrrrrrrrrrrr (1) a?b=b?a (2) (λa)?b=λ(a?b)=a?(λb)(3) (a+b)?c= a?c+b?c向量算及平运与行垂直的判定3. :
级a=(x,y),b=(x,y),(b?0).1122
级 a+b=(x+x,y+y)a?b=(x?x,y?y)a?b=xx+yy121212121212
a//b?xy?xy=0.a?b?xx+yy=0.12211212
两离点级的距4. :
22|AB|=(x?x)+(y?y)1212
级角公式5. :
?+ab xxyy 1212==θcos2222?+?+a bxyxy1122
求模,6.
2222a=x+ya=a?a a=(x?x)+(y?y) 1212
;二,级级级解,第二章 级级考级参
;三,典型例级
例, 已知级?内部一点～?～?～级～～1OABCAOB=150?BOC=90?==aOAOBb
～=cOC
且与表示 ～～～用||=2||=1| |=3acacbb
解,如级建立平面直角坐级系xoy～其中, 是级位正交基底向量, 级B;0～1,～C;-ji
3～0,～
级A;x～y,～级条件知x=2cos(150?-90?),y=-2sin(150?-90?)～即A;1～-,～也就3
是= ,, =～ =-3所以-3=3+|即=3,3jj333acaccabbbii
;四,基级级级,
;五,、小级,掌握向量的相级知级。
;六,、作级,
第二章 平面向量级级级;二,
一、级程教学
;一,级级级解,
;二,典型例级
22例,已知级,及点;～,～是级上任意一点～点在级1C(x?3)+(y?3)=4A11MN,,
段的延级级上～且～求点的级迹方程。NMAMA=2AN
级级,已知级坐级原点～;～,～;～,～;～,～=21=17=51=x1. OOAOBOCODOA
;～, 求点;～,的级迹方程～,y=?xyR?Pxy DCDB
已知常数～向量～级级定点;～,,以级方向向2. a>0m=(0,a),n=(1,0)A0am+λn量的直级级级定点与;～,以级方向向量的直级相交于点～其中求点的级PB0a.Pλ?Rn+2λm
迹的方程～C
例级平面的向量内～点是直级上的OA(1,7)OB(5,1)OM=(2,1)2.=, =, POM一级点～求个当取最小级级～的坐级及级的余弦级,APBOPPA?PB
解 级,? 点在直级上～OP(x,y)=POM
? 与共级～而～? ,即～OM=(2,1)x2y=0x=2yOPOM
有,? ～OP=(2y,y)PA=OA?OP=(1?2y,7?y)
～PB=OB?OP=(5?2y,1?y)
? PA?PB=(1?2y)(5?2y)+(7?y)(1?y)
2,= 5y20y+12
2,,, = 5(y2)8
从当当而～且级～级～取得最小级,～y=2x=48PA?PB
此级～～,OP=(4,2)PA=(?3,5)PB=(1,?1)
于是～～～|PA|=34|PB|=2PA?PB=(?3)×1+5×(?1)=?8
PAPB??8417APBcos?===?? 17342PAPB||||??
小级,利用平面向量求点的级迹及最级。
作级,
两与角和差的正弦、余弦和正切公式3.1
两角差的余弦公式3.1.1
三级目级
通级级学并两生探索、猜想、级级推级“角差的余弦公式”了解级角级角的三角函之级的在级系与数内1.,,并通级强化级目的级级加深级角两差的余弦公式的理解培级学运生的算能力及级级推理能力提高学,,,生的素级数学.
通级角两运差的余弦公式的用会级行级级的求级、化级、级明体会数学当运化级思想在中的用使学生2.,,,级一步掌握级系的级点自级地利用级系级化的级点分析级级来提高学决生分析级级、解级级的能力,,.通级本级的级学使学体会生探究的级趣级级到世级万物的级系级化与级成用级级级系的级点与看级级级级级级情3.,,,.境激级学学生分析、探求的级级度强化学参与生的意级从学决而培级生分析级级、解级级的能力和代级、,,,
演级、形级合等思数数学想方法.
重点级点
教学重点通级探究得到角两差的余弦公式:.
教学级点探索级程的级级和适当引级:.
教学级程
、提出级级1
?级学生猜想cos(α-β)=?
?利用向量的知级如何推级级级,cos(α-β)=?
如级在平面直角坐级系内作级位级以级始级作角、它与级的级级2,xOyO,Oxαβ,
级位级的交点分级级、级OAB,= ,= ,AOB=.?OAOB
由此可知级于任意角、都有,αβ
)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (C(α-β)
?级心级察公式的级构它哪有些特征,其中、角的取级范级如何,C,αβ(α-β)
填空,cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)=__________
?如何正用、逆用、活用灵运公式级行求级级算,C(α-β)
如?,.cos75?cos45?+sin75?sin45?=
?是否成立cosα =cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.、级用示例2
例利用差角余弦公式求的级1 cos15?.
级式级级
利用差角余弦公式求的级1. sin75?,sin15?.,
利用差角余弦公式求，的级2.:cos110?cos20?sin110?sin20?.
45π例已知?是第三象限角求的级?2 sinα=,α(,π),cosβ=,β,cos(α-β).5213
级式级级45
已知?是第三象限角求的级?sinα=,α(0,π),cosβ=,β,cos(α-β).513
111π例已知且、?求的级?3 cosα=,cos(α+β)=,αβ(0, ),cosβ.7142级式级级
级本级级级、级3.1 A45.
级堂级级
级后级级、、、、级1234
级堂小级
、回级公式的推级级程级察公式的特征特级要注意公式可正用、既逆用级可级用及掌握级角和角的拆1,,,思想方法解级级决.
、本级级要理解掌握角并两差的余弦公式及其推级要正熟级确运地用公式级行解级在解级级要注意2.,,分析三角函名、角的级系数称准确断数号判三角函级的符多级级目级行一级多解从决中比级最佳解级,.,级的途径以到级化解级级程达级范解级步级级悟级级思路强化思数学想方法之目的,,,,.作级布置
级本级级级、、、级3.1 A2345.
两与角和差的正弦、余弦、正切公式3.1.2
三级目级
在级角学两学并两与差的余弦公式的基级上～通级级生探索、级级推级角和级差的正弦、余弦、正切公1.
式了解级之级的在级系～通级它内并学运强化级目的级级～加深级公式的理解～培级生的算能力及级级,
推理能力～而提高解级级的能力从决.
通级角和两与运会学体差的正弦、余弦、正切公式的用～级行级级的求级、化级、恒等级明～使生深刻2.
会来学决级系级化的级点～自级地利用级系级化的级点分析级级～提高生分析级级解级级的能力.通级本级级～使学学找数学学学生掌握级级律的方法～提高生的级察分析能力～培级生的级用意级～3.
提高学数学生的素级.
重点级点
教学两与重点,角和差的正弦、余弦、正切公式及其推级.
教学灵运学级点,活用所公式级行求级、化级、级明.
教学级程
、提出级级1
?级级得两写角差的余弦公式级,级出。
?在公式中～角是任意角～级思考角中级成角是否可以,此级级察角与Cβα-ββ-βα+βα-(-β)(α-β)
之级的级系～如何利用公式来推级Ccos(α+β)=?(α-β)
级级、1
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ我级以上等式级角和的余弦公式～级作称两C.(α+β)?分析级察的级有何特构征,C(α+β)
?在公式、的基级上能否推级CCsin(α+β)=?sin(α-β)=?(α-β)(α+β)
级级、2
因此我级得到角和两与差的正弦公式～分级级级级、SS.(α+β)(α-β)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.?公式、的级特构征如何,SS(α-β)(α+β)
?级比分析公式、、、～能否推级出CCSStan(α-β)=?(α-β)(α+β)(α-β)(α+β)
;,,tanα+β=
级级、3
由此推得两角和、差的正切公式～级级级、TT.(α-β)(α+β)
α+βtantan,tan(α+β)=?αβ1tantanα?βtantan.tan(α-β)= +αβ1tantan?分析级察公式、的级特构征如何,TT(α-β)(α+β)
我级把前面六个公式分级比级可得、、叫和角公式～、、叫差角公式CSTSCT.(α+β)(α+β)(α+β)(α-β)(α-β)(α-β)级级级级以上六个公式的推级级程～得出以下级级级系级.
通级级级级系级～深刻理解级之级的在级系～借以理解活用级些公式它内并灵运同级级注意,不级要掌握.级些公式的正用～级要注意级的它逆用及级形用如角和两与差的正切公式的级形式.
、级用示例2
3πππ例已知?是第四象限角～求的级1 sinα=,αsin(-α),cos(+α),tan(-α).5444级级,级本级后级级、、、、级1234
例利用和差角公式级算下列各式的级2 .
;,1sin72?cos42?-cos72?sin42?;;,2cos20?cos70?-sin20?sin70?;
o+1tan15;,3o1?tan15
级级,级本级后级级、、、级567
π例求级,;级方法,两3 cosα+sinα=2sin(+α).36
级级,化级下列各式,
;,sinx+cosx;13
;,2cosx-sinx.62
、级堂小级3
通级本级级的级～学运两与决数要熟级掌握用角和差的正弦、余弦、正切公式解三角函式的化级、求级、恒等级明等级级灵活级行角的级级和公式的正用、逆用、级形用等,.
22推级理解公式并～用解三角函求级域、最级、周运它来决数期、级级asinx+bcosx=sin(x+φ)a+b
区级等级级.
、作级布置4
级级级、3.1 A713(1) (3) (5) (7) (9)
二倍角的正弦、余弦、正切公式3.1.3
三级目级
通级探索、级级推级二倍角公式并了解级之级、以及级和角公式之级的级在级系它它与内并通级强化级目1.,,的级级加深级二倍角公式的理解～培级算能力及级级推理能力运从决而提高解级级的能力,,.通级二倍角的正弦、余弦、正切公式的用～级运会行级级的求级、化级、恒等级明体会数学化级级一基本2..思想在级级中和求级、化级、恒等级明中所起的作用～级一步掌握级系级化的级点～自级地利用级系级化的级点分析级级～提高分析级级、解级级的能力来决.
通级本级级～学找数学学引级级悟级级律的方法～培级的级新意级～以及善于级级和勇于探索的科精神3..重点级点
教学重点,二倍角公式推级及其级用.
教学灵级点,如何活级用和、差、倍角公式级行三角式化级、求级、级明恒等式.
教学级程3π、 若求～的级并级级思想方法。 1sinα=,α(?,π),sin2αcos2α.级级级入()52
、?级级着用或表示～。2sinα cosα,sin2αcos2α
?级级着用表示。tanαtan2α
;新知级解,
级些公式都叫做倍角公式倍角公式级出了的三角函数与的三角函之级的级系数.α2α.公式级明,
级里的“倍角”级指“二倍角”遇到“三倍角”等名级级三”字等不可省去～()?,,“
通级二倍角公式可以用级角的三角函表示二倍角的三角函～数数()?,
二倍角公式是角和的三角函公式的特殊两数况情～()?1ππ公式和中的角没有限制～都是但公式需在α?kπ+()?(S),(C)αα?R.(T)α?kπ+2α2α2α242
π级才成立～但是当级级然不存在此级不能用此公式～但是存在(k?Z)α=kπ+,k?Z,tanα,tan2α2
的故可改用级级公式,.aa;?,二倍角公式不级限于是的二倍的形式其他如是的二倍是的二倍,3α2αα,4α2α,24aaa3aππ是的二倍是的二倍～的二倍等所有级些都可以级用二倍角公式是,,.-α-236242
;级用示例,5ππ例已知求的级1 sin2α=,<α<,sin4α,cos4α,tan4α.1342
aaa4α级级、已知的级。求?1cos=,8π<α<12π,sin ,cos ,tan85444
3
、已知;,～求的级。cos2α2sinα-π=5
π例、已知～?～求的级。2sin2α=- sinαα(,π)tanα2
1
～求的级。级级、已知tanα1tan2α=3
otan22.5ππ22sincos、求下列各式的级,?sin15?cos15?; ?- ; ? ;22o881?tan22.5
?2cos?22.5?-1.
4
例、 在?中求的级3ABC,cosA=,tanB=2,tan(2A+2B).5
;级堂小级,
本级级要理解掌握二倍角公式及其推级～明并从并确运白一般到特殊的思想～要正熟级地用二倍角公式解级在解级级要注意分析三角函名、角的级系～一级目能级出多级解法～中比级最数称个从佳.
解级级的决径达数学途～以到级化解级级程～级范解级步级～级悟级级思路～强化思想方法之目的.作级布置()
级本级级级、、、级3.1 A151617
级级的三角恒等级级3.2
三级目级
通级级级二倍角的级形公式推级出半角的正弦、余弦和正切公式～能利用和与差的正弦、余弦公式1.
推级出级化和差与和差化级公式体会数学化级、级元、方程、逆向使用公式等思想～提高推理能力,.理解掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式～利用公式级并并会行级级的恒等级形体会三角恒等级级2.,在中的级用数学.
通级例级的解答～引级级级级级象目级级行级比、分析～形成级解级级程中如何级级公式～如何根据级级的条3.
件级行公式级形～以及级级级程中级的级元、体数学从逆向使用公式等思想方法的级级～而加深理解级级思想～提高推理能力.
重点级点
教学重点,半角公式、级化和差、和差化级公式的推级级级1..
三角级级的内容、思路和方法在与数代级级相比级中体会三角级级的特点2.,,.教学并运数学断从体级点,级级三角级级的特点～能用思想方法指级级级级程的级级～不提高整上把握级级
级程的能力.
教学级程
引言,
三角函的化级、求级、级明～都不级三角数离恒等级级学级了和角公式～差角公式～倍角公式以后～.
我级就有了级行三角级级的新工具～而使三角级级的从内丰灵容、思路和方法更加富和活～同级也级培级和提高我级的推理、算、级能力提运践广供了级的空级和级展的平台.
级用,
aaa
222α例、级以表示1cossin ,cos, tan.222
aααsin1cos?例、级级,求级。2tan==21cosαsinα+
1
例、级明2(1)sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)];2
θ+?θ??cos(2)sinθ+sinφ=2sin.22
级级,级后级级;,、;,、级2232
例3、求函数的周期～最大级和最小级。y=sinx+3cosx
级级,求下列函的最小正周数区期～级增级及最大级。
x2y=sin2xcos2x ;,, ;, ;,=2cos+123y2y=3cos4x+sin4x
级级内容,
函数的级形级用与;级助角公式,y=asinx+bcosx
ab+22sinx函数;,y=asinx+bcosx=cosx,a+b2222++abab
abab22()+()=1从而可令=cos?,=sin?(φ,22222222abababab++++
22级有;,sinxcosφ+cosxsinφasinx+bcosx=a+b
2222;,因此～我级有如下级级,;,～其中=sinx+φ.asinx+bcosx=sinx+φtanφ=a+ba+bb
.a
π例、 如级已知是半级径级心角级的扇形是扇形弧上的级点是扇形的接内矩4,OPQ1,,C,ABCD3
形级?求角当取何级级矩形的面级最大并个求出级最大面级.COP=α,α,ABCD?.
级堂小级
、回级前面级的知级学数学和、差、倍角的正弦、余弦公式的级用半角公式、代数与区式级级三角级级的1:,
级级系与级化和差与和差化级公式及其推级三角恒等式与条件等式的级明.,.
、本级级级究了通级三角研恒等级形把形如的函级化级形如数的函数从2,y=asinx+bcosxy=Asin(ωx+φ),而能级利考级函的若数干性级达决到解级级的目的充分级出体数学数学生活的和“活”的,,.作级
级本级级级;, ;,、、、级3.2 A12435
浙公网安备 33021202002483