排列组合二项式定理·二项式定理通项公式的应用·教案
排列、组合、二项式定理?二项式定理通项公式的应用?教案
教学目标
1(加深对二项式定理通项公式的认识，熟练地运用通项公式求指定项或有关系数( 2(通过对例题的分析、讨论，解答，进一步培养学生抽象思维和分析问题的能力，以及运算能力(
3(进一步渗透转化及方程(组)的数学思想方法(
教学重点与难点
认识通项公式中字母的含义，熟练地运用通项公式(
教学过程设计
(一)引入新课
师:请同学们回忆表示二项式定理的公式:
师:二项展开式项的系数与二项式系数是两个不同的概念，这两个系数的数值一般情况
下是不相等的，一定要区分所求是哪一种系数(另
师:求这一项用什么方法,
生:把二项式展开，然后从中找出常数项(
师:这样的办法在理论上是可以的，但在解决每一个具体问题时，是否都可操作呢, 生:如果n比较小，写出的项数不多，写出所有项还可以，但如果n太大了，比如n=100，根本不可能写出101项来(
师:那么如何处理更合理更简捷、更准确呢,
生:应该利用通项公式(
师:对，因为通项公式是二项展开式每一项的代表，展开式某一项具有的性质，从这一项的表达式也能反映出来(如何利用通项公式求常数项,
生:知道第r+1项是常数项，把r代入通项公式的右端，就能求出常数项了( 师:现在的问题转化成了第几项是常数项了，谁能看出哪一项是常数项, (学生不语，摇头)
师:看不出哪一些是常数项，怎么办,
生:列关于项数的方程，求出项数(
师:如果没第r+1项是常数项(我们要设法找到关于r的等量关系，得到关于r的方程，已知中有等量关系吗,
生:就是第r+1项是常数项，也就是这一项x的指数应该等于零，这应该是所要的等量关系(
师:那么x的指数从哪里去找呢,
生:当然还是利用通项公式(
师:通过研究我们找到了解决问题的思路(先设第r+1项为不含x
例3 求(1+x+x2)(1-x)10的展开式中，x4的系数(
师:问题提出后，我们看从什么地方入手,
生:这个题与例2类似，也是不知道含x4的项是第几项，肯定得想办法求出项数( 师:例2我们是从通项公式得出r的，这个已知式子的展开式的通项公式会求吗, 生:(摇头)
师:看来我们遇到的式子不是简单的二项式了，其实难以处理的是因式1+x+x2(我们能研究的是二项式(1-x)10，应该考虑如何转化为我们能处理的式子( 生:把(1-x)10看作单项式，将所给式子展开，得(1+x+x2)(1-x)10=(1-x)10+x(1-x)10+x2(1-x)10(在这个多项式中，每一项都含有x4的项，分别求出相加就行了(
师:具体地说说如何求每项中含x4的系数(
生:(1-x)10的展开式中的x4的系数的求法跟例2一样，x(1-x)10的展开式中x4的系数等于(1-x)10的展开式中x3的系数，同理x2(1-x)10的展开式中x4的系数等于(1-x)10的展开式中x2的系数(
师:很好～将原式局部展开之后，利用加法原理，便可得到展开式中x4的系数( (板书)
解:由于(1+x+x2)(1-x)10=(1-x)10+x(1-x)10+x2(1-x)10，则(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为(1-x)10的展开式中x4，x3，x2的系数之和(
而(1-x)10的展开式中含x4，x3，x2的项分别是第5项、第4项和第3项，则(1-x)10的展开式中x4，x3，x2的系数分别是:
这个展开式中是否存在常数项,如果有，求出常数项，如果没有，求出展开式的中间项( 师:大家分析一下题目，这是个开放性问题(不知道常数项是否存在，如何处理, 生:可以设第r+1项为常数项，令x的指数得零，求出r就行了(
师:那常数项就一定存在吗,
生:不一定(如果求出的r是大于等于0，且小等于n的整数，常数项就存在(否则常数项就不存在(
师:其他同学有什么见解,
生:所给的二项式跟前面几个例题中出现的二项式不一样，因为二项式的指数n没有给出来，没有n不容易判断哪一项是常数项(
师:很想知道n是多少，怎么得到,
生:没有直接写出n等于多少的已知条件，只能运用方程的思想，找关于n的方程，由已知二项展开式前三项系数成等差数列，转化成代数形式就是关于n的方程，由这个方程应该能求出n(
师:有了n之后，判断有无常数项(常数项是多少，中间项是多少的问题就转化为例1，例2的类型了(
(板书)
解:二项展开式中:
师:通过本节课的例题与习题，可以看到，二项展开式通项公式反映了项、项数、系数、指数等数量关系，因而通项公式是解决二项展开式有关项的问题的关键(在解决这类问题时，必须注意n，r的取值范围及大小关系(要注意体会方程的思想和转化思想的运用(
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