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第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果a x n
=,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *.
◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,?
??<≥-==)0()
0(||a a a a a a n n
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n
m ,
)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r
a 〃s
r r
a
a +=),,0(R s r a ∈>;
(2)rs
s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)
s
r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R .
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2
(1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x
≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [; (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x
≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数
1.对数的概念:一般地,如果N a x
=)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N
的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○
2 x N N a a x =?=log ; ○
3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:
○
1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○
2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化
幂值 真数
(二)对数的运算性质
如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○
1 M a (log 〃=)N M a log +N a log ; ○
2 =N
M
a log M a log -N a log ; ○
3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式
a
b
b c c a log log log =
(0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ).
利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n
b a n a m log log =
;
(2)a
b b a log 1log =. (二)对数函数
1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:
x y 2log 2=,5
log 5x y = 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
○
2 对数函数对底数的限制:0(>a ,且)1≠a . 2
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数,其中α为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)0>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0[+∞上是增函数.特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸;当10<<α时,幂函数的图象上凸;
(3)0<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.
例题:
1. 已知a>0,a
0,函数y=a x
与y=log a (-x)的图象只能是 ( )
2.计算: ①=64
log 2log 273 ;②3log 422+= ;2
log 227log 551
25+= ;
③14101.016])2[()8
7(064.075.030++-+----- =
3.函数y=log 2
1(2x 2
-3x+1)的递减区间为
4.若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,
[a a 上的最大值是最小值的3倍,则a=
5.已知1()log (01)1a
x f x a a x
+=>≠-且,(1)求()f x 的定义域(2)求使
()0f x >的
x 的取值范围
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数
)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即:方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点.
3、函数零点的求法:
○
1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; ○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联
系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点:
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y .
(1)△>0,方程02
=++c bx ax 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程02
=++c bx ax 有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程02=++c bx ax 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点. 5.函数的模型
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