2013
中考
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数学压轴题及答案
2012中考数学压轴题及答案
9.已知，在Rt?OAB中，?OAB,900，?BOA,300，AB,2。若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt?OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线(a?0)经过C、A两点，求此抛物线的解析式;
(3)若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M。问:是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形,若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由。
注:抛物线(a?0)的顶点坐标为，对称轴公
b式为
解: (1)过点C作CH?x轴，垂足为H
?在Rt?OAB中，?OAB,900，?BOA,300，AB
?OB,4，OA,2
由折叠知，?COB,300，OC,OA,2
??COH,600，OH,，CH,3
?C点坐标为(，3)
(2)?抛物线(a?0)经过C(，3)、A(2，0)两点
?解得:
?此抛物线的解析式为:
(3)
存在。因为的顶点坐标为(，3)即为点C
MP?x轴，设垂足为N，PN,t，因为?BOA,300，所以ON,t
?P(t，t)
作PQ?CD，垂足为Q，ME?CD，垂足为E 把代入得:
? M(t，)，E(，)
同理:Q(，t)，D(，1)
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE,QD
即，解得:
? P点坐标为(，(舍) 344，) 33
? 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为(43，
34) 3
10.如图，抛物线与x轴交A、B两点(A
点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中
C点的横坐标为2(
(1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平
行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值;
存在点F， (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否
使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是
平行四边形,如果存在，求出所有满足条件的F
点坐标;如果不存在，请说明理由(
解:(1)令y=0，解得或
?A(-1，0)B(3，0);
将C点的横坐标x=2代入得y=-3，?C(2，-3)
?直线AC的函数解析式是y=-x-1
(2)设P点的横坐标为x(-1?x?2)
则P、E的坐标分别为:P(x，-x-1)，
E(
?P点在E点的上方，?当时，PE的最大值= 24
(3)存在4个这样的点F
，分别是1
11.如图，抛物线经过?ABC的三个顶点，已知BC?x轴，点A在
x轴上，点C在y轴上，且(
(1)求抛物线的对称轴;
，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式; (2)写出A
(3)探究:若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在?PAB是等腰三角形(若存在，求出所有符合条件的点P坐标;不存在，请说明理由(
解:(1)抛物线的对称轴
(2)，0) B(5，4 ) C(0，4 )
把点A坐标代入中，解得
6
4 66
(3)存在符合条件的点P共有3个(以下分三类情形探索(
设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M(
过点B作轴于Q，易得，，，
? 以AB为腰且顶角为角A的?PAB有1个:?PAB( 1
在Rt?
ANP1中，PN1
，
?PAB有1个:?P2AB( ?以AB为腰且顶角为角B的
在Rt?
BMP中，22
?以AB为底，顶角为角P的?PAB有1个，即?P3AB( 画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰?ABC的顶点C( 过点P?Rt?BAQ( 3作P3K垂直y轴，垂足为K，显然Rt?PCK3
( CKAQ2
于是
，
12.如图，对称轴为直线的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)( 2
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是 (2)设点E(
以OA为对角线的平行四边形(求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;
?当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形, ?是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形,若存在，求出点E的坐标;若不存在，请说明理由(
解:(1)由抛物线的对称轴是，可设解析式为( 22
把A、B两点坐标代入上式，得
解之，得
故抛物线解析式为，顶点为
(2)?点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
， 326
?y<0，即 ,y>0,,y表示点E到OA的距离(
?OA是的对角线，
?(
因为抛物线与x轴的两个交点是(1，0)的(6，0)，所以，自变量x的 取值范围是1,x,6(
? 根据题意，当S = 24时，即( 化简，得解之，得
故所求的点E有两个，分别为E1(3，,4)，E2(4，,4)(
点E1(3，,4)满足OE = AE，所以是菱形;
点E2(4，,4)不满足OE = AE，所以不是菱形(
? 当OA?EF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的 坐标只能是(3，,3)(
而坐标为(3，,3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E， 使为正方形(
1272727214
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