全国2009年4月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
说明：在本卷中，AT
表
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示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的铁。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目
要求
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的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．3阶行列式
=
中元素
的代数余了式
=（ ）
A．-2 B．-1
C．1 D．2
2．设矩阵A=
，B=
，P1=
，P2=
，则必有
（ ）
A．P1P2A=B B．P2P1A=B
C．AP1P2=B D．AP2P1=B
3．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（ ）
A．A-1C-1 B．C-1A-1
C．AC D．CA
4．设3阶矩阵A=
，则A2的秩为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
5．设
是一个4维向量组，若已知
可以表为
的线性组合，且表示法惟一，则向量组
的秩为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
6．设向量组
线性相关，则向量组中（ ）
A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
7．设
是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若2阶矩阵A相似于矩阵B=
，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设实对称矩阵A=
，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的
规范
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形为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若3阶实对称矩阵A=（
）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．已知3阶行列式
=6，则
=_______________.
12．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=__________________.
13．设A=
，则A2-2A+E=____________________.
14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B=
，则A=______________.
15.设3阶矩阵A=
，则A-1=_________________.
16.设向量组
=（a,1,1）,
=（1,-2,1）,
=（1,1,-2）线性相关，则数a=________.
17.已知x1=(1,0,-1)T, x2=(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则对应齐次线性方程组Ax=0有一个非零解向量
=__________________.
18.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为
=(1，1)T,
=(1，k)T，则数k=_____________________.
19.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则|B+E|=_________.
20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=_____________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.已知3阶行列式
=
中元素
的代数余子式A12=8，求元素
的代数余子式A21的值.
22.已知矩阵A
，B=
,矩阵X满足AX+B=X，求X.
23.求向量组
=(1,1,1,3)T，
=(-1,-3,5,1)T，
=(3,2,-1,4)T，
=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.
24.设3元齐次线性方程组
，
（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；
（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.
25.设矩阵B=
，
（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；
（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵
和可逆矩阵P，使P-1BP=
26.设3元二次型
,求正交变换x=Py,将二次型化为
标准
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形.
四、证明题（本题6分）
27.已知A是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.
全国2009年1月自考线性代数(经管类)试题答案
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．线性方程组
的解为（ A ）
A．x=2,y=0,z=-2 B．x=-2,y=2,z=0
C．x=0,y=2,z=-2 D．x=1,y=0,z=-1
2．设矩阵A=
，则矩阵A的伴随矩阵A*=（ B ）
A．
B．
C．
D．
3．设A为5×4矩阵，若秩（A）=4，则秩（5AT）为（ C ）
A．2 B．3
C．4 D．5
4．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（ C ）
A．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性相关
C．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性无关 D．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性相关
5．设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（ A ）
A．2 B．3
C．4 D．5
6．设m×n矩阵A的秩为n-1，且
1，
2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解，则Ax=0的通解为（ D ）
A．k
1，k∈R B．k
2，k∈R
C．k
1+
2，k∈R D．k(
1-
2),k∈R
7．对非齐次线性方程组Am×nx=b，设秩（A）=r，则（ A ）
A．r=m时，方程组Ax=b有解 B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解
C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解 D．r
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