数学必修5知识点-肖

数学必修5 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 -肖 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 数学必修5知识点 第一章 解三角形 1(1 正弦定理 解三角形定义:已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 1.正弦定理: 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 abca，b，c,ABC.(其中为外接圆的半径) ,,,,2RRsinAsinBsinCsinA，sinB，sinC ,,,,aRAbRBcRC2sin,2sin,2sin; abc,,abcABC::sin:sin:sin. ,,,,sin,sin,sin;ABC222RRR 2.正弦定理的应用 ?已知三角形的两角一边求其他;(1.先求第三个角2.再用正弦定理求出二边) ?已知三角形的两边一对角求其它;(1.先求另一对角2.再求第三个角3.最后求第三条边) 1.2 余弦定理 1.余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 222记住15?的三角函数值: 余,bca，,222,abcbcA,，,2cos, cos,A,弦,0002bc,定sin15 cos15 tan15 222,,bacacB,，,2cos, 222理,acb，,,推,222cos,B,,6,26，2cababC,，,2cos. 2ac,2,3 论 ,44222 ,abc，, cos.C,,2.余弦定理及其推论的应用 2ab,?已知三角形的两边夹角求其他.(1.先求夹角的对边2.再求另一个角3.最后求第三个角) ?已知三角形的三边求其他.(1.先用余弦定理求出一个角2.再求第二、第三个角) 222a,b，c勾股定理是余弦定理的特例() 222 abcA,，,,,是直角ABC是直角三角形222,，,,,是钝角ABC是钝角三角形abcA 222,，,,是锐角,ABC是锐角三角形abcA 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf :常利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” abA,,例 在ABC中，已知，讨论三角形解的情况 , 1(当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解;否则无解. ab, 2(当A为锐角时，画 理解分析: 如果?，那么只有一解; ab1.先作角A，则A点确定 如果，那么可分为三种情况来讨论: ab,2.再确定b(即AC)，则C点确定，且bsinA确定 (1)若，则有两解; abA,sin3.最后以C点为圆心a为半径画圆，与底边交点即为B点 (2)若，则只有一解; abA,sin (3)若，则无解. abA,sinC b 总结:在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， B A 只有当A为锐角且时，有两解;其它情况时则只有一解或无解. bAabsin,, 第 1 页 1.3 解三角形应用举例 1111.三角形面积公式:S,absinC,bcsinA,acsinB,ABC222 2.常用结论: A，B，C,,(1)在?ABC中，， ？sinA,sin(B，C);sinB,sin(A，C);sinC,sin(A，B) (2)在?ABC中，若 abABAB,,,,,sinsin; ,(3)若sin2sin2,.ABABAB,,，,则或2 sinsinABAB,,,注意:在三角函数中，不成立。 3.解三角形应用题的一般步骤: 解三角形的应用举例 (1)建模:理解题意，建立模型. 两点间距离的测量(2)列方程:根据三角模型列方程. (3)求解:利用正弦定理或余弦定理解三角形，求得数学模型的解. 物体高度的测量 (4)检验:检验解是否符合题意或实际意义. 角度的测量 ::例 某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追,需要多少时间才追赶上该走私船, 解:如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9, 75:ACB=+= ，45:120: 222(14x) = 9+ (10x) -2910xcos ？，，120: 392化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去) ？216 所以BC = 10x =15,AB =14x =21, :BCsin12015353又因为sinBAC === ，，214AB21 ::,,1347BAC =38,或BAC =141(钝角不合题意，舍去)， ？，， ::,,131338+=83 ？45: :,13答:巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船. 第 2 页 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 1.数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 2.数列的项和数列的表示:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1 项(或首项)，第2项，„，第n 项，„.记为，叫做数列。 ,,aa,a,a,？,a,？n123n3(数列的分类: (1)根据数列项数的多少分类:有穷数列和无穷数列。 (2)根据数列项的大小分类: 递增数列;递减数列;常数数列;摆动数列; 4.数列的通项公式 如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数,,aann 列的通项公式. 5.数列的递推公式 递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前n项),,aaannn,1间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 递推公式也是数列的一种表示方法。与通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式。 2.2 等差数列 1(定义: aa,=d ，(n?2，n?如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即nn,1，新疆王新敞奎屯N)，这个数列就叫做等差数列，常数d叫做等差数列的公差 2(通项公式: a公式一: 公式二:a, 公式三:=pn+q (p、q是常数) a,a，(n,1)da，(n,m)dnnn1m a,aa,an1nm求公差d的方法:?d= ?d= ?d=p(公式三) n,1n,m a，baAb、、A,或2A,a，b3.等差中项:若三数成等差数列，则 2 4.等差数列的性质: m，n,p，q a，a,a，a，，若m，n,2k,则2a,a，a?若，则; mnpqkmna，a,a，a,a，a,a，a,...? 1n2n,13n,2in，1,i *Naaaa,,,,,,,?每隔k(k)项取出一项()组成公差为md的等差数列. ,mmkmkmk，，，23 ,,,,d,0,,,aaad,0,d,0,?单调性:是递增数列;是递减数列;为是常数列; nnn5.判断一个数列是等差数列的方法: ，aa,,,a是等差数列?定义法:,=d(d为常数，且n?N)nn,1n 第 3 页 ，?递推法:(等差中项法): ,,2a,a，a(n,N),a是等差数列n1nn2n，， ，?通项法:是等差数列首项，公差d=p ,,a,p，qa,pn，q(p,q为常数，n,N),a1nn 2，?前n项和公式法:是等差数列首项，公差d=2A ,,a,A，BS,An，Bn(A,B为常数，n,N),an1n 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或递推法(等差中项法). 2.3 等差数列的前n项和 1.等差数列的前项和公式: n na，a()(1)ddnn,d21nS,公式1:;公式2:( 可化成S,n，(a,)n) S,na，nn1n122222.与之间的关系: SaS,a，a，a，？，an123nnn ,S(n1),1由的定义可知，当n=1时，=;当n?2时，=-，即=注意:SSSaaSa,nnnn,1n11S,S(n,2)nn,1,最后要验证是否满足(n?2)的表达式，若满足得合并，若不满足要写成分段形式. aan1 等差数列前n项和公式的性质 3. 2kd?、、„也是公差等差数列，公差为. SS,SS,Sk2kk3k2k aSn2n,1若ab都为等差数列，S，T分别为它们的前项和，则,,,,?,n, nnnnbTn2n,1? S,S，S，mndm，nmn Smn,,，Sm,?若Sn,，，则;若a,,,,man则a0, ，，mn，nmnmnm， ,,Sa4.求的最值问题有两种方法(或求中正负分界项) nn dd2*S,n，(a,)nnN,方法一:由利用二次函数配方法求得最值时n的值.注意 n122 方法二:(1)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和。 n ,a0,nS 即当 由可得达到最大值时的n值( a,0，d,0，,n1,a0n，1, (2) “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。 n a,0,nSn 即 当a,0，d,0， 由可得达到最小值时的值( ,n1a0,n，1, daaSann总结:1.等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素:、、、及，其中、1nn1d称为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2. da 基本量法:即运用条件转化成关于和的方程，叫基本量法。 1 aand,，,(1)2.设项技巧:?一般设通项 n1 d ?奇数个数成等差，可设为„，adadaadad,,，，2,,,,2„(公差为); d ?偶数个数成等差，可设为„，adadadad,,，，3,,,3,„(注意;公差为2) 第 4 页 2.4 等比数列 1.等比数列定义: 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数 an列.这个常数叫做等比数列的公比;通常用字母q表示(q?0)，即:=q(q?0) an,12.等比数列的通项公式: 1nmn,,公式1: 公式2: a,a,q(a,q,0)a,a,q(a,q,0)11nmmn 23.等比中项:若三数成等比数列(同号且?0)。 ab、G、,,Gab,ab4.等比数列与指数函数的关系(单调性) 当，q >1时，等比数列,,是递增数列; a,0an1 当，，等比数列,,是递增数列; a,0a01,,qn1 当，时，等比数列,,是递减数列; a,0a01,,qn1 当，q >1时，等比数列,,是递减数列; a,0an1 时，等比数列,,是摆动数列;当时，等比数列,,是常数列。 当aaq,0q,1nn5(等比数列的性质: 2?若aaaa,,,，则 ，，m，n,p，q m,n,p,q,N，，若m，n,2k,则a,a,akmnpq，mn ? a,a,a,a,a,a,a,a,...1n2n,13n,2in，1,i ,,112r2r，caa，，arZ(),? 是等比数列，公比依次是 qqq，，，.,,,,,,,,nnnaqn,, *k，1N?每隔k(kaaaa,,,,,,,)项取出一项()组成公比为的等比数列. q,mmkmkmk，，，23 ?既是等差又是等比数列的数列是非零常数列 判断一个数列是等比数死的方法 a，n，1,,,q(q是不为0的常数，n,N),a是等比数列?定义法: nan 2，?,,递推法:a,a,a(a,a,a,0，n,N),a是等比数列 n1，nn2nn1n2n，，， n，,,?通项法:a,cq(c,q均是不为0的常数，n,N),a是等比数列 nn 第 5 页 2.5 等比数列的前n项和 1.等比数列的前n项和公式: ,(,1), anaq11, n,S,(1,),aaqaq n1n1,(,1)q, 1,1,qq, 2.等比数列的性质 2?、、„也是等比数列.即 SS,SS,S(S,S),S,(S,S)k2kk3k2k2kkn3k2k nm? S,S，qS,S，qSm，nnmmn 3.等比数列前项和公式的求法 n ?公式法 直接利用等差、等比数列前n项和等公式求和。常见公式有: 122222 ?? 123...(1)(21).，，，，,，，nnnn135...(21);，，，，,,nn 6 ?错位相减法 abab,?若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法. ,,,,,,nnnn bab,ab,?将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列的,,,,,,nnnnn 前项和.(此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法.) nn ?裂项相消法 ca一般地，当数列的通项 时，往往可将变成两项的差，(,,,abbc为常数)a,nn12()()anbanb，，12 cc11采用裂项相消法求和.即 =().,()()()anbanbbbanbanb，，,，，122112 1111111常见的拆项公式有:?? ,,;,,();nnnn(1)1，，(21)(21)22121nnnn,，,， ?倒序相加法 a如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的,,n 两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。 aaaa，,，,...特征: 121nn, ?分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别 求和，再将其合并即可. 一般分两步:?找通项公式?由通项公式确定如何分组. 第 6 页 第三章 不等式 3.1 不等式与不等关系 1.不等式的定义 用不等号(,，,，?，?，)表示不等关系的式子叫做不等式. , 2.实数比较大小 作差法:a-b,0,a,b;a-b,0,a,b;a-b,0,a,b; 解题步骤可归纳为三步: 第一步:作差. 第二步:变形.常采用因式分解或配方法等进行恒等变形;注意结合已知条件. 第三步:定号.下结论 aaa 作商法:若a,0，b,0，则,1,a,b;,1,a,b;,1,a,b;bbb3.不等式基本性质: abba,,,?(对称性) ?(传递性) abbcac,,,,, abacbc,,，,，?(可加性) (同向可加性) a,b,c,d,a，c,b，d (异向可减性) a,b,c,d,a,c,b,d ?(可积性) a,b,c,0,ac,bc a,b,c,0,ac,bc abcdacbd,,,,,,0,0?(同向正数可乘性) ab (异向正数可除性) abcd,,,,,,0,0cd nnababnNn,,,,,,0(,1)且?(平方法则) nn?(开方法则) ababnNn,,,,,,0(,1)且 1111a,b,0,0,,;a,b,0,,,0?(倒数法则) abba 3.2 一元二次不等式及其解法 1.一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 一元二次不等式的解法: 2. 22求一元二次不等式解集的步骤: axbxc，，,,0(0)或(0,40)abac,,,,,一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集 规律:当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.(两边即大于大的，小于小的) 第 7 页 2,,0,,0,,0 ,,b,4ac 2 y,ax，bx，c(a,0)的图象 2 有两相异实根 有两相等实根 无实根 ，，ax，bx，c,0a,0的根 ,,b2,,xx,x或x,x xx,, ax，bx，c,0(a,0)的解集R ,,122a,, 2,,,,xx,x,x ax，bx，c,0(a,0)的解集12 3.不等式恒成立问题 2axbxc，，,0?不等式的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: a,0,a,0a,0 ?当时 时 ?当,,,bc0,0;,, ,,0., 2axbxc，，,0?不等式的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: a,0,a,0a,0 ?当时?当时 ,,,bc0,0;,, ,,0., ,,fxa();,,fxa();?恒成立恒成立 fxa(),fxa(),maxmax ,,fxa();,,fxa().?恒成立恒成立 fxa(),fxa(),minmin 3.3 二元一次不等式(组)与平面区域与简单的线性规划问题 一、二元一次不等式(组)与平面区域 1.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 (1)二元一次不等式:含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。 (2)二元一次不等式组:有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 (3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的值构成有序实数对(x,y)，所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。 (4)二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系: 二元一次不等式(组)的解集可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。 2.用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C,0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 第 8 页 3.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 法一:取点定域法:(是常用的方法“直线定界～特殊点定域”) 由于直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点的坐标代入Ax+By+C后所得的实数的符号相同.所以，在实际 判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x,y)(如原点)，由Ax+By+C的正负即可判断出0000Ax+By+C,0或表示直线哪一侧的平面区域. (,0) 即:直线定边界，分清虚实;选点定区域，常选原点. 法二:符号定域法: 一看不等式开口符号. 二看y的系数符号. 即:同号上方，异号下方. 二、简单的线性规划 1..线性规划的有关概念: 约束条件 约束条件都是关于x、y的一次不等式 目标函数 关于x、y的一次式z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式 线性规划 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 可行解 满足线性约束条件的解(x,y) 可行域 由所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大或最小值的可行解 2.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法 方法一:角点法: 如果目标函数 (即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在，则这些最值zAxBy,，xy、 都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的z 那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值 zz方法二:画——移——求: 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域; ll第二步，作直线 ，平移直线(据可行域，将直线平行移动)确定最优解; lAxBy:0，,000 第三步，将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 . zAxBy,，(,)xy Azz 在第二步中最优解的确定方法是利用z的几何意义:,为直线的纵截距. yx,,，BBB?若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最大值，使直线的zAxBy,，zB,0, 纵截距最小的角点处，取得最小值; z ?若则使目标函数zAxBy,，所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，使直线的zB,0, 纵截距最小的角点处，取得最大值. z 3.常见的目标函数的类型: zAxBy,，;?“截距”型: yb,yz,;?“斜率”型:或 z,xa,x 22222222zxy,，;zxayb,,，,()().?“距离”型:zxy,，或 zxayb,,，,()()或求这“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义，使问题简单化. 第 9 页 ab，3.4 基本不等式 ab,21.基本不等式 a，b(>0,b>0),当且仅当=b时等号成立.我们称这种不等式为基本不等式. ,abaa2 a，b其中叫做，b的算术平均数，ab叫做,b的做几何平均数. aa2 基本不等式可理解为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.或两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数.几何意义是“半径不小于半弦” 2.基本不等式的变形 222，，abab,,,，，记忆:调和,几何,算术,平方?ab 1122，ab 222a，ba，b,,22? 42，，，，ab,a，b,a，b即ab,,,,22,, 1ba当a,0时，a，,2(a=1时取等号)若则ab,，,0,2?(当且仅当a=b时取等号) aab 1ba当a,0时，a，,-2(a=-1时取等号)若则ab,，,,0,2(当且仅当a=b时取等号) aab 3.基本不等式的应用 利用不等式求最值(简记为:积定和最小，和定积最大) 注意求最值时要满足三个条件:一正二定三相等. ?两数都是正数(两数为负数时可提取负号) ?必须有定值(和或积必须有一个为定值;有时需配凑或拆分凑出定值) ?两数能相等(两数取等号时能成立) 99fxx()4,，fxx()4,， (1) 若x>0,求例的最小值; (2)若x<0,求的最大值. xx解(1) 因为 x>0 由基本不等式得: 99fxxx()42423612,，,，,,, xx 9394x,fxx()4,，当且仅当即x=时, 取最小值12. x2x (2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得: 999,,,，,,，,,,,,,,fxxxx()(4)(4)()2(4)()23612，，所以fx,12,. xxx 399,,,4xfxx()4,，当且仅当即x=-时, 取得最大-12. 2xx 规律技巧总结 ?通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. ?利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,若为负数,则添负号变正. 第 10 页