38 中 等 数 学
●课外训练●
数蟹 拣 毡渤 硼稼蓬(140)
中图分类号：G424．79 文献标识码：A 文章编号：1005-6416(2011)04-0038-03
第 一 试
一
、选择题(每小题7分，共42分)
1．已知实数 口、b满足 fi +b =口+b．则
口+b的取值范围是( )．
(A)fi+bI>0
(B)0≤口+b≤2
(C)0≤0+b≤2
(D)0≤口+b≤3
2．如图1，在3×4
表格中，左上角的一个
l×1小方格被染成红
色 则在这个表格中包
含红 色小 方格的矩形
共有( )个． 图1
(A)11 (B)l2 (C)13 (D)14
3．已知锐角△ ABC的三边长恰为三个
连续正整数，AB>BC>CA．若边 BC上的高
为AD，则BD—DC=( )．
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
4．已知有理数 口、b、c满足
口 +b +1：2(C2+口b+b一口)．
贝0 0一b—c的值为( )．
(A)0 (B)一1 (C)±1 (D)不确定
5．在梯形ABCD中，AD／／BC，BC=BD，
AD=CD，且 C=80。．则 A的度数为
( )．
(A)120。 (B)130。 (C)140。 (D)150。
6．已知点 P、9、R分别在△ ABC的边
AB、BC、CA上 ，且
BP=PQ=QR=RC=1．
则△ABC面积的最大值为( )．
(A)√3 (B)2 (C)√5 (D)3
二、填空题(每小题7分，共 28分)
1．在 1，2，⋯，2 011这 2 011个整数中，
能表示为[ [ ]]形式的整数有 — — 个，其
中，[ ]表示不超过实数 的最大整数．
2．某王国有32名骑士，其中某些骑士是
另外骑士的仆人，每名仆人最多只能有一名
主人，每名主人必须比他的任意一名仆人富
有．如果一名骑士拥有不少于四名仆人，那
么，他就被封为贵族．若规定 的仆人的仆人
不是A的仆人，则贵族数目的最大可能值为
3．已知 l： 2ol1=1，
l +l l=I +1 l(n=1，2，⋯，2 010)．
贝4 1+ 2+⋯+ 2 ol0=
— —
．
4．在不大于 100的正整数中，满足
0， l 2：q‘>0，
知两根均为正．
其次，若某 方 程有 大于 20的根，则
Pi= l+ 2>20．但 1，2，⋯，30中大于 20的
数仅有 l0个，所以，好方程至多 l0个．
最后，考虑
一 (20+k)x+k=0(k=1，2，⋯ ，10)，
这十个方程．其较大根
20+k+~／(20+k) 一4
————■ ——一
20+k+ ~／—k2+36k—+400
2
> ：k+19≥20．
故好方程个数的最大值为 l0．
三、(1)作AT切o0于点 ，联结 OT．
设o0的半径为尺．则
AD．AP ：A ：OA 一R ．
同理，BC· =OB 一R ．
由已知易得 OA=OB．
(2)由(1)的证明可知
P(2p+1)=(m一1) 一9，
即 |P(2p+1)=(m-4)(m+2)>0．
由P为质数且(p， +1)=1，知
Pl(m一4)与PI(m+2)
恰有一个成立．
若PI(m-4)，则 m-4= (k∈N+)．
如果 k=1，则
2p+l=p+6 P=5，m=9，OA=8．
如果 k≥2，则 m+2=印 +6>2p+1，
矛盾．
若PI(m+2)，则 gO,+2=印(k∈N+)．
女Ⅱ果 k≤2，贝0 m一4=印 一6<2p+1，
矛盾．
故 k≥3．此时，
+1=k(印 一6)>t3(3p一6)
7p≤19 P=2．
但P=2时，(m-4)(m+2)=10无正整
数解，矛盾．
综上，OA=8．
(柯 新 立 上 海 市延 安初 级 中 学，
200050) ‘
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