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与对称矩阵可交换的反对称矩阵

与对称矩阵可交换的反对称矩阵与对称矩阵可交换的反对称矩阵黄益生，姚海鹭（三明学院数学与计算机科学系福建三明 365004）摘要：引入对称矩阵的导出矩阵与次导出矩阵的概念，给出 n阶对称矩阵与 n阶反对称矩阵是可交换的两个等价条件。同时，利用导出矩阵和次导出矩阵的秩，对 3阶对称矩阵进行分类，并且对每一种类型的 3阶对称矩阵，求出与它可交换的所有 3阶反对称矩阵。关键词：对称矩阵；反对称矩阵；交换性；导出矩阵；次导出矩阵中图分类号：O151 文献标识码：A 文章编号：1673－4629(2010)02－0001－04 ...

与对称矩阵可交换的反对称矩阵黄益生，姚海鹭（三明学院数学与计算机科学系福建三明 365004）摘要：引入对称矩阵的导出矩阵与次导出矩阵的概念，给出 n阶对称矩阵与 n阶反对称矩阵是可交换的两个等价条件。同时，利用导出矩阵和次导出矩阵的秩，对 3阶对称矩阵进行分类，并且对每一种类型的 3阶对称矩阵，求出与它可交换的所有 3阶反对称矩阵。关键词：对称矩阵；反对称矩阵；交换性；导出矩阵；次导出矩阵中图分类号：O151 文献标识码：A 文章编号：1673－4629(2010)02－0001－04 收稿日期：2010-01-20 作者简介：黄益生，男，福建龙岩人，教授，主要研究方向：BCI-代数。基金项目：福建省教育厅高等学校教学质量工程资助项目（ZL09021TZ（SJ））。在矩阵论中，对称矩阵与反对称矩阵是两类特殊矩阵，有许多重要应用。我们知道，矩阵的乘法不满足交换律。如果两个同阶方阵 A 与 B 的乘积等于 B 与 A 的乘积，即 AB=BA，那么称 A 与 B 是可交换的。一般地，当 A 是对称的，B 是反对称的时，它们是不可交换的。例如，容易验证，当 A 是 2 阶非纯量对称矩阵，B 是 2 阶非零反对称矩阵时，A 与 B 必不可交换。这就导致我们考虑，在什么条件下，一个对称矩阵与一个反对称矩阵是可交换的？怎样求出与对称矩阵可交换的反对称矩阵？经网上搜索，没有发现与这些问题有关的文献。在本文中，我们将首先给出一个 n 阶对称矩阵 A 与一个 n 阶反对称矩阵 B 是可交换的一个充要条件，然后引入对称矩阵 A 的导出矩阵与次导出矩阵的概念，并给出 A 与 B 是可交换的另一个充要条件。同时，我们将利用导出矩阵与次导出矩阵的秩，对 3 阶对称矩阵进行分类，并且对每一种类型的 3 阶对称矩阵，求出与它可交换的所有 3 阶反对称矩阵。有关矩阵的概念及其性质，我们参照文献[1]和 [2]。我们用符号 rank（A）来表示矩阵的秩，并用 A＇来表示 A 的转置矩阵。于是 A 是对称的意味着 A＇= A，它是反对称的意味着 A＇=-A。如果 A=（aij）是一个 n 阶方阵，那么 A 是对称的当且仅当 aij=aji，它是反对称的当且仅当 aij=-aji，这里 i，j=1，2，…，n。命题 1 设 A 是数域 F 上的一个 n 阶对称矩阵，B 是数域 F 上的一个 n 阶反对称矩阵，则 A 与 B是可交换的当且仅当它们的乘积 AB是反对称的。证明根据已知条件，有 A＇=A 且 B＇=-B。根据穿脱原理，有（AB）＇=B＇A＇，所以（AB）＇=-BA （i）现在，如果A 与 B是可交换的，即AB=BA，那么由（i）式，我们有（AB）＇=-AB，所以AB是反对称的。反之，如果AB是反对称的，即（AB）＇=-AB，那么由（i）式，我们有-AB=-BA，所以 AB=BA，因此 A 与 B 是可交换的。设 A 与 B 分别是数域 F 上的一个 n 阶对称矩阵和一个 n 阶反对称矩阵（n>1）。不妨设 A= a11 a12 a13 … a1n a12 a22 a23 … a2n a13 a23 a33 … a3n ┇ ┇ ┇ 埙 ┇ a1n a2n a3n … ann n n n nn n n n n nn n 且 B= 0 x12 x13 … x1n -x12 0 x23 … x2n -x13 -x23 0 … x3n ┇ ┇ ┇ 埙 ┇ -x1n -x2n -x3n … 0 n n n nn n n n n nn n 令 cij 是 A 与 B 的乘积 AB 的第 i 行第 j 列元素（i， j=1，2，…，n），则当 i=j 时，有 cij=a1i x1i+…+ai-1，i xi-1，i-ai，i+1xi，i+1-…-ain xin；当 ij 时，有 cij=a1i x1j+…+aj-1，i xj-1，j -aj+1，i xj，j+1 -…-aii xji-ai，i+1 xj，x+1- …-ain xjn。根据命题 1，下列断语成立：A 与 B 是可交换的当且仅当下列 1 2 n （n+1）个等式同时成立：龙岩学院学报 JOURNAL OF LONGYAN UNIVERSITY2010年 4 月第 28 卷第 2 期 April 2010 Vol．28 No．2 1 cii=0 且 cij=-cji，i1），并设 C 是 A 的导出矩阵。令 B=（bij）是数域 F 上的一个 n 阶反对称矩阵，则 A 与 B 是可交换的当且仅当 B 的主对角线上方元素 b12，b13，…，b1n，b23，…，b2n，b34，…，b3n，…，bn-1，n 是齐次线性方程组 CX=0 的一个解。命题 2 表明，可以通过解方程组 CX=0，求出对称矩阵 A 可交换的所有反对称矩阵。当 A 的阶数 n 较大时，它的导出矩阵 C 和次导出矩阵 D 的形状比较复杂。下面让我们来看看，当 n=3 时，C 与 D 具有什么形状。为了便于书写，我们令 A= a b c b d e c e f ┇ ┇且 B= 0 x y-x 0 z -y -z 0 0 0，那么 AB= -bx-cy ax-cz ay+bz -dx-ey bx-ez by+dz -ex-fy cx-fz cy+ez 0 0 根据命题 1，有 -bx-cy=0， bx-ez=0， cy+ez=0， ax-cz=dx+ey， ay+bz=ex+fy， by+dz=-cx+fz。换句话说， bx+cy=0， bx-ez=0， cy+ez=0，（a-d）x-ey-cz=0， ex+（f-a）y-bz=0， cx+by+（d-f）z=0。因此 A 的导出矩阵 C 与次导出矩阵 D 分别为 C= b c 0 b 0 -e 0 c e a-d -e -c e f-a -b c b d-f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 且 D= b c 0 b 0 -e 0 c e ┇ 0 下面我们将利用导出矩阵和次导出矩阵的秩，把 3 阶对称矩阵分成几种类型，然后对每一种类型的 3 阶对称矩阵，求出与它可交换的所有 3 阶反对称矩阵。首先给出一个命题如下。命题 3 设 A= a b c b d e c d f ┇ 0。令 C 与 D 分别是 A 的导出矩阵与次导出矩阵，则（1）rank（D）≤2 且 rank（D）≤rank（C）；（2）若 rank（D）=1，则 b，c，e 这三个数中只有一个不等于零；（3）若 rank（C）<2，则 rank（C）=0，即 C是零矩阵；（4）若 rank（C）=2 且 rank（D）=0，则 a，d，f 这三个数中只有两个相等；（5）若 rank（C）=2 且 rank（D）=1，则当 b≠0 时，有（f-a）（f-d）=b2；当 c≠0 时，有（d-a）（d-f）=c2；当 e≠0 时，有（a-d）（a-f）=e2。（6）若 rank（C）=2 且 rank（D）=2，则 b，c，e 全不为零，并且 a b - c e = d b - e c ， a c - b e = f c - e b ， b c - d e = c b - f e 。证明（1）根据前面的讨论，A 的次导出矩阵为 D= b c 0 b 0 -e 0 c e 0 0。容易计算，行列式 |D|等于零，所以 rank（D）≤2。其次，由于 D 的每一个子式是 C 的一个子式，因此 rank（D）≤rank（C）。（2）已知 rank（D）=1，那么 b，c，e 中至少有一个不等于零，并且 D 的任意两行对应元素成比例。于是当 b≠0 时，由 D 的前两行可见，c=e=0。当 c≠0 时，由 D 的第 1 行和第 3 行可见，b=e=0。当 e≠0 时，由 D 的后两行可见，b=c=0。（3）已知 rank（C）<2，那么由（1），有 rank（D）< 2。如果 rank（D）=1，根据（2），b，c，e 这三个数中只有一个不等于零。不妨设 b≠0，那么 C= b 0 0 b 0 0 0 0 0 a-d 0 0 0 f-a -b 0 b d-f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 （ii） 2 注意到 rank（C）<2，因此 C 的任意两列对应元素成比例。于是由 C 的前两列可见，b=0。这与 b≠0 矛盾。此矛盾表明，rank（D）=0，即 b，c，e 全为零。现在，用数 0 代替（ii）式中的 b，并注意到 rank（C）<2，我们看到，a-d，f-a，d-f 这三个数中至少有两个等于零。不妨设 a-d=0 且 f-a=0，那么 d=a 且 f=a，所以 d-f=0。这就证明了，C 是零矩阵。（4）已知 rank（C）=2 且 rank（D）=0，那么 b，c，e 全为零，并且 a-d，f-a，d-f 这三个数中有一个等于零，另两个不等于零，所以 a，d，f 这三个数中只有两个相等。（5）已知 rank（D）=1。根据（2），b，c，e 这三个数中只有一个不等于零。当 b≠0，C 就是（ii）式中的矩阵。又已知 rank（C）=2，那么由 C 的第 1，5，6 行组成的行列式等于零，所以 b[（f-a）（d-f）+b2]=0。再加上 b≠0，因此（f-a）（f-d）=b2。类似地，可证另外两种情形。（6）已知 rank（D）=2，那么 b，c，e 这三个数中至少有两个不等于零。不访设 b≠0 且 c≠0，那么 bc2≠0。又已知 rank（C）=2。如果e=0，那么由A的导出矩阵 C= b c 0 b 0 -e 0 c e a-d -e -c e f-a -b c b d-f ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ 的第 2，3，4 行组成的行列式，其值等于零，即 b 0 -e 0 c e a-d -e -c =0（其中e=0），所以-bc2=0。这与bc2≠ 0 矛盾，因此b，c，e全不为零。再由 rank（C）=2 可见，由C的第 1，3，4 行、第 2，3，5 行和第 1，2，6 行组成的三个行列式，其值都等于零，即 b c 0 0 c e a-d -e -c =0， b 0 -e 0 c e e f-a -b =0， b c 0 b 0 -e c b d-f =0。对于这三个行列式，把第i个按第i列展开（i=1，2， 3），得 b（e2-c2）+ce（a-d）=0， c（e2-b2）-be（f-a）=0， e（b2-c2）-bc（d-f）=0。现在，用bce去除这三个等式两边，并整理，得 a b - c e = d b - e b ， a c - b e = f c - e b ， b c - d e = c b - f e 。利用命题 3，可以对 3 阶对称矩阵进行分类。一般地，如果一个对称矩阵A的阶数为n，它的导出矩阵的秩为r，次导出矩阵的秩为r1，那么我们称（n， r，r1）为A的型。于是由命题 3 可见，数域F上全体 3 阶对称矩阵一共可以分成下列七种类型：（3，0，0），（3，2，0），（3，2，1），（3，2，2），（3，3，0），（3，3，1），（3，3，2）。假定 A= a b c b d e c d f ≠ ≠是一个 3 阶对称矩阵。如果 A 的型是（3，0，0），那么它的导出矩阵 C 是零矩阵，所以 b=c=e=0，并且 a-d=0，f-a=0，d-f=0。由此可见，a=d=f，因此 A=aI，即 A 是一个纯量矩阵，这里 I 是 3 阶单位矩阵。如果 A 的型是（3，2，0），根据命题 3（4），A 是一个对角矩阵，其主对角线上元素只有两个相等。如果 A 的型是（3，2，1），根据命题 3（2）和命题 3（5），A 具有下列三种形状之一： a b 0 b d 0 0 0 f ≠ ≠，b≠0 且（f-a）（f-d）=b2； a 0 c 0 d 0 c 0 f ≠ ≠，c≠0 且（d-a）（d-f）=c2； a 0 0 0 d e 0 e f ≠ ≠，e≠0 且（a-d）（a-f）=e2。如果 A 的型是（3，2，2），根据命题 3（6），A 的元素 b，c，e 全不为零，并且 a b - c e = d b - e c ， a c - b e = f c - e b ， b c - d e = c b - f e 。此外，仿照命题 3，不难验证，如果 A 的型是（3，3，0），那么 A 是一个对角矩阵，其主对角线上元素互不相同。如果 A 的型是（3，3，1），那么它具有下列三种形状之一： a b 0 b d 0 0 0 f ≠ ≠，b≠0 且（f-a）（f-d）≠b2； a 0 c 0 d 0 c 0 f ≠ ≠，c≠0 且（d-a）（d-f）≠c2； a 0 0 0 d e 0 e f ≠ ≠，e≠0 且（a-d）（a-f）≠e2。如果 A 的型是（3，3，2），那么 A 具有下列四种形状之一： a b c b d 0 c 0 f ≠ ≠， a b 0b d e 0 e f ≠ ≠， a 0 c0 d e c e f ≠ ≠， a b cb d e c e f ≠ ≠， 3 其中 bce≠0，并且对于前三个矩阵，a，d，f 是数域 F 中的任意数，对于最后一个矩阵，下列三个等式至少有一个不成立： a b - c e = d b - e c ， a c - b e = f c - e b ， b c - d e = c b - f e 。现在，让我们对每一种类型的 3 阶对称矩阵，求出与它可交换的所有 3 阶反对称矩阵。仍然假定A= a b c b d e c e f 0 0是数域F上的一个 3 阶对称矩阵。如果A的型是（3，0，0），那么A是一个纯量矩阵，所以数域F上每一个 3 阶反对称矩阵都与 A可交换。如果A的型是（3，2，0），那么A的导出矩阵为 C= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a-d 0 0 0 f-a 0 0 0 d-f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 其中 a-d，f-a，d-f 这三个数中有一个等于零，另两个不等于零。于是当 a-d=0 时，齐次线性方程组 CX=0 的解为 x=k，y=z=0，其中 k 是数域 F 中的任意数。根据命题 2，与A可交换的所有 3 阶反对称矩阵为B= 0 k 0 -k 0 0 0 0 0 0 0，坌k∈F。类似地，当 f-a=0 或 d-f=0 时，有 B= 0 0 k 0 0 0 -k 0 0 0 0或 B= 0 0 00 0 k 0 -k 0 0 0，坌k∈F。如果 A 的型是（3，2，1），那么 rank （C）=2 且 rank（D）=1。根据命题 3（2）和命题 3（5），当 b≠0，A 的导出矩阵 C 就是（ii）式中的矩阵，所以由 C 的第 1 行和第 5 行组成的矩阵，即 b 0 00 f-a -b0 0，其秩也等于 2。于是方程组 CX=0 与下列方程组同解： bx=0，（f-a）y-bz=0。因而其解为 x=0，y=kb，z=k（f-a），坌k∈F。根据命题 2，与 A 可交换的所有反对称矩阵为 B= 0 0 kb 0 0 k（f-a） -kb -k（f-a） 0 0 0，坌k∈F。类似地，当 c≠0 或 e≠0 时，有 B= 0 k（d-f） 0 -k（d-f） 0 -kc 0 kc 0 0 0，坌k∈F （iii）或 B= 0 ke k（a-d） -ke 0 0 -k（a-d） 0 0 0 0，坌k∈F。如果A的型是（3，2，2），那么 rank（C）=rank（D） =2。根据命题 3（6），b，c，e全不为零，所以由D的前两行组成的矩阵，即 b c 0b 0 -e0 0，其秩也等于 2。于是方程组CX=0 与下列方程组 bx+cy=0， bx-ez=0 同解，因而其解为 x= kb ，y=- kc ，z= ke ，坌k∈F。根据命题 2，与 A 可交换的 3 阶反对称矩阵为 B= 0 kb - k c - kb 0 k e k c - k e 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 ，坌k∈F （iv）如果 A 的型是（3，3，0），（3，3，1）或（3，3，2），那么 rank（C）=3，所以方程组 CX=0 只有零解，因此与 A 可交换的反对称矩阵只能是 3 阶零矩阵。例 1 设 A1= 5 0 -6 0 1 0 -6 0 10 0 0且 A2= 2 1 31 2 3 3 3 10 0 0，并设 A3= 2 3 0 3 5 0 0 0 7 0 0，则 A1，A2，A3 都是 3 阶对称矩阵，它们的导出矩阵分别为 C1= 0 -6 0 0 0 0 0 -6 0 4 0 6 0 5 0 -6 0 -9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，C2= 1 3 0 1 0 -3 0 3 3 0 -3 -3 3 8 -1 3 1 -8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，C3= 3 0 0 3 0 0 0 0 0 -3 0 0 0 5 -3 0 3 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 。容易看出，A1的导出矩阵与次导出矩阵，其秩分别为 2 和 1，所以 A1的型为（3，2，1）。根据公式（iii），在数域 F上，与 A1可交换的所有 3 阶反对称矩阵为 0 k（1-10） 0 -k（1-10） 0 -k（-6） 0 k（-6） 0 0 0，即 0 -9k 09k 0 6k 0 6k 0 0 0，坌k∈F。其次，不难计算，A2 的导出矩阵与次导出矩阵，其秩都是 2，所以 A2的型为（3，2，2）。根据公式（iv），在数域 F上，与 A2可交换的所有 3 阶反对称矩阵为 0 k - k3 -k 0 k3 k 3 - k 3 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 ，坌k∈F。再次，注意到 C3是列满秩的，因此齐次线性方程组 C3X=0 只有零解。根据命题 2，与 A3 可交换的 3 阶反对称矩阵只能是 3 阶零矩阵。（下转第 8页） 4 参考文献： [1]张禾瑞，等 . 高等代数（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，1999. [2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 . 高等代数（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2003. 〔责任编辑：邱维敦〕 Anti-Symmetric Matrices Which Are Commutative with Symmetric Matrices HUANG Yi-sheng, YAO Hai-lu Abstract： In this paper, we introduce the concepts of the induced matrix and sub-induced matrix of a symmetric matrix, and obtain two equivalent conditions that an n-order symmetric matrix and an n-order anti- symmetric matrix are commutative. At the same time, using the ranks of induced matrix and sub-induced matrix, we give a partition of 3-order symmetric matrices. Moreover, for each class of 3-order symmetric matrices, we find all 3-order anti-symmetric matrices which are commutative with this class of matrices. Key words： symmetric matrix; anti-symmetric matrix; commutativity; induced matrix; subinduced matrix 所以 ∞ t=N2 Σ（|u1（n）-u1*（n）|+|u2（n）-u2*（n）|）≤ V（N2）δ <+∞，故 lim n→∞ （ui（n）-ui*（n））=0，i=1，2。即 lim n→∞ （xi（n）-xi*（n））=0，i=1，2。定理得证。参考文献: [1]陈兰荪 . 数学生态学模型与研究方法 [M]. 北京 : 科学出版社 , 1988. [2]F D Chen. Permanence of a discrete N-species co－ operation system with time delays and feedback control [J]. Appl. Math. Comput， 2007, 186(1):23-29. [3]X X Chen. Periodicity in a nonlinear discrete preda－ tor-prey system with state dependent delays [J]. Nonliear Anal. Ser. B: Real World Appl， 2007, 8(2): 435-446. [4]F D Chen. Permanence and global attractivity of a dis－ crete multispecies Lotka - Volterra competition predator - prey system[J]. Appl. Math. Comput， 2006, 182(1):3-12. [5]F D Chen. Permanence for the discrete mutualism mod－ el with time delays [J]. Math. Compt. Modelling， 2008, 47 (3-4)：431-435. [6]F D Chen. Permanence in a discrete Lotka-Volterra competition model with deviating arguments [J]. Nonliear Anal. Real World Appl， 2008, 9(5):2150-2155. [7]L P Wu, F D Chen， Z Li. Permanence and global attractivity of a discrete Schoener’s competition model with delays[J]. Math. Comput. Modeling， 2009, 49(7-8):1607- 1617. [8]F D Chen, M S You. Permanence for an integrodif－ ferential model of mutualism [J]. Appl. Math. Comput. 2007, 186(1)：30-34. [9]X X Chen. Periodicity in a nonlinear predator-prey system on time scales with state-dependent delays [J]. Ap－ pl. Math. Comput， 2008, 196(1):118-128. 〔责任编辑：邱维敦〕 Permanence and Global Attractivity of a Nonlinear Discrete Co-operation Model SU Qian-qian， ZHANG Na Abstract: This paper studies a class of nonlinear discrete time-delay co-operation model. By using differen－ tial inequality of the relevant conclusions and constructing a suitable Lyapunov functional, sufficient conditions are obtained to ensure the persistent and global attractivity of the system. Key words： nonlinear； discrete； persistence； global attractivity →→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→ （上接第 4页） 8

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