贝塞尔公式[整理版]
样本标准差的
表
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示公式
数学表达式:
, S-标准偏差(%)
, n-试样总数或测量次数,一般n值不应少于20-30个
, i-物料中某成分的各次测量值,1,n; [编辑]
标准偏差的使用方法
, 在价格变化剧烈时,该指标值通常很高。
, 如果价格保持平稳,这个指标值不高。
, 在价格发生剧烈的上涨/下降之前,该指标值总是很低。
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标准偏差的计算步骤
标准偏差的计算步骤是:
2 步骤一、(每个样本数据 , 样本全部数据之平均值)。
步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)(“n”指样本数目)。
步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。
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[1]六个计算标准偏差的公式 [编辑]
标准偏差的理论计算公式
设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l、l、„„l。令12n测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有 σ = l ? X 1i
σ = l ? X 22
„„
σ = l ? X nn
我们定义标准偏差(也称标准差)σ为
(1)
由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
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标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式
由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值
来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值l与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)V来代ii替真差σ , 即
设一组等精度测量值为l、l、„„l 12n
则
„„
通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为
将上式代入式(1)有
(2)
式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时,
,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为
了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为
(2')
在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有
于是, 式(2')可写为
(2")
按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。
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标准偏差σ的无偏估计
2 数理统计中定义S为样本方差
222 数学上已经证明S是总体方差σ的无偏估计。即在大量重复试验中, S围2绕σ散布, 它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计, 也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为
(3)
令
则
即S和S仅相差一个系数K,K是与样本个数测量次数有关的一个系数, K1σσ
值见表。 σ
计算K时用到 σ
Γ(n + 1) = nΓ(n)
Γ(1) = 1
由表1知, 当n>30时, 。因此, 当n>30时, 式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。在n=30,50时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时, 由于K值的影响已不可忽略, 宜用式(3'), 求标准偏差。这时σ
再用贝塞尔公式显然是不妥的。
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标准偏差的最大似然估计
将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到
(4)
式(4)适用于n>50时的情况, 当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。
2.5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大, 不宜现场采用, 而极差估计的方法则有运算简便, 计算量小宜于现场采用的特点。
极差用"R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。
若对某量作次等精度测量测得l、,且它们服从正态分布, 则 1
R = l ? l maxmin
概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为
(5)
S称为标准偏差σ的无偏极差估计, d为与样本个数n(测得值个数)有关的32
无偏极差系数, 其值见表2
由表2知, 当n?15时,, 因此, 标准偏差σ更粗略的估计值为
(5')
还可以看出, 当200?n?1000时,因而又有
(5")
显然, 不需查表利用式(5')和(5")了即可对标准偏差值作出快速估计, 用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。
应指出,式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低, 但当5?n?15时,式(5)不仅大大提高了计算速度, 而且还颇为准确。当n>10时, 由于舍去数据信息较多, 因此误差较大, 为了提高准确度, 这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差R、, 再由各组极差求出极差平均值。 1
极差平均值和总体标准偏差的关系为
需指出, 此时d大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查2
表2。再则, 分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。
编辑][
标准偏差σ的平均误差估计
平均误差的定义为
误差理论给出
(A)
可以证明与的关系为
(证明从略)
于是 (B)
由式(A)和式(B)得
从而有
式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用该公式估计δ值, 由于\right|V\right|不需平方,故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。
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[1]标准偏差的应用实例
对标称值R = 0.160 < math > μm < math > 的一块粗糙度样块进行检定, a
顺次测得以下15个数
据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1
.74和1.63μm, 试求该样块R的平均值和标准偏差并判断其合格否。 n
解:1)先求平均值
2)再求标准偏差S
若用无偏极差估计公式式(5)计算, 首先将测得的, 15个数据按原顺序分为三组, 每组五个, 见表3。
表3
组号 l_1 l_5 R
1 1.48 1.65 1.60 1.67 1.52 0.19
2 1.46 1.72 1.69 1.77 1.64 0.31
3 1.56 1.50 1.64 1.74 1.63 0.24
因每组为5个数据, 按n=5由表2查得
故
若按常用估计即贝塞尔公式式(2') , 则
若按无偏估计公式即式(3')计算, 因n=15,由表1查得K = 1.018, 则 δ
若按最大似然估计公式即式(4')计算, 则
= 0.09296( < math > μm < math > )
若按平均误差估计公式即式(6), 则
现在用式(5')对以上计算进行校核
可见以上算得的S、S、S、S和S没有粗大误差。 1234
由以上计算结果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062
即 < < SS < S< SS 2143
可见, 最大似然估计值最小, 常用估计值S稍大, 无偏估计值S又大, 平1均误差估计值S再大, 极差估计值S最大。纵观这几个值, 它们相当接近, 最43
。从理论上讲, 用无偏估计值和常用估计比较合适, 在大差值仅为0.01324μm
本例中, 它们仅相差0.0017μ、、和之m。可以相信, 随着的增大, S、SSSS1234间的差别会越来越小。
就本例而言, 无偏极差估计值S和无偏估计值S仅相差0.0083μm, 这说明31
无偏极差估计是既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。
JJG102-89《表面粗糙度比较样块》规定R的平均值对其标称值的偏离不应a
超过+12%,17%, 标准偏差应在标称值的4%,12%之间。已得本样块二产,产均在规定范围之内, 故该样块合格。
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标准偏差与标准差的区别
标准差(Standard Deviation)各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数,它是离差平方和平均后的方根。用σ表示。因此,标准差也是一种平均数。标准差是方差的算术平方根。 标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的,标准差未必相同。
例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.08分,B组的标准差为2.16分,说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 统计学名词。一种量度数据分布的分散程度之标准,用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。标准偏差越小,这些值偏离平均值就越少,反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。