人教版高中数学必修五教案设计全集（56页）

数学备课大师 www.eywedu.net 目录式免费主题备课平台！ 第一章 解三角形 第一课时 1.1.1 正弦定理 教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？ 2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课： 1. 教学正弦定理的推导： ①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sinA= sinB= sinC=1 即c= . ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有 ,则 . 同理， （思考如何作高？），从而 . ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC= . 两边同除以 即得： = = . 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴ ， 同理 =2R， ＝2R. 证明三：（向量法）过A作单位向量 垂直于 ，由 + = 边同乘以单位向量 得….. ④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题： 1 出示例1：在 中，已知 ， ， cm，解三角形. 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边 2 出示例2： . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角 ③ 练习： . 在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边长精确到1cm） ④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？ 3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论. 三、巩固练习： 1.已知 ABC中， A=60°， ，求 . 2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题. 第二课时 1.1.2 余弦定理（一） 教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点：向量方法证明余弦定理. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？ 2. 练习：在△ABC中，已知 ，A=45(，C=30(，解此三角形. →变式 3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？ 二、讲授新课： 1. 教学余弦定理的推导： ① 如图在 中， 、 、 的长分别为 、 、 . ∵ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 即 ，→ ② 试证： ， . ③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 用符号语言表示 ，…等； → 基本应用：已知两边及夹角 ④ 讨论：已知三边，如何求三角？ → 余弦定理的推论： ，…等. ⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？ 2. 教学例题： ① 出示例1：在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A. 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b → 讨论：如何求A？（两种方法） （答案： ， ） → 小结：已知两边及夹角 ②在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形. 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已知两角一边 3. 练习： ① 在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C. ② 在ΔABC中，已知a＝2，b＝3，C＝82°，解这个三角形. 4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边. 三、巩固练习： 1. 在 ABC中，若 ，求角A. （答案：A=120 ） 2. 三角形ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，解三角形. → 变式：求sinBsinC；sinB＋sinC. 3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题. 第三课时 1.1 正弦定理和余弦定理（练习） 教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重点：熟练运用定理. 教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化. 教学过程： 一、复习准备： 1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式. 2. 讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课： 1. 教学三角形的解的讨论： ① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形. (i) A＝ ，a＝25，b＝50 ； (ii) A＝ ，a＝25 ，b＝50 ； (iii) A＝ ，a＝ ，b＝50 ； (iiii) A＝ ，a＝50，b＝50 . 分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？ ② 用如下图示分析解的情况. （A为锐角时） ② 练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况. (i) A＝ ，a＝25，b＝50 ； (ii) A＝ ，a＝25，b＝10 2. 教学正弦定理与余弦定理的活用： ① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角. ② 出示例3：在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，判断三角形的类型. 分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断 结论：活用余弦定理，得到： ③ 出示例4：已知△ABC中， ，试判断△ABC的形状. 分析：如何将边角关系中的边化为角？ → 再思考：又如何将角化为边？ 3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化. 三、巩固练习： 1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且 ，求 的值 2. 在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosA:cosB:cosC＝ . 3. 作业：教材P11 B组1、2题. 第一课时 1.2 应用举例（一） 教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语. 教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题. 教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型. 教学过程： 一、复习准备： 1.在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝2( ＋1)，c＝2 ，则∠A为 . 2.在△ABC中，sinA＝ ，判断三角形的形状. 解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简 二、讲授新课： 1. 教学距离测量问题： ① 出示例1：如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m， BAC= ， ACB= . 求A、B两点的距离(精确到0.1m). 分析：实际问题中已知的边与角？ 选用什么定理比较合适？ → 师生共同完成解答. →讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？ ③ 出示例2：如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法. 分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得 BCA= ， ACD= ， CDB= ， BDA = . 讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？ → 写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下： 在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得 AC= = ， BC = = . 计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB = ④ 练习：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得 BCA=60 ， ACD=30 ， CDB=45 ， BDA =60 . （答案：AB=20 ）. 2. 小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 三、巩固练习： 1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°. A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离. (答案： km) 2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30 ，灯塔B在观察站C南偏东60 ，则A、B之间的距离为多少？（答案： a km） 3. 作业：教材P14 练习1、2题. 第二课时 1.2 应用举例（二） 教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题. 教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题. 教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？ 2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？ 二、讲授新课： 1. 教学高度的测量： ① 出示例1：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法. 分析：测量方法→ 计算方法 师生一起用符号表示计算过程与结论. AC= ，AB= AE+h=AC +h= +h. ② 练习：如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角 =54 ，在塔底C处测得A处的俯角 =50 . 已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m) ③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15 的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25 的方向上,仰角为8 ,求此山的高度CD. 分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？ 分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答. 解答:在 ABC中, A=15 , C= 25 -15 =10 ,根据正弦定理, = , BC = = ≈7.4524(km)，CD=BC tan DBC≈BC tan8 ≈1047(m). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高. 解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念 3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）. 三、巩固练习： 1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30 ，测得塔基B的俯角为45 ，则塔AB的高度为多少m？ 答案：20+ (m) 2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米） 3. 作业：P17 练习1、3题. 第三课时 1.2 应用举例（三） 教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 教学重点：熟练运用定理. 教学难点：掌握解题分析方法. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？又如何测量两个不可到达点的距离？ 如何测量底部不可到达的建筑物高度？与前者有何相通之处？ 2. 讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？ 通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题 二、讲授新课： 1. 教学角度的测量问题： ① 出示例1：甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10( ＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角. 分析：根据题意，如何画图？ →解哪个三角形？用什么定理？如何列式？ → 学生讲述解答过程 （答案： ） → 小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？ ② 练习：已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°，甲船自A以50海里／小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？ 画出图形，并标记已知和要求的 →解哪个三角形？用什么定理解？如何列式？ ③ 出示例2：某巡逻艇在A处发现北偏东45 相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75 的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 分析:如何画出方位图？ → 寻找三角形中的已知条件和问题？ → 如何解三角形. → 师生共同解答. （答案：北偏东83 方向；1.4小时） ④ 练习：某渔轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？ 2. 小结： （1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 三、巩固练习： 1. 我舰在敌岛A南偏西 相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西 的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ 2. 某时刻A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？ 3. 作业：教材P22 习题1.2 A组 2、3题. 第四课时 1.2 应用举例（四） 教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式. 教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明. 教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：接触过哪些三角形的面积公式？ 2. 讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？ 二、讲授新课： 1. 教学面积公式： ① 讨论： ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h 、h 、h ，那么它们如何用已知边和角表示？ → 如何计算三角形面积？ ② 结论：三角形面积公式，S= absinC，S= bcsinA, S= acsinB ③ 练习：已知在 ABC中， B=30 ,b=6,c=6 ,求a及 ABC的面积S. （解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数） ④ 出示例1：在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm ）？ 分析：由已知条件可得到什么结论？ 根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？ → 师生共同解答. → 小结：余弦定理，诱导公式，面积公式. → 讨论：由三边如何直接求面积？（海仑公式） 2. 教学恒等式证明： ① 讨论：射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA. 分析：如何证明第一个式子？ 证一：右边= = 左边 证二：右边 = 2RsinBcosC + 2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2RsinA= a = 左边 → 学生试证后面两个. ② 出示例2：在 ABC中，求证： （1） （2） + + =2（bccosA+cacosB+abcosC） 分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？ 3. 小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”. 三、巩固练习： 1. 在△ABC中，若 ，判断△ABC的形状. （两种方法） 2. 某人在M汽车站的北偏西20 的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶. 公路的走向是M站的北偏东40 . 开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（15千米） 3. 作业：教材P24 14、15题. 第二章 数列 第一课时 2.1.1 数列的概念与简单表示法（一） 教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式. 教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用. 教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式. 教学过程： 一、复习准备： 1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“ ”，再取一半还剩“ ”，、、、、、、，如此下去，即得到1， ， ， ，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数. 二、讲授新课： 1. 教学数列及其有关概念： ① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. ② 数列中排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第 位的数称为这个数列的第 项. ③ 数列的一般形式可以写成 ，简记为 . ④ 数列的分类：有穷数列与无穷数列，递增数列、递减数列、常数列与摆动数列. 2. 教学数列的表示方法： 3 讨论下列数列中的每一项与序号的关系： 1， ， ， ，、、、； ，、、、； ，、、、. （数列的每一项都与序号有关，即数列可以看成是项数与项之间的函数.） ② 数列的通项公式：如果数列的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. （作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.） ③ 数列的表示方法：列表法、图象法、通项公式法. 3. 例题讲解： 例、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ①0.5，0.5，0.5，、、、②1，－1,1，－1，、、、（可用分段函数表示）③－1， ，－ ， ，、、、 思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？ 4. 小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用. 三、巩固练习： 1. 练习：、根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 7, 9, 11,……；(2) , , , , , ……；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；(5) 2, －6, 18, －54, 162, ……. 2. 作业：教材P38页　第1①②、2题 第二课时 2.1.2 数列的概念与简单表示法（二） 教学要求：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与 的关系. 教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项. 教学难点：理解递推公式与通项公式的关系. 教学过程： 一、复习准备： 1. 复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法. 2. 提问：已知数列 满足 ，能写出这个数列的前5项吗？（学生讨论 个别回答 教师点评） 二、讲授新课： 1. 教学数列的递推公式： ① 提问：在上述问题中，虽然没有直接告诉这个数列的每一项，但是仍可根据已知条件写出前5项，这种方法是否也是数列的一种表示方法？这种表示法与数列的通项公式有什么关系呢？ 4 数列的递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 如：数列3，5，8，13，21，34，55，89的递推公式为： . ③ 数列的表示法：列表法、图象法、通项公式法、递推公式法. 2. 例题讲解： 例1、已知数列 的首项 ，求出这个数列的第5项.（学生口答） 例2、已知 ， 写出前5项，并猜想 ．（学生练 教师点评） 思考题、已知数列 为 ，试写出这个数列的一个递推公式，再根据递推公式写出它的通项公式. 3. 小结：我们可根据数列的递推公式写出这个数列的前几项，继而结合前几项的特征写出它的一个通项公式，即由递推公式可到通项公式，也可反过来，由数列的通项公式写出它的一个递推公式. 通项公式和递推公式都有可能不是唯一存在的. 三、巩固练习： 1. 练习：根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式： (1) ＝0, ＝ ＋(2n－1) (n∈N)；(2) ＝3, ＝3 －2 (n∈N). 2. 教材P39页　B组　第3题 3. 作业　教材P38－P39页　A组　第4题、第6题 第三课时 2.2.1 等差数列（一） 教学要求：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式. 教学难点：等差数列的性质. 教学过程： 一、复习准备： 1. 练习：已知数列 满足 ＝1, ＝ (n∈N)，写出它的前5项并归纳出它的通项公式. 2. 观察数列，找出它们的共同特征：① 、、、；② 、、、；③10072，10144，10216，10288，10366，、、、；④ 、、、. 二、讲授新课： 1. 教学等差数列的概念： ① 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）. 如： 、、、是恒为0的常数数列，也是公差为0的等差数列；而 、、、和1,3，4,5，6,7，、、、就不是等差数列. 2. 教学等差数列的通项公式： 【或 EMBED Equation.3 （变式： ）】 3. 例题讲解： 例1、求等差数列0，－3 ，－7，……的通项公式，并判断－20是不是这个等差数列的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.（教师引导 学生练 教师点评） 练：100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 例2、已知数列{ }的通项公式 ，其中 、 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 注：数列{ }为等差数列的充要条件是它的通项公式为 ，此式又称为等差数列的第3通项公式. 例3、在等差数列{ }中，若 + =9, =7, 求 , . 结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则， 4. 小结：等差数列的概念、通项公式，等差数列的性质及其应用. 三、巩固练习： 1. 在等差数列 中，已知 ， ，求首项 、公差 及 . 2. 作业：教材P46页　A组第1题③④ 第四课时 2.2.2 等差数列（二） 教学要求：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；并能运用所学知识解决一些生活中的等差数列. 教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用. 教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 教学过程： 一、复习准备： 1. 练习：在等差数列 中, 若 ， 求公差 及 . 2. 提问：如果三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角是多少度？ 二、讲授新课： 1. 教学等差中项的概念： 如果在 与 中间插入一个数A，使 ，A， 成等差数列数列，那么A应满足什么条件？ 由定义得A- = -A ，即： ；反之，若 ，则A- = -A. 由此可可得： 成等差数列. 例1：求下列两个数的等差中项① ；② . 2. 生活中的等差数列： 例2、某市居民生活用水的计费标准如下：若居民在某月用水量不超过5吨，则统一收取水费6元，否则超过部分则按1.35元/吨的标准收取水费. 如果己知某户居民该月用水量为18吨，问他此月需支付多少水费？（学生自练 学生演板 教师点评） 例3、某地区1997年底沙漠面积为 . 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在年底将观测结果记录如下表： 观测年份 该地区沙漠面积比原有面积增加数 　　　　　　　 　1998 　　　　　　2000 　1999 　　　　　　4000 　2000 　　　　　　6001 　2001 　　　　　　7999 　2002 　　　　　　10001 请根据上表所给的信息进行预测. （1）如果不采取任何措施，到2010年底，这个地区的沙漠面积将大约变为多少 ？ （2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造8000 沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于 ？ 3. 小结：等差中项的概念，等差数列的公差、首项、项数及通项公式间的关系，等差数列的性质及其应用. 三、巩固练习： 1. 有30根水泥电线杆，要运往1000m远的地方开始安装，在1000m处放一根，以后每50m放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少km？　　 2. 作业：教材P46　　　第4、5题 第五课时 2.3.1 等差数列的前 项和（一） 教学要求：掌握等差数列前 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前 项和公式解决一些简单的与前 项和有关的问题. 教学重点：等差数列前 项和公式的理解、推导及应用. 教学难点：灵活运用等差数列前 项公式解决一些简单的有关问题. 教学过程： 一、复习准备： 1. 复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质. 2. 提问：小明喜欢摆积木，幼儿园的老师给他布置了这样一个任务，要求他将一堆形状规则的正方形积木摆放“整齐”，最下面一层摆13个，往上一层摆11个，再往上一层摆9个，、、、依次往上，当摆到第6层时，问需要几个这样的正方形积木？如果已知小明将老师给的积木全部摆完时，最上层的积木恰有3个，你能说出老师总共给了多少个这样的小正方形积木给小明吗？ 二、讲授新课： 1. 教学等差数列前 项和公式： ① 等差数列前 项和的定义：一般地，我们称 为数列 的前 项和，用 表示，即 . ② 等差数列前 项和公式： 或 .（实际解题时根据题目给出的已知条件选择合适的方法来解决） 2. 例题讲解： 例1、等差数列 的前 项和为 ，若 ，求 . （学生练 学生板书 教师点评及规范） 练习：⑴在等差数列 中，已知 ，求 .　⑵在等差数列 中，已知 ，求 . 例2、已知数列 的前 项和为 ，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 【结论】数列 的前 项和 与 的关系： 由 的定义可知，当n=1时， = ；当n≥2时， = - ，即 = . 例3、在等差数列 中，已知 ，求 . 结论：等差数列中 ，成等差数列. （推广：等差数列中 成等差数列.） 3. 小结：等差数列前 项和的定义、公式，性质及其应用. 三、巩固练习： 1. 练习：教材P52页　　第1题 2. 作业： 教材　　P52－P53页　　A组　第2、3题　 第六课时 2.3.2 等差数列的前 项和（二） 教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值. 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式. 教学难点：灵活应用求和公式解决问题. 教学过程： 一、复习准备： 练习：已知数列 的前 项和 ，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 二、讲授新课： 1. 探究：一般地，如果一个数列 的前n项和为 ，其中p、q、r为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ （是， ， ）. 由此，等差数列的前 项和公式 可化成式子： ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式. 2. 教学等差数列前 项和的最值问题： ① 例题讲解： 例1、数列 是等差数列， . （1）从第几项开始有 ；（2）求此数列的前 项和的最大值. 结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）当 >0，d<0，前n项和有最大值可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值；当 <0，d>0，前n项和有最小值可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值.（2）由 利用二次函数配方法求得最值时n的值. 练习：在等差数列{ }中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{ }的前n项和 的最小值. 例2、有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取. 它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额 . 若某人每月初存入100元，月利率5.1%。，到第12个月底的本利和是多少？若每月初存入一笔金额，月利率5.1%。，希望到第12个月底取得本利和2000元，那么第月初应存入多少金额？ 3. 小结：等差数列前 项和公式、性质及其应用. 三、巩固练习： 1. 练习：设等差数列{ }的前 项和为 ，且 ， ，（1）求公差 的取值范围；（2） 中哪一个最大，并说明理由. 2. 作业：教材P53页　A组第4题　　B组第1题　 第一课时 5.2.4等比数列（一） 教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。 教学难点： 遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。 教学过程： 1. 复习准备 1. 等差数列的通项公式。 2. 等差数列的前n项和公式。 3. 等差数列的性质。 二.讲授新课 引入：1“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 2细胞分裂模型 3计算机病毒的传播 由学生通过类比，归纳，猜想，发现等比数列的特点 进而让学生通过用递推公式描述等比数列。 让学生回忆用不完全归纳法得到等差数列的通项公式的过程然后类比等比数列的通项公式 注意：1公比q是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。 2当首项等于0时，数列都是0。当公比为0时，数列也都是0。 所以首项和公比都不可以是0。 3当公比q=1时，数列是怎么样的，当公比q大于1，公比q小于1时数列是怎么样的？ 4以及等比数列和指数函数的关系 5是后一项比前一项。 列：1，2，（略） 小结：等比数列的通项公式 三.巩固练习： 1.教材P59练习1，2，3，题 2.作业：P60习题1，4。 第二课时 5.2.4等比数列（二） 教学重点：等比数列的性质 教学难点：等比数列的通项公式的应用 2. 复习准备： 提问：等差数列的通项公式 等比数列的通项公式 等差数列的性质 二 .讲授新课 ： 1. 讨论：如果是等差列的三项 满足 那么如果是等比数列 又会有什么性质呢？ 由学生给出如果是等比数列 满足 2练习： 如果等比数列 =4， =16， =？(学生口答) 如果等比数列 =4， =16， =？(学生口答) 3等比中项：如果等比数列 .那么 ， 则 叫做等比数列的等比中项（教师给出） 4思考： 是否成立呢？ 成立吗？ 成立吗？ 又学生找到其间的规律，并对比记忆如果等差列， 5思考：如果 是两个等比数列，那么 是等比数列吗？ 如果是为什么？ 是等比数列吗？引导学生证明。 6思考：在等比数列里，如果 成立吗？ 如果是为什么？由学生给出证明过程。 3. 巩固练习： 列3：一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项 解（略） 列4：略： 练习：1在等比数列 ，已知 那么 2 P61 A组8 四.小结：等比数列的性质 五：作业 P61 A组6，7。 第一课时 2.5等比数列的前n项和 教学要求：探索并掌握等比数列的前n项和的公式； 结合等比数列的通项公式研究等比数列的各量； 在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，能用有关知识解决相应问题。 教学重点：等比数列的前n项和的公式及应用 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导过程。 教学过程： 一、复习准备： 提问： 等比数列的通项公式； 等比数列的性质； 等差数列的前n项和公式； 二、讲授新课： 1. 教学： 思考：一个细胞每分钟就变成两个，那么经过一个小时，它会分裂成多少个细胞呢？ 分析： 公比 ，因为 ，一个小时有60分钟 思考：那么经过一个小时，一共有多少个细胞呢？ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 又因为 所以 ，则 =1152921504 则一个小时一共有1152921504个细胞 2. 练习： 列1（解略） 列2（解略） 在等比数列 中： 已知 求 已知 求 在等比数列 中， ，则 ？ 三、小结：等比数列的前n项和公式 四、作业：P66, 1题 第三章 不等式 第一课时 3.1 不等关系与不等式（一） 教学要求：了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组. 教学重点：从实际问题中找出不等关系. 教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 教学过程： 一、复习准备： 1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？ 2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关 系吗？ 3、用不等式表示，某地规定本地最底生活保障金不底于300元； 二、讲授新课： 1、教学用不等式表示不等关系 ① 在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系. ② 举例：例如：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是v≤40. ③ 文字语言与数学符号之间的转换. 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 > 至多 ≤ 小于 < 至少 ≥ 大于等于 ≥ 不少于 ≥ 小于等于 ≤ 不多于 ≤ ④ 实数的运算性质与大小顺序之间的关系 对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b是正数;如a