有限差分法分析波导特性

毕业设计（论文）任务 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf （2012 届） 设计（论文）题目 有限差分法分析波导特性 学院名称 电子科学与应用物理学院 专 业 （班 级） 微电子08级1 班 姓 名 （学 号） 刘 义 珩（20084681） 指 导 教 师 杜 平 __ __ 目录 1 前言 5 1.1 波导理论 5 1.2 波导材料的具体形式 5 2 有限差分法的基本原理 7 2.1 有限差分法 7 2.2 有限差分法的发展与应用 9 2.3 有限差分法的特点 11 3 有限差分法矩阵的边界条件处理与截止频率 13 3.1 边界条件及处理 13 3.2 矩形波导的截止频率 18 4 总结 27 5 致谢 28 6 参考文献 29 有限差分法分析波导特性 摘要：波导不仅是指空金属管，同时也包括其他波导形式如脊形波导、椭圆波导、介质波导等；还包括双导线、同轴线、带状线、微带和镜像线、单根表面波传输线等。如不附加说明，一般说到波导就是指空心金属管。根据波导横截面的形状不同，可分为矩形波导、圆波导等。尽管已存在很多不同波导形式，且新的形式还不断出现，但直到目前，在实际应用中矩形波导和圆波导仍是两种最主要的波导形式。 第二章主要介绍了有限差分法的基本原理及特点，为后续波导特性研究过程中的使用做出铺垫。 第三章主要介绍了矩形波导边界条件的处理及截止频率的计算以及发现的问题。 本文主要分析了矩形波导和圆波导截止频率特性以及用MATLAB实现了有限差分法解静电场边值问题的算法，将偏微分方程的问题化为线性方程组问题。 关键词：有限差分法 波导 截止频率 MATLAB Abstract Waveguide is not only refers to empty metal tubes, and also includes other waveguide forms such as ridge form bird, elliptic waveguide, medium waveguide, etc.; Also include double wire, with axis, ribbon line, microstrip line, single and mirror surface wave transmission lines, etc. If not add that general said to waveguide is refers to the hollow tube. According to the shape of the cross section waveguide is different, can be divided into a rectangular waveguide, the circular waveguide, etc. Although there are many different waveguide has form, and the new form also appear constantly, but until now, in the actual application of a rectangular waveguide and the circular waveguide is still are two of the most major waveguide form. The second chapter introduces the finite difference method for basic principle and characteristics of, for the following characteristics in the process of research using waveguide made matting. The third chapter basically introduces a rectangular waveguide the treatment of boundary conditions and the cut-off frequency of the calculation and the problems found. This paper mainly analyzes the rectangular waveguide and the circular waveguide cut-off frequency characteristics and MATLAB finite difference method for the solution of the static courtside value problem algorithm, the problem of partial differential equation to a linear equations. Keyword: Finite difference method waveguide Cut-off frequency 1 前言 1.1 波导理论 波导是用来引导电磁波在有限空间中传播，使电磁波不至于扩散到漫无边际的空间中去的结构的总称。在各类电子设备中，电磁能量的传递是通过传输线进行的。电磁能量是以电磁波的形式在传输线中传播的。也就是说，传输线是用来引导电磁波做定向传播的一种导波结构，所以，传输线又可以成为波导。在传输线引导下定向传播的电磁波被称为导行电磁波，简称为导波。研究导行电磁波在波导中的传播，就是求解电磁波在波导横截面上的分布规律及其沿轴向的传播特性。 波导的种类很多，在工程中常见的有平行双线传输线、同轴线、圆波导、矩形波导、微带、介质波导、脊波导等等，如图所示。 1.2 波导材料的具体形式 最普通的波导形式是一种用来约束或引导电磁波的结构。通常，波导专指各种形状的空心金属波导管和表面波波导，前者将被传输的电磁波完全限制在金属管内，又称封闭波导；后者将引导的电磁波约束在波导结构的周围，又称开波导。当无线电波频率提高到3000兆赫至 300吉赫的厘米波波段和毫米波波段时，同轴线的使用受到限制而采用金属波导管或其他导波装置。波导管的优点是导体损耗和介质损耗小；功率容量大；没有辐射损耗；结构简单，易于制造。波导管内的电磁场可由麦克斯韦方程组结合波导的边界条件求解，与普通传输线不同，波导管里不能传输 TEM模，电磁波在传播中存在严重的色散现象，色散现象说明电磁波的传播速度与频率有关。表面波波导的特征是在边界外有电磁场存在 。其传播模式为表面波。在毫米波与亚毫米波波段，因金属波导管的尺寸太小而使损耗加大和制造困难。这时使用表面波波导，除具有良好传输性外，主要优点是结构简单，制作容易，可具有集成电路需要的平面结构。表面波波导的主要形式有：介质线、介质镜像线、H-波导和镜像凹波导。 波导（waveguide）用来引导电磁波的结构。因此，在广义的定义下，波导不仅是指空金属管，同时也包括其他波导形式如脊形波导、椭圆波导、介质波导等；还包括双导线、同轴线、带状线、微带和镜像线、单根表面波传输线等（下图）。如不附加说明，一般说到波导就是指空心金属管。根据波导横截面的形状不同，可分为矩形波导、圆波导等。尽管已存在很多不同波导形式，且新的形式还不断出现，但直到目前，在实际应用中矩形波导和圆波导仍是两种最主要的波导形式。 电磁波在波导中的传播受到波导内壁的限制和反射。波导管壁的导电率很高（一般用铜、铝等金属制成，有时内壁镀有银或金），通常可假定波导壁是理想导体，波导管内的电磁场分布可由麦克斯韦方程组结合波导的边界条件来求解。波导管内不能传输TEM波，电磁波在波导中的传播存在着严重的色散现象。波导中可能存在无限多种电磁场的结构或分布，每一种电磁场的分布称为一种波型（模式），每一种波型都有对应的截止波长和不同的相速。横截面均匀的空心波导称为均匀波导，均匀波导中电磁波的波型可分为电波（TM模）和磁波（TE 模）两大类。 矩形波导 矩形波导中可以存在无限多个 TMmn 模，波型指数m，n分别表示电磁场沿波导宽边a和窄边b 的驻波最大值的个数，m，n=1，2，… 最简单的是TM11模。同样，还可以存在无限多个 TEmn模，m，n=0，1，2,…但不能同时为零。矩形波导中的最低模式是TE10模，其截止波长最长λC=2a，因此，就有可能在波导中实现单模传输。TE10模又称为矩形波导中的主波，是矩形波导中最重要的波型。实际应用中矩形波导都工作在TE10模。 圆波导 圆波导中也可以存在无限多个TMmn和TEmn模，m，n分别表示场沿圆周和径向的变化次数。圆波导中只存在TM0n，TMmn（m，n=1，2，…），TE0n和TEmn（m，n=1，2,…）模。圆波导中截止波长最长的主波是TE11模，其截止波长λc=3. 14a（a 为波导半径）。常用的模式还有TM01和TE01模 2 有限差分法的基本原理 经典场的边值问题在数学上表达为泊松方程和拉普拉斯方程，但解偏微分方程往往是困难的。幸而很多时候对于具体问题我们需要的不是解析解，而是数值解，所以可以考虑用连续变量离散化的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 求出数值解,在足够的精度上进行逼进,这就引出了有限差分法 2.1 有限差分法 有限差分法： 微分： 用有限的h代替，使得 差分的种类： 一阶差分： 或者 或者 二阶差分： 设 为空间电势的函数 泊松方程 使用二阶差分代替泊松方程中的拉普拉斯算符，有： 表示分别对三个变元求差分之和，以下相同矩阵（数组）是计算机中重要的数据结构，为了方便用矩阵去存储数据，我们网格去划分空间，从而不仅使方程化为简单的有限差分形式，而且这样的数据类型在计算机中易于储存和运算。那么h=k=l=1，并且令 就有 这就是泊松方程的有限差分形式，以下估计该方程的精度： 由泰勒 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，易知有以下结果： 若考虑离散的点： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 上述六式相加： 代入 由于所有的奇次项被抵消，所以方程： (1) 式的精度为三阶，四阶及更高阶项被略去。 若满足 有 此即拉普拉斯方程的有限差分形式。 这里，我们通过有限差分的方法，把偏微分方程在三阶精度下简化为形式易于计算的代数方程。从而使之易于在计算机上实现。 注：有时我们需要解二维静电场，则方程退化为： 即 2.2 有限差分法的发展与应用 经过四十多年的发展，有限差分法已发展成为一种成熟的数值计算方法。在发展过程中，几乎都是围绕几个重要问题展开的，即数值稳定性、计算精度、数值色散、激励源技术以及开域电磁问题的吸收边界条件等。 数值稳定和计算精度对任何一种数值计算方法都是至关重要的。A.Taylor和M.E.Brodwin利用本征值方法给出了直角坐标系下有限差分法的空间步长与时间步长之间的关系。X.Min等研究了存在边界条件时有限差分法的稳定性问题。对于数值色散，与实际的物理色散不同，它是由电磁场量在空间和时间上的对波动方程作差分近似处理造成的。这种色散引起的误差造成在计算区域内传播的电磁波逐渐畸变。K. L. Shlager 等比较了二维和三维空间中几种正交网格算法的色散误差。当采用其他变形或非正交网格时，必须重新分析其数值稳定性和色散特性，P.Monk 和 E.Suli分析了不均匀长方体网格算法的稳定性。 激励源的设计和引入也是有限差分法的一个重要任务。目前，应用最广泛的激励源引入技术是总场/散射场体系[13]。对于散射问题，通常在有限差分法计算空间中引入连接边界，它将整个计算空间划分为内部的总场区和外部的散射场区，如图1-1。利用Huygens原理，可以在连接边界处引入入射场，使入射场的加入变得简单易行。 图1-1 开域电磁问题中，为了在有限的计算空间内模拟无限空间中的电磁问题，必须在计算空间的截断边界处设置吸收边界条件。吸收边界条件从开始简单的插值边界，已经发展了多种吸收边界条件。在早期得到广泛应用的是G.Mur的一阶和二阶吸收边界条件，它是基于B.Engquist和A.Majda的单向波方程而提出的差分 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 ，在有限差分法仿真区域外边界具有0.5%到5%的反射系数。目前应用最广泛的是J.P.Berenger的分裂式完全匹配层，以及Z.S.Sacks等和S.D.Gedney的各向异性介质的完全匹配层，它们可使FDTD模拟的最大动态范围达到80dB。 另一方面，为了更好的拟合研究对象的形状，克服台阶逼近带来的误差，D.E.Merewether提出了柱坐标系下的网格剖分方法，R.Holland提出了球坐标系下的网格剖分方法，P.Monk和E.Suli提出了变网格步长方法，S.S.Zivanovic等和P.Thoma等提出了亚网格技术（即在一般区域采用粗网格，在电磁场快变区域采用精细网格）。利用这些技术，可以更精确地模拟各种复杂的结构，适应各种复杂的介质，提高了复杂介质中数值计算的精度。 时域模拟一般获得的是近场电磁信息，为了得到诸如天线方向图或散射体雷达散射截面之类的远场信息，必须获得计算区域以外的频域场或瞬态场。多位学者在这方面做了许多工作，发展了一种高效的时域近远场变换方法[25-28]。借助这种方法，可以实现由计算区域内近场数据到计算区域外远场数据的外推。目前，粗糙面散射的有限差分法，传递函数在有限差分法中的应用，周期介质、各向异性介质、色散介质和含有集中元件的有限差分法，以及网络并行有限差分法技术等方面也取得了很大进展。 有限差分法在迅速发展的同时，也获得了非常广泛的应用。目前，它几乎被应用到了电磁场工程中的各个方面，例如：电磁散射、生物电磁计量学、辐射天线的分析、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面的计算、周期结构的分析、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲传播和散射的分析、以及微光学元器件中光的传播和衍射特性的分析等。随着新技术的不断提出，其应用范围和成效正在迅速地扩大和提高。 2.3 有限差分法的特点 有限差分法对电磁场E、H分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个E(或H)场分量周围有四个H(或E)场分量环绕，应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程逐步推进地求解空间电磁场。有限差分法是求解麦克斯韦微分方程的直接方法。在计算中将空间某一样本点的电场(或磁场)与周围格点的磁场(或电场)直接相关联，且介质参数已赋值给空间每一个元胞，因此这一方法可以处理复杂目标和非均匀介质物体的电磁场问题。 作为一种电磁场的数值计算方法，有限差分法具有一些非常突出的特点，最主要包括以下几点： 首先，有限差分法是一种求解Maxwell方程的直接时域方法。在直角坐标系中，时域有限差分法直接把含时间变量的麦克斯韦旋度方程在Yee时网格空间中转换为差分方程。在这种差分格式中，每个网格点上的电场（磁场）分量仅与它相邻的磁场（或点场）分量及上一时间步该点的场值有关。在每一时间步计算网格空间格点的电场和磁场分量，随着时间步的推进即能直接模拟电磁波的传播及其与物体的相互作用过程。时域有限差分法把各类问题都作为初值问题来处理，使电磁波的时域特性被直接反映出来。这一特点使它能直接给出非常丰富的电磁场问题的时域信息，为复杂的物理过程描绘出清晰的物理图像。如果需要频域信息，则只需对时域信息进行傅里叶变换。为获得宽频带的信息，只需在宽频谱的脉冲激励下进行一次计算。 这样不仅保证了Faraday电磁感应定律和Ampere环路积分定律，以及介质分界面上切向场分量的连续性条件得到自然满足，而且可以方便地将Maxwell旋度方程在空间和时间上进行二阶精度的中心差分运算，从而转化成一组有限差分方程，然后就可以在相应的边界条件和初始条件下求解这组方程。于是，随着时间的逐步推进，便能直接模拟电磁波的传播及其与物体相互作用的过程，从而可以得到整个计算空间随时间变化的电磁场。由此可见，FDTD可以很恰当地模拟电磁波的实际传播过程，直接给出非常丰富的电磁场问题的时域信息，给复杂的物理过程描绘出清晰的物理图像。如果需要频域信息，只需在宽频谱的脉冲激励下进行一次计算，然后对获得的时域信息做Fourier变换即可。 其次，有限差分法具有广泛的适用性。由于有限差分法的直接出发点时概括了电磁场普遍规律的麦克斯韦方程，这就预示着该方法应具有最广泛的适用性。近几年的发展完全证实了这点。从具体的算法看，在时域有限差分法的差分格式中，被模拟空间电磁性质的参量是按空间网格给出的，因此，只需为相应空间点设定适当的参数，就可模拟各种复杂的电磁结构。媒质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性等均能很容易得进行精确模拟。由于在网格空间中电场和磁场各分量是被交叉放置的，而且计算中用差分代替了微商，使得介质交接面上的边界条件能自然得到满足，这就为模拟复杂的结构提供了极大的方便。对于散射、辐射、传播、透入、或吸收问题，只要能对波源和被研究物体的结构进行正确模拟，时域有限差分法就能给出正确的答案。 第三，有限差分法能够节约存储空间和计算空间，并且十分适合并行计算。在时域有限差分中，每个网格电场和磁场的六个分量及其上一时间步的值是必须存储的，此外还有描述各网格电磁性质的参数以及吸收边界体条件和连接边界条件的有关参量，它们一般是空间网格总数N的数倍。所以，时域有限差分法所需要的存储空间直接由设定的网格空间决定，与网格总数N成正比。在计算时，每个网格的电磁场都按同样的差分格式计算，所以，所需的主要计算时间也与网格总数N成正比。相比之下，若离散单元也是N，则矩量法所需的存储空间与成正比，而所需的CPU时间则与至成正比。当N较大时，二者的差别是很明显的。所以，当N很大时，时域有限差分法往往是更合适的方法。很多复杂的电磁场问题不能计算往往不是没有可选用的方法，而是由于计算条件的限制。当代计算机发展方向是利用并行处理技术进一步提高计算速度。并行计算机的发展推动了数值计算中并行处理的研究，适合并行计算的方法将更多的发挥作用。如前面所指出的时域有限差分法的计算特点是，每一网格上的电场（或磁场）值与其周围相邻网格点处的磁场（或电场）及其上一时间步的场值有关，这使得它特别适合并行计算。实行并行计算可使时域有限差分法所需的存储空间和计算时间减少为只与成正比。以直角坐标系中的立方体网格空间为例，若每个坐标方向的网格数为n，这计算网格空间的网格总数。若用个处理器，则每一处理器只需记忆和处理一行中一个场分量的有关信息，行可同时处理。这样，对于一个确定的时间步，全部运行时间就正比于完成一行处理所需的时间，这时间又正比于一行中一个场分量的个数n，即。由此看来，时域有限差分法将随着并行计算机的发展而越来越显得重要。 第四，有限差分法的计算程序具有很好的通用性。由于麦克斯韦方程是时域有限差分法计算任何问题的数学模型，因而它的基本差分方程对广泛的问题是不变的。此外，吸收边界条件和连接条件对很多问题是可以通用的，而计算对象的模拟是通过给网格赋予参数来实现，和以上各部分没有直接联系，可以独立进行。因此一个基础的时域有限差分法计算程序，对广泛的电磁场问题具有通用性，对不同的问题或不同的计算对象只需修改有关部分，而大部分是共同的。 第五，简单、直观、容易掌握。由于有限差分直接从Maxwell方程出发，不需要任何导出方程，这样就避免了使用更多的数学工具，使得它成为所有电磁场的计算方法中最简单的一种。其次，由于它能直接在时域中模拟电磁波的传播及其与物体作用的物理过程，所以它又是非常直观的一种方法。这样，这一方法很容易得到推广，并在广泛的领域发挥作用。 3 有限差分法矩阵的边界条件处理与截止频率 3.1 边界条件及处理 积分形式的麦克斯韦方程 微分形式的麦克斯韦方程 （3.1-a） （3.2-a） （3.1-b） （3.2-b） （3.1-c） （3.2-c） (3.1-d) (3.2-d) 其中， 为磁场强度； 为磁感应强度； 为电通量密度； 为电场强度； 为电荷密度； J为电流密度. 对线性、均匀、各向同性媒质，有 ， 。其中 、 分别为介质的介电常数和磁导率。 1．不同介质分界面上的处理方法 在实际问题中，常遇到所分析的场域存在不同介质。在不同介质分界面上，电通量 是连续的，有 (3-3) 其中， 为电位。 。 图2-4 直线形介质分界面处的差分格式 对式(3-3)进行面积分，并利用二维Gauss定理，得 (3-4) 式中， 是垂直于区域S围线l的外法线矢量。将S区域各边上的 用其所在边中心点处的两点差分表示，可得（3-4）式左边的积分值。如，对k-k’边，沿线的积分为 对其他三个边类似处理，可得 (3-5) 经过整理，可得 (3-6) 从式(3-6)可以看出，在分界面上的等效相对介电常数为 ，即取平均值。 图2-5 含角点的介质分界面 对于具有角点的介质交界面，角点处的电位 为 (3-7) 2. 边界条件的处理 三类边界条件 第一类边界条件： (3-4) 当网格节点位于边界C上时，则 取所在位置的值。 若节点不位于边界C上时，有三种处理办法。 （1） 直接转移法 (3-5) 图 2-6 第一类边界条件的差分网格 （2） 线性插值法 (3-6) （3） 双向插值。若 ， ， 代入Poisson方程，则有 (3-7) 第二类边界条件： (3-8) (a) (b) 图2-7 第二类边界条件的差分网格 若网格点和边界点重合， (3-9) 否则，可令 ，再利用不等距差分公式计算。 当 为0时，为齐次边界条件。 第三类边界条件： (3-10) 当 时，降为第二类边界条件。 图2-8 第二类和第三类边界条件的差分网格 处理办法：过点O向边界作垂线PQ，与边界交于Q点。令OP、PR、VP的长度分别为ah，bh和ch。对点O有， (3-11) 点P的值由点V和R的插值得到， (3-12) 代入（3-11）,且由于 (3-13) 有 (3-14) 由式(3-10)，有 (3-15) 由式(3-14)和(3-15)，得点O的差分格式为 (3-16) 3.2 矩形波导的截止频率 在波导和传输线本征值问题中，导波结构沿纵向是不变的，波导中的电磁场沿z方向的变化可忽略不计，即 ，则三维问题便转化为二维问题。因此，根据式(2-6)可得横磁模式（TM模式）、横电模式（TE模式）的电场和磁场纵向分量的差分表达式分别为： TE模： (3-1a) (3-1b) (3-1c) TM模： (3-2a) (3-2b) (3-2c) 其中， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (3-3) 以二维波导的设计条件与傅立叶变换的特点，采用有限差分法，场分量可离散为 (3-4) 式中，n为时间步数。 为所研究模式 的空间分布函数， 为其截止频率， 是一个复常数。对（3-4）式进行离散傅立叶变换，可以得到频率的离散函数 (3-5) 将式（3-4）代入式（3-5），由离散傅立叶变换和连续傅立叶变换的关系，可得 (3-6) 从上式可看出, 取极大值时所对应的频率值 近似等于模式s的截止频率 ,因此 只要由式(3-6)求出 的各极大值,通过时域迭代后,在各极大值点上进行傅立叶变换即可获得截止频率和相应的场分布。在波导内任意一点场量做傅立叶变换。以高斯脉冲(2-25)为例，得高斯脉冲的频域表达式为 式中 为高斯脉冲的频宽，其它参数同(2-25)式中的意义一样。 根据[29]中，对于矩形波导的截止频率可根据式（3-7）求得， (3-7) 其中，a,b为波导尺寸，m,n取不同时为零整数。 相应的截止波长为 (3-8) 由式（3-8）可知，如果波导的尺寸决定，那么，m,n的值越小，截止波长越长。 模和 模分别是TE波和TM波中有最长截止波长的模式，即最低模式，而 模的截止波长又比 模的截止波长长，也就是说在矩形波导中 具有最长的截止波长，通常将 模作为主模或基模。由（3-7）、（3-8）可见截止频率和波长都与工作频率无关，仅与波导的尺寸和模式相关。 为了比较不同类型源的激励特性，在波导中心线上以 ， 极化后的 线源激励的波导截止频率计算结果如图3-2所示。由图是可知， 计划线源激励的 、 、 、 、 模的模场分布均在中心线上 分量的最大值。 根据有限差分法在分析电磁场问题时，激励源的模拟时是常重要的。根据FDTD的基本原理与激励源的类型设计，本文从源处场性质出发，在源处加入不同性质的源即 型和 型源，并比较了它们的激励效果。即对TE模和TM模在源点处都引入 型和 型源激励。其表达式分别为： (3-9) (3-10) 对于TE模式，我们可以分别在点源处赋以电场量与磁场量，即电场源与磁场源，当赋予电场量时，由于TE模式的电场量有 和 ，因此，将激励源赋予 与 ；当用磁场源激励时，将激励源赋予 ，最后将其得到的结果进行比较。同理，对TM模式，我们可以分别在点源处赋以电场量与磁场量，即电场源与磁场源，当赋予电场量时，由于TM模式的电场量只有 ，因此，将激励源赋予 ；当用磁场源激励时，将激励源赋予 。结果可以看出，用电场源和磁场源分别来激励TE、TM模式时，无论选择何种类型的激励源都对相同模式的频率没有影响，同样可以激励起矩形波导的相同模式所有低阶模，矩形波导的数值结果证明了两种性质源的激励 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 是实际可行的。 下面使用自己编写的Matlab程序, 当a=b时程序如下： clear clc Nx=input('The number of nodes per line:'); Ny=input('The number of nodes per column:'); % N2=Nx*Ny; K=zeros(N2,N2); %h=1.0/(N+1); a=3.5; b=2; h=0.1 % Note that hx=hy %=========================================== % Generation of the [K] %=========================================== % The first line K(1,1)=-4; K(1,2)=2; K(1,Nx+1)=2; for i=2:Nx-1 K(i,i)=-4; K(i,i+1)=1; K(i,i-1)=1; K(i,i+Nx)=2; end; K(Nx,Nx)=-4; K(Nx,Nx-1)=2; K(Nx,Nx*2)=2; %=========================================== % The 2nd :(Ny-1)th Line tic for j=2:Ny-1 num1=Nx*(j-1)+1; K(num1,num1)=-4; K(num1,num1+1)=2; K(num1,num1+Nx)=1; K(num1,num1-Nx)=1; for i=2:Nx-1 num1=Nx*(j-1)+i; K(num1,num1)=-4; K(num1,num1+1)=1; K(num1,num1-1)=1; K(num1,num1+Nx)=1; K(num1,num1-Nx)=1; end; num1=Nx*j; K(num1,num1)=-4; %K(num1,num1+1)=1; K(num1,num1-1)=2; K(num1,num1+Nx)=1; K(num1,num1-Nx)=1; end; toc %=========================================== % The Nyth line num1=Nx*(Ny-1)+1; K(num1,num1)=-4; K(num1,num1+1)=2; K(num1,num1-Nx)=2; for i=2:Nx-1 num1=Nx*(Ny-1)+i; K(num1,num1)=-4; K(num1,num1+1)=1; K(num1,num1-1)=1; K(num1,num1-Nx)=2; end; num1=Nx*Ny; K(num1,num1)=-4; K(num1,num1-1)=2; K(num1,num1-Nx)=2; %================================================================ % solve the eigenvalue of [K] eigenvalue=eig(K); position1=find(eigenvalue<0); eigen=eigenvalue(position1); eigen=abs(eigen); min(eigen) % %================================================================ % % To cancel the fake solution. position2=find(eigen<1e-10); % (1e-10) Different for diferent problems. position2=find(eigen<1e-10); % =============================================================== eigen(position2)=[]; eigen=sort(eigen); kc=sqrt(eigen(1))/h; % cutoff wavenumber TE10 mode lambdaC=2*pi/kc % cutoff wavelength % ============================================ % cutoff wavelength by Analytical solution cutoffWavelength=1/sqrt(1/(4*a*a)+0/(4*b*b)) % TE10 mode relativeerror=abs(lambdaC-cutoffWavelength)/lambdaC; fprintf('relative error=%.4e\n',relativeerror) ; 当a≠b时程序如下： clear clc Nx=input('The number of nodes per line:'); Ny=input('The number of nodes per column:'); % N2=Nx*Ny; K=zeros(N2,N2); a=3.5; % Length of the waveguide b=2; % height of the waveguide hx=a/(Nx-1); hy=b/(Ny-1); hx2=hx*hx; hy2=hy*hy; %============================================================================== % Generation of the [K] %============================================================================== const1=-2*(hx2+hy2)/(hx2*hy2); const2=1/hx2; const3=1/hy2; % The first line K(1,1)=const1; K(1,2)=2*const2; K(1,Nx+1)=2*const3; for i=2:Nx-1 K(i,i)=const1; K(i,i+1)=const2; K(i,i-1)=const2; K(i,i+Nx)=2*const3; end; K(Nx,Nx)=const1; K(Nx,Nx-1)=2*const2; K(Nx,Nx*2)=2*const3; %============================================================================== % The 2nd :(Ny-1)th Line tic for j=2:Ny-1 num1=Nx*(j-1)+1; K(num1,num1)=const1; K(num1,num1+1)=2*const2; K(num1,num1+Nx)=const3; K(num1,num1-Nx)=const3; for i=2:Nx-1 num1=Nx*(j-1)+i; K(num1,num1)=const1; K(num1,num1+1)=const2; K(num1,num1-1)=const2; K(num1,num1+Nx)=const3; K(num1,num1-Nx)=const3; end; num1=Nx*j; K(num1,num1)=const1; %K(num1,num1+1)=1; K(num1,num1-1)=2*const2; K(num1,num1+Nx)=const3; K(num1,num1-Nx)=const3; end; toc %======================================================================== % The Nyth line num1=Nx*(Ny-1)+1; K(num1,num1)=const1; K(num1,num1+1)=2*const2; % 2*const3; K(num1,num1-Nx)=2*const3; for i=2:Nx-1 num1=Nx*(Ny-1)+i; K(num1,num1)=const1; K(num1,num1+1)=const2; % const3; K(num1,num1-1)=const2; % const3; K(num1,num1-Nx)=2*const3; end; num1=Nx*Ny; K(num1,num1)=const1; K(num1,num1-1)=2*const2; K(num1,num1-Nx)=2*const3; %======================================================================== % solve the eigenvalue of [K] eigenvalue=eig(K); position1=find(eigenvalue<0); eigen=eigenvalue(position1); eigen=abs(eigen); % ======================================================================== % To cancel the fake solution. position2=find(eigen<1e-10); % (1e-10) Different for diferent problems. eigen(position2)=[]; %========================================================================= eigen=sort(eigen); kc=sqrt(eigen(1)); % cutoff wavenumber TE10 mode lambdaC=2*pi/kc % cutoff wavelength % ======================================================================== % cutoff wavelength by Analytical solution cutoffWavelength=1/sqrt(1/(4*a*a)+0/(4*b*b)) % TE10 mode relativeerror=abs(lambdaC-cutoffWavelength)/lambdaC*100; fprintf('relative error=%.8e\n',relativeerror) ; 以 的矩形波导为例， 在归一化频率 为0~5范围内进行计算， 为主模 的截止频率。根据解析解可知在这个频率范围内的最高模为 ，根据[29]可知 模与 模简并。在归一化频率范围内共有14个 模。7个 模。网格为60×30，源参数取T=15dt(s)，t0=140dt(s)，时间步长取dt=2.7×10-13s。取点源位置m+n-1=4，在20000个时间步后对波导截面上一点(也应避开波节点)对Hz和Ez分别作DFT. 表3-1 矩形波导TE模截止频率（GHz） 模式 TE10 TE20 TE01 TE11 TE21 TE30 TE31 TE40 TE02 TE12 TE41 TE22 TE32 TE 50 解析解 21.082 42.163 47.140 59.628 63.245 76.010 84.326 86.921 94.279 105.41 文献[1] 21.076 42.152 47.140 59.645 63.158 76.014 86.234 86.833 94.210 105.38 本文 21.09 42.35 46.93 59.52 62.95 76.12 84.70 86.99 94.43 105.3 表3-2矩形波导TM模截止频率（GHz） 模式 TM11 TM21 TM31 TM12 TM22 TM41 TM32 解析解 47.140 59.628 76.010 86.921 94.279 105.410 文献[1] 47.140 58.943 76.014 86.833 94.842 105.380 本文 46.812 59.441 76.278 86.798 94.165 105.203 4 总结 数值计算方法已经成为电磁场领域的科研和工程中一个重要的分析工具，本文研究了时域有限差分法在波导结构电磁场特性分析方面的应用，主要研究成果是： （1）通过查阅大量国内外文献，系统研究了时域有限差分法的基本原理，包括差分方程、数值稳定性和数值色散、激励源技术，以及在处理开域电磁问题时的吸收边界条件，编制了相应的MATLAB计算程序。 （2）针对波导结构的特点，建立了适合波导结构计算的激励源的设置，编制了源处性质不同的激励源激励波导的相应MATLAB程序。 （3）编制了一套通用性很强的适合波导结构计算的MATLAB程序，并应用该程序分析了矩形波导在运行不同时间步时的场结构特性，获得了这些结构在TM模工作时传输特性。 本文进行了大量的数值计算，重点研究了矩形均匀和非均匀的波导特性，这对分析其他波导结构具有一定的指导意义。而且，程序稍做改动，就可以用于其他结构的计算和分析。但是，在研究过程中，也遇到一些问题。在研究过程中发现，当a=3.5,b=2时，产生的解为伪解，虽然由于实际情况可以将其排除，但是数学上此解为何会产生，并未作进一步研究。虽然本文获得了矩形波导的模拟结果，但是由于时间有限，对于圆波导并没有多作研究，圆形波导对于实际应用中有着很多的应用。所以，后续研究可以着重于对于圆形波导截止频率的模拟和研究。 在这一学期的学习，给了我很大的启发，为了能够理解各种数学方法，到图书馆借了数本相关的书，颇费一番功夫才弄懂的，为了理解矩形波导模型，还需查阅国外的论文。同时MATLAB也是为了写这篇论文才进行了较深入的学习。很多东西是需要的应用中学习的，而不单单拘泥于课本。 5 致谢 走的最快的总是时间，来不及感叹，大学生活已近尾声，四年多的努力与付出，随着本次论文的完成，将要划下完美的句号。 本论文设计在杜平老师的悉心指导和严格要求下业已完成，从课题选择到具体的写作过程，论文初稿与定稿无不凝聚着杜平老师的心血和汗水，在我的毕业设计期间，杜平老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议，杜老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度使我深受感动，没有这样的帮助和关怀和熏陶，我不会这么顺利的完成毕业设计。在此向杜平老师表示深深的感谢和崇高的敬意！在临近毕业之际，我还要借此机会向在这四年中给予我诸多教诲和帮助的各位老师表示由衷的谢意，感谢他们四年来的辛勤栽培。不积跬步何以至千里，各位任课老师认真负责，在他们的悉心帮助和支持下，我能够很好的掌握和运用专业知识，并在设计中得以体现，顺利完成毕业论文。 同时，在论文写作过程中，我还参考了有关的书籍和论文，在这里一并向有关的作者表示谢意。我还要感谢同组的各位同学以及我的各位室友，在毕业设计的这段时间里，你们给了我很多的启发，提出了很多宝贵的意见，对于你们帮助和支持，在此我表示深深地感谢 6 参考文献 [1]J.M.Jin, M.Zunoubi, K.C.Donepudi, W.C.Chew, Frequency-Domain and Time-Domain Finite-Element Solution of Maxwell’s Equations Using Spectral Lanczos Decomposition Method. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1999,169:279~296 [2]K.Dongsoo,H.B.Lee. Hybird Full-Wave Analysis of Via-hole Grounds Using Finite-Difference and Finite-Element Time-Domain Methods. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1997,45(12):2217~2222 [3] Kane S. Yee Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media[J].IEEE Trans Antennas Propagation, 1966,AP-14(3):302~307 [4] A.Taylor and M.E.Brodwin. Numerical solution of steady-state EM scattering problems using the time-Maxwell’s equations. [J] IEEE Trans.Microwave Theroy Tech.,Aug. 1975，MTT-23:623~630 [5] X.Min,W.Sun and K.M.Chen. Stability analysis of the finite difference time domain method applied to unbounded electromagnetic problem [J]. IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium,Dallas:May 1990,(4):1640~1643 [6]A.Taflove. Review of the formulation and applications of the finite-difference time-domain method for numerical modeling of electromagnetic wave interactions with arbitrary structures [J]. Wave Motion,June 1988,10(6): 547~582 [7] I.S.Kim and W.J.R.Hoefer. Numerical dispersion characteristics and stability factor for the TD-FD method [J].Electronics Letters, Jul