三角函数最值问题的综述
课题：三角函数中最值问题（1）
高三（4） 2007/10/31 上午第五节 王建玲 教学目标：
知识目标：能熟练掌握求三角函数最值的几种类型及方法，进一步深化求三角
函数最值时的一些变换，掌握三角函数有界性在求三角函数最值时
的作用；
能力目标：培养学生对三角函数基本知识的综合应用能力，培养学生对换元、
数形结合思想的应用能力，培养学生独立归纳、思考的自学能力；
情感目标：在体验教学活动的过程中，激发学生学习数学知识的积极性，树立
学好数学的信心。
教学重点：求三角函数最值的几种常见类型 教学难点：三角知识在求最值时的综合应用 教学过程：
一、
复习
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正弦函数y,sinx的图像、性质。 二、 三角函数最值类型
函数的最大值为__________； y,3sinx，1
y,asinx，1变式1、函数的最大值为____________； 变式2、函数的最大值为____________； y,3sinx，cosx
,，，x,,fx(),若，则的最大值为_______； ,,2，，
,,,,，，f(x)f(x)sinxcosx,x,,,，,,变式3、函数，求函数的最小值_____； ,,,,62,,，，
π,,2fxxx()2sin3cos2,，,fx()变式4、函数，求的最大值_____； ,,4,,
22fx()变式5、，则的最大值为_______； y,2sinx，23sinx,cosx，4cosx
小结
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：例1是近年高考中常出现的题型，仅在设问上有所变化，解法是把
不同角化为同角，多个三角名转化为单一三角名，通过降幂，不论一次齐次还
22是二次齐次型，都可用辅助角公式“化二为axbxabxsincossin()，,，，,
y,asin(,x，,)，b一”，化归为的最值问题。
1
2（1997年全国高考题）函数最小值为__________； yxx,,，coscos2
变式1、求函数的最小值； y,cos2x,cosx，2
2变式2、求函数的最大值； y,cosx,2acosx,a
2变式3、有实数解，求的取值范围； sinx，cosx，a,0a
2小结：型的函数，用角的变换“化二为一”，化为关yaxbxc,，，sincos
于的二次函数后，令，则问题转化为闭区间上的二次函数的值域cosxcosx,t
问题。
2思考题：变式4、求函数的值域； yxxxx,，，，，1sincos(sincos)
变式5、求函数yxx,,,(43sin)(43cos)的最小值；
yaxxbxx,，，sincos(sincos)小结：型的函数的做法：可直接化成类型3
sincosxxt，,或作变量替换化有关三角表达式函数为基本初等函数问题，利用
三角函数的有界性，使问题化归为闭区间上讨论函数性质的问题。注意换无转
化是一种常用的转化手段，要弄清转化后变量的取值范围。
三、 课堂小结：
三角函数最值问题的解法灵活多样，常见的基本解答方法有：
齐次型：利用辅助角公式化为一元函数，利用三角比的有界性；
异次型：利用换元法，转化成二次函数在闭区间内求最值；
其他还有基本不等式法，数形结合法等，下节课我们继续研究。 四、家作：
y,k,,?（2005年上海）函数f(x),sinx，2|sinx|,x,0,2,的图象与直线
k有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________。
k,?若有解，求__________。 cos2x,23sinx,cosx,k，1
53,，，2()sincosfx,x，ax，a,0,?是否存在实数，使在上的最大值a,,822，，为1？若存在，求出，若不存在，说明理由。 a
2
教案说明：
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中
经常出现，是
高中数学
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必修课中的几大内容之一。在近几年高考中，三角函数
的化简求值，特别是在闭区间的最值已成为高考中的一个命题热点。解答这类
问题需要灵活运用三角公式进行三角变换，需要熟练的恒等变形能力，也需要
对几种题型进行研究和
总结
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，因此我们要熟练掌握这种技能。以下是我在备课
中的一些想法：
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中
经常出现，其出现的形式，或者是在小题中单纯的考察三角函数的值域问题，
或者隐含在解答题中，作为解决解答题所用的
知识点
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之一，或者在解决某问题
时，应用三角函数的有界性会使问题更易于解决。所以我在作业中选择了一些
高考题，来激发学生学习数学的积极性和学习数学的自信心。
学生解有关三角函数题目时，常常出现解题思路不清楚，难以抓住题目本
质，难以对题目给以恰如其分的分析。由于三角公式多，学生常靠碰运气，用
这个公式试一下，不行，再换一个公式试一下，如果还是错了，就觉得三角学
得很糟糕，没有信心解题，碰到三角就怕。所以我这堂课主要以三角函数题目
本身的类型来分类，而没有以解题的方法来分类。主要让学生对求三角函数的
最值的方法有个总体的认识，便以学生接受和记忆。本节课主要讲两个分类，
齐次型和异次型，齐次型包括一次齐次型、二次齐次型，虽然题目完全不同，
但都可以通过降幂，三角恒等式，辅助角公式等，转化成一次函数型，很巧妙，
求三角函数的值域问题，广义上就是求一个函数的值域，所以过去求函数的值
域的方法入基本不等式、单调性、判别是法等等，还是能适用的。三角函数还
是有自己本身的特点，还是如下常用方法来求值域：（1）利用辅助角公式把三
角函数转化为一次函数（2）将所给的三角函数转化为二次函数，再利用有界性
求值域。学生也会饶有兴趣地去学习，当然三角函数的最值问题还有其他分类，
比如分式型三角函数，由于其解法较多，一节课时间来不及，为了把2个难点
都讲透，所以把分式型放入下节课的内容。
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