领略数学美

领略数学美null领略数学美领略数学美null数学是这个世界之美的原型。 ——开普勒数学实质上是艺术的一种。 ——维纳数学不仅拥有真理，而且还拥有至高的美 —— 一种冷峻而严肃的美，正像雕塑所具有的美一样。 ——罗素null解读天地之美，刻画万物之理外在的感性美（形式美）内在的理性美（科学美）简洁美...

null领略数学美领略数学美null数学是这个世界之美的原型。 ——开普勒数学实质上是艺术的一种。 ——维纳数学不仅拥有真理，而且还拥有至高的美 —— 一种冷峻而严肃的美，正像雕塑所具有的美一样。 ——罗素null解读天地之美，刻画万物之理外在的感性美（形式美）内在的理性美（科学美）简洁美，和谐美，统一美，逻辑美，思辨美，奇异美。数学中“最美的公式”数学中“最美的公式” 简洁美，和谐美，统一美，逻辑美，思辨美，奇异美一、“数”中有美一、“数”中有美哪里有数，哪里就有美。 ——普洛克拉斯 null亲和数——正整数M(N)的全部正因子（去掉其本身）之和，恰为N(M)，则称M和N为一对亲和数．（奇异美）毕达哥拉斯时代就知道220和284是一对亲和数null1636年皮勒发现并公布了第二对亲和数17296和18416，阿拉伯数学家本·科拉建立了一个亲和数公式：设其中n是大于1的正整数，如果全是素数，那么与便是一对亲和数．（统一美）null1750年，欧拉宣布了60对亲和数； 1866年，16岁的青年巴格尼发现了1184与1210是一对亲和数，仅比220和284稍大．利用现代计算机，人们已经发现了1200多对亲和数．或者都是偶数，或者都是奇数，是否存在一奇一偶的亲和数呢？欧拉提出的这个问题，迄今尚未解决. null完全数——一个正整数等于除它自身以外的各个正因子之和．（和谐美） 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 4000，0000以下，只有5个完全数：6、28、496、8128、33550336．从第四个完全数到发现第五个完全数经过了一千多年自然数中的“瑰宝”，祥瑞之数，意大利人把6看成是属于爱神维纳斯的数，以象征美满的婚姻．null所有完全数都可以表为2的连续整数次幂之和，如：思辨美 null除了6以外，其它完全数可表示为连续奇数的三次方之和，如 null完全数的全部因子的倒数和都等于2，如：逻辑美，思辨美奇妙的幻图奇妙的幻图“河出图，洛出书，圣人则之”（《易·系辞上》）洛书今译（3阶幻方）行和，列和，对角线和相等——幻和 null1970年哈尔默斯（K.Holmes）、1997年巴尔博（E.J.Barbeau）将洛书幻方的一、三两行对调则行逆序幂等；列逆序幂等；主对角线逆序幂等主对角线另一逆序幂等；副对角线二逆序幂等. null黑洞数幻方 4行4列4条主、副对角线上的4个数之和；每一个田格中的4个数之和都是6174．其中一些长方形、平行四边形、梯形等几何图形，其四个角上的四个数之和，也是6174 （统一美）“对称性”null该幻方中的每个数，将它按数字从大到小排序得到一数，再按数字从小到大排序得到一数，两数相减，如此下去，均可变成6174．例如对于1341： 4311—1134=3177； 7731—1377=6354； 6543—3456=3087； 8730—378=8352； 8532—2358=6174. （奇异美，和谐美，逻辑美）null杨辉的九九图（《续与摘奇算法》）与41中心对称的两数之和为82（统一美）null将其中9个3阶幻方之幻和值写在九宫格中，构成一个3阶幻方，其元素是首项为111、末项是135的公差为3的等差数列．如再将这些数按大小顺序的序号写在九宫格中，又恰好是“洛书”幻方（和谐美，奇异美，逻辑美，思辨美） null至1999年，已经算到小数点后2061亿位．从小数点后第71，0100位起连续出现6个3；小数点后一千万位中，连续出现6个同一数字的有87次：前六位有效数字314159是个素数，把它反过来（951413）还是素数；314159恰好是三个素数31、41、59连写而成，这三个素数的和，它们的立方和，以及五次方和也都是素数. （奇异美）二、“形”之美二、“形”之美和谐美：同曲率，全对称，无始终，等光滑统一美：周径比，周积性毕达哥拉斯学派：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形”． null圆柱、圆锥、圆台；棱柱、棱锥、棱台的体积公式（统一美）null null平面上到一定点F的距离与到一不过该定点的定直线L的距离之比为常数e的动点的轨迹．01时称为抛物线．统一美黄金分割黄金分割 AC/AB = AB/BC（中外比，欧几里得）设 BC=1, ABnull黄金分割率（19世纪初期）奇妙的数学表示奇妙的数学表示 null 奇异美，逻辑美null黄金三角形正五边形nullnull 15世纪Weyden耶稣降架图null黄金矩形对数螺线（黄金螺线） null对数螺线，或 null矢径（臂距）随极角等比增加过极点的任一矢径与对数螺线的交角恒等，故又称为等角螺线. （圆；a=0）以极点为圆心的任一圆与对数螺线的交角恒等 null对数螺线自相似。沿对数螺线向内，要走无穷多圈才能到达极点，但总距离有限，且等于从出发点所作切线与纵轴交点之间的距离。 null对数螺线上任一点处的切线与该点到极点连线的夹角为定值。旋转刀具成型铣刀，齿背曲线的形状。兀鹰扑捉猎物时的飞行轨道。 null 鹦鹉螺的贝壳像对数螺线向日葵的种子排列成对数螺线蜘蛛网的构造似对数螺线昆虫以对数螺线的方式接近光源旋涡星系的旋臂差不多是对数螺线低气压(热带气旋、温带气旋等)的外观像对数螺线 null在布置科技画廊或商品橱窗时，利用对数螺线逼真地表现光芒四射的形象．视觉美，奇妙美null对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来雅各布 · 伯努利详细研究，发现：对数螺线在反演变换（将变为）下仍为对数螺线对数螺线的渐屈线（曲线上每一点曲率中心的轨迹）仍是同一对数螺线；其垂足曲线（从极点对曲线的切线作垂线，所有垂足构成的曲线）仍为同一对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不已，称它为神奇的曲线，并表示要在自己的墓碑上刻上一条对数螺线，并加上碑文“万变不离其宗”(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。 null位于巴塞尔的蒙斯特大教堂回廊上的雅各布 · 伯努利的墓碑null 雅各·伯努利墓碑上的碑文与螺线null阿基米德螺线极径与极角成正比蚊香、唱片中的曲线都是阿基米德螺线；凸轮的轮廓曲线也做成阿基米德螺线的弧，从而可以将匀速圆周运动转化成匀速直线运动．摆线（旋轮线，最速降线，等时线）摆线（旋轮线，最速降线，等时线）null1696年，瑞士数学家约翰·伯努利提出“最速降线”问题null等时性摆线的渐伸线还是摆线null 视觉美，奇妙美三、数学表达之美三、数学表达之美数学符号的内在美 null数学语言的简洁美简洁的符号，丰富的内涵简洁的表述，严谨的命题方程有实根，当且仅当事件A,B相互独立null公式、命题、术语的对称美的系数，杨辉三角 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 null对数和指数运算公式集合、随机事件运算公式 null命题的相互关系原命题逆命题否命题逆否命题数学术语的表达 “任意给定”和“存在某个” null数学语言和数学真理的统一美数学语言是通用的“世界语言” 数学真理的普适性在实数范围内方程有解的充分必要条件是 . 平面三角形的内角和为二直角.泰勒公式泰勒公式设在点的某个邻域内有直到阶的连续导数，则对有其中在与之间（统一美）nullnull数学理论体系的和谐美理论体系的相容性（无矛盾性）数学论证的逻辑美，思辨美演绎、归纳的逻辑美反证、类比的思辨美null有悖常理的奇异美非欧几何 “部分不比整体小” null有两份在世界上很有影响的杂志，曾联合邀请全世界的数学家，征集、推荐“近五十年的最佳数学问题”，评选结果有一题如下：有哪些分数，不合理地把b约去得到，结果却是对的？四、数学美推动了创造、发现四、数学美推动了创造、发现我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要地都是美学的。 ——冯. 诺依曼如果一个物理方程在数学上看上去不美，那么这个方程的正确性是可疑的。 —— 狄拉克 null黎曼三维常曲率空间几何曲率几何类型平行公理三角形内角和 0 欧几里德（抛物几何） 1条等于正黎曼（椭圆几何）无大于负罗巴切夫斯基（双曲几何）无穷多小于nullnull麦克斯韦方程组是如何创立的？法拉第：“数学的魅力竟与此有这样密切的关系，实在令我吃惊，想不到数学有这样大的用处．” null英国物理学家狄拉克预言存在“正电子” 他认为自己的许多发现都得益于对数学美的追求. 1928年，他在研究量子力学的过程中导出了一个描述电子运动的方程——狄拉克方程．null求解时开平方得到了正负两个解，也就是说，它不但描述了人们已知的带负电荷的电子的运动，还描述了另一种除电荷是正的以外，其它结构和性质与电子一模一样的人们尚未知道的反粒子．狄拉克从尊重数学的对称美出发，作出了“存在与电子质量相等而电荷相反的‘负能粒子’——正电子”的预言．1932年8月，安德逊在宇宙射线中发现了这种粒子，证实了狄拉克的预言． null谷神星的发现 1772年，柏林天文台台长，德国天文学家波德总结前人经验时，整理并发表了一个“波德定理”，为人们提供了计算太阳与诸卫星之间的距离的经验法则设地球与太阳之间的距离是10（天文单位），则太阳到各行星之间的距离为：水星金星地球火星木星土星 4 7 10 16 52 100 -4后 0 3 6 12 48 96 若在下面一行的12与48之间添加24，不计首项便是一个公比为2的等差数列。null1781年，天王星被发现。天王星与太阳的距离为192（按上述规律应该是96x2+4=196，这个结果与192甚为接近）。从数列的和谐性上看，人们便怀疑在距离为28的位置还应有一颗小的行星。天文学家忙碌了20年， 1801年元旦，意大利天文学家皮亚齐在西西里岛观察到在白羊座附近有光度八等的星移动，这颗星在天空出现了41天、扫过八度角后就没了踪影.当时天文学家无法确定它是彗星还是行星，因此成为学术界关注的焦点. 高斯根据天文学家提供的少量观测数据很快算出了它的轨道，几个月后，这颗现被称作谷神星（C e- re s）的小行星准时出现在高斯指出的位置上。null 自然律必须满足审美要求。 —— 爱因斯坦null数学好玩，数学有用，数学很美在学习数学的过程中注意体会数学的美；在领略、体会、感受数学美的过程中，喜欢数学，学好数学，享受数学。学好数学，启迪心智，大展宏图

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