2011年同济等九校(卓越联盟)自主招生数学试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
(1)向量a，b均为非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a，b的夹角为
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)已知sin2((+()=nsin2(，则
2
等于
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则
的最大值为
(A)
-1
(B)2-
(C)
+1
(D)2+
(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为
(A)y2=16x
(B)y2=8x
(C)y2=-16x
(D)y2=-8x
(6)在三棱锥ABC—A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)若关于x的方程
=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )
(A)(0，1)
(B)(
，1)
(C)(
，+∞)
(D)(1，+∞)
(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为
(A)
(B)
(C)
(D)2
(9)数列{an}共有11项，a1=0，a11=4，且|ak+1-ak|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )
(A)100
(B)120
(C)140
(D)160
(10)设(是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为
的旋转，(表示坐标平面关于y轴的镜面反射．用((表示变换的复合，先做(，再做(，用(k表示连续k次的变换，则(((2((3((4是( )
(A)(4
(B)(5
(C)(2(
(D)((2
(11)设数列{an}满足a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an．
(Ⅰ)设bn=an+1-an，
证明
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：若a≠b，则{bn}是等比数列；
(Ⅱ)若
(a1+a2+…+an)=4，求a，b的值．
1）考察数列定义
2）a1+a2+a3+...+an=an-an-1+2(an-1-an-2)+3(an-2-an-3)+...+(n-1)(a2-a1)+na1
=bn+2bn-1+3bn-3+...+b1+na(错位相减，可得a，b的值)
(12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．
(Ⅰ)求k的取值范围；
(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？
(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-
相切．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．
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(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为Xn．
(Ⅰ)求EX1；
(Ⅱ)设P(Xn=a+k)=pk，求P(Xn+1=a+k)，k=0，1，…，b；
(Ⅲ)证明：EXn+1=(1-
)EXn+1．
(15)(Ⅰ)设f(x)=xlnx，求f′(x)；
(Ⅱ)设0
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