null第二节 单纯形法第二节 单纯形法 单纯形法是求解线性
规划
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的主要算法,1947
年由美国斯坦福大学教授丹捷格(G.B.Danzig)
提出。
尽管在其后的几十年中,又有一些算法问世,
但单纯形法以其简单实用的特色始终保持着绝对
的“市场”占有率。null1.线性规划的标准型
用单纯形法求解线性规划的前提是先将模
型化为标准型: 标准型的特征:Max型、等式约束、非负约束一、单纯形法的预备知识null标准型的矩阵表示:其中null非标准形式如何化为标准型?1) Min型化为Max型 加负号 因为,求一个函数
的极小点,等价于求该
函数的负函数的极大点。注意: Min型化为Max型求解后,最优解不变,但最优值差负号。 如原问题可化为null2) 对≤约束,可添加松弛变量构成等式约束
分析
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:以例1中煤的约束为例之所以“不等”是因为左右两边有一个差额,称为“松
弛量”,若在左边加上这个松弛量,则化为等式。而这
个松弛量也是变量,记为X3 ,则有问题:它的实际意义是什么?
X3称为松弛变量,它的价格系数c3=0。 —— 煤资源的“剩余”。null3) 对≥约束,可添加剩余变量构成等式约束例如,对约束减去剩余变量x4≥0,构成等式约束同样,剩余变量的价格系数c4=0。5)若某一常数项 b i<0这时只要在b i相对应的约
束方程两边乘上-1。
6) 若x≤0,则令x′= -x
null练习1:请将例1的约束化为标准型易见,增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。null一般地,记松弛变量的向量为 Xs,则问题:松弛变量在目标中的系数为何?—— 0。null练习2:将下面非标准线性规划化为等价的标准型①将目标函数转化为求极大型,即得②对第一个约束添加松弛变量x4≥0,得③对第二个约束减去剩余变量x5≥0,得④对自由变量 x3,令min z= - x1+3x2-7x3max z′= x1 - 3x2+7x3x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 72x1 - x2 + x3 – x5 = 4x3 = x3′ - x3〞, x3′≥0,x3〞≥0null原规划化为标准型:max z′= x1 - 3x2+7x3′- 7x3″练习2:将下面非标准线性规划化为等价的标准型min z= - x1+3x2-7x3练习3:练习3:minZ=x1+2x2-3x3
x1+x2+x3 ≤9
-x1-2x2+x3 ≥2
3x1+x2-3x3=5
x1≤0,x2≥0,
x3无约束令x1=-x1',x3=x3' -x3" Z=-Z'。maxZ'=x1'-2x2+3(x3'- x3")
-x1'+x2+x3'- x3"+x4 =9
x1'-2x2+ x3'- x3" - x5 = 2
-3 x1' +x2-3(x3'- x3" ) =5
x1 ' x2 x3' x3 " x4 x5 ≥0标准型为:2.基本概念2.基本概念(1)可行解与最优解 直观上,可行解是可行域中的点,是一个可行的方案;
最优解是可行域的角点,是一个最优的方案。null假设n≥m,且系数矩阵的秩为m,用Pj表示A中第j列的列向量,即由此,矩阵A可表示为A=[P1 P2 … Pn](2)基矩阵与基变量(2)基矩阵与基变量基向量:基B中的列;其余称非基向量。基变量:与基向量Pj对应的决策变量xj,记其组成的
向量为XB;
非基变量:与非基向量对应的变量称非基变量,记其
组成的向量为XN。基矩阵(基):设A是m×n阶约束系数矩阵(m≤n),秩为m。 A=( P1,P2,…,Pn ),则A中m阶可逆子阵
B=( P1,P2,…,Pm )为线性规划的一个基。其余部分称为非基矩阵,记为N null—— 6个。一般地,m×n 阶矩阵A中基的个数最多有多少个?问题:本例的A中一共有几个基?p16null(3)基本解与基本可行解当A中的基B取定后,不妨设B表示中的前m列,则可记A=(B N),相应地 X= (XB XN)T即当取XN=0时,有可见:一个基本解是由一个基决定的。
注意:基本解仅是资源约束的解,并未要求其非负,因此其未必可行。称非负的基本解为基本可行解(简称基可行解),
对应于基可行解的基称为可行基。null例4:在上例中求相应于基B1和B2的基本解,它们是否基本可行解?上二组概念间的联系:上二组概念间的联系:几种解之间的关系:问题:基本可行解是可行域中的哪些点?3.基本定理3.基本定理(1)线性规划的可行域是一个凸多面体。(2)线性规划的最优解(若存在的话)必能在可行
域的角点获得。(3)线性规划可行域的角点与基本可行解一一对应。 因此,在角点中寻找最优点即可转化为在所有基本可行解中寻找最优解。因此,只需考虑所有基本可行解就够了二、单纯形法的步骤二、单纯形法的步骤 单纯形法是一种迭代的算法,它的思想是在可行域的角点——基本可行解中寻优。由于角点是有限个(为什么?),因此,算法经有限步可终止。1.确定初始基可行解1.确定初始基可行解 由于基可行解是由一个可行基决定的,因此,确定初始基可行解X0相当于确定一个初始可行基B0。问题:若B0=I,则X0=?方法:若A中含I,则B0=I,由此可得初始基本可行解
若A中不含I,则可用人工变量法构造一个I。null2. 最优性检验问题:用什么检验?把目标函数用非基变量表示。null 因此,对给定的一个可行基B(即给定一个基本可行解XB=B-1b, XN=0),判别它是否最优,(2)若所有σj≤0时,这个基本可行解为优;反之,若有某一检验数σ k >0,则此解一定不是最优, 转3。2. 最优性检验(续)(1)只需计算每一非基变量 x j 的检验数z3. 寻找更好的基可行解3. 寻找更好的基可行解 由于基可行解与基对应,即寻找一个新的基可行解,相当于从上一个基B0变换为下一个新的基B1,因
此,本步骤也称为基变换。(基变换)null 以例1为例,可按上述单纯形法的步骤求出其最优解,其大致的过程如下。(1)先将模型化为标准型(2) 确定初始基可行解、检验null 以例1为例,可按上述单纯形法的步骤求出其最优解,其大致的过程如下。(1)先将模型化为标准型(2) 确定初始基可行解、检验null(3)换基、计算下一个基可行解、再检验,直至最优问题:当模型规模较大时,计算量很大。事实上,单纯形法的实现是在单纯形表上完成的。null练习:对于下面的线性规划(1)用图解法求解;
(2)将模型化为标准型;
(3)用单纯形法步骤求出其最优解,并指出求
解过程中每一个基可行解相当于可行域的
哪一个角点。三、单纯形表三、单纯形表 单纯形表是基于单纯形法的步骤
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
的计算格式,是单纯形法的具体实现。回顾单纯形法步骤null单纯形表的主要结构:问题:第一张表的B-1=?——单位阵I。检验数的公式是什么?按上式计算基变量检验数为0B-1Pj 在哪里?--B-1A 中的 j 列例5:用单纯形法求解例1例5:用单纯形法求解例1问题:标准模型的A中是否含I?——松弛变量系数恰好构成I。例5:用单纯形法求解例1例5:用单纯形法求解例1初始单纯型表:化为标准型——松弛变量系数恰好构成I。null下一张表将通过实行初等行变换(称高斯消去)得到。
方法是:先将主元消成1,再用此1将其所在列的其余元消成0。[ ]主元null[ ][ ]以10为i主元进行初等行变换null[ ][ ]以 为主元进行初等行变换0 0 0 -1.36 -0.52 2.5null
练习:用单纯形法求解下面的线性规划 null[ ]单纯形表:null【 】【 】null【 】【 】Min型单纯形表:Min型单纯形表: Min型单纯形表与Max型的区别仅在于:检验数反号,即
-当检验数均大于等于零时为最优;
-令负检验数中最小的对应的变量进基。
四、大M法四、大M法1 .问题设问题:A中不含 I例如, 用单纯形法求解线性规划null例如, 用单纯形法求解线性规划 解: 首先增加松弛变量与剩余变量x4、x5,将模型约束化为标准型null2 .方法 在第二、第三个约束方程左边分别添加人工变量x6>0、x7>0。
在求极大型M问题中,人工变量在目标函数中系数均为-M;在求极小型min问题中,系数均为M,其中M是很大很大的正数。null[ ]1 -2 2 1 0 0 0-2 1 1 0 -1 1 0-1 0 1 0 0 1 1-4+3M 3-M 2-2M 0 -M 0 0null[ ][ ]1 -2 2 1 0 0 0-2 1 1 0 -1 1 0-1 0 1 0 0 1 1-4+3M 3-M 2-2M 0 -M 0 04 3 -2 0 1 0 0 -22 -1 1 0 0 -1 1 -12 -1 0 1 0 0 0 1-2+M 3-M 0 0 M 0 2M-228 1 0 0 1 -2 2 -42 -1 1 0 0 -1 1 -12 -1 0 1 0 0 0 11 0 0 0 3 M-3 M+1null①最优解的基变量中含有人工变量,可以证明此情况下,原问题无可行解;
②最优解的基变量中不含人工变量,即人工变量均为零,可以证明在此情况下,从最优解中去掉人工变量即为原问题的最优解 使用大M法会出现下列两种情况:p26解的几种情况在单纯形表上的体现(Max型):解的几种情况在单纯形表上的体现(Max型):唯一最优解:终表非基变量检验数均小于零;
多重最优解:终表非基变量检验数中有等于零的;(书例2.12)
null练习:用单纯形法求解下面的线性规划 null[ ]问题:本题的单纯形终表检验数有何特点? —— 非基变量x2 的检验数等于零。解的几种情况在单纯形表上的体现(Max型):解的几种情况在单纯形表上的体现(Max型):唯一最优解:终表非基变量检验数均小于零;
多重最优解:终表非基变量检验数中有等于零的;(书例2.12)
无界解:任意表有正检验数相应的系数列均非正。(书例2.13)
无解:用人工变量法求解,人工变量模型的最优解基中含有人工变量
退化解:在单纯形终表中,最优解为
若其中某分量b´k=0,则称此解为一个退化解