Mathematica在定积分中的应用

第 25卷第 9期 Vo.l 25 No. 9 荆楚理工学院学报 Jou rnal of Jingchu University of Techno logy 2010年 9月 Sep. 2010 [收稿日期 ] 2010- 06- 28 [作者简介 ] 郭志军 ( 1978- ), 男,辽宁新民人, 辽宁对外经贸学院讲师, 硕士。研究方向:应用数学。 Mathematica在定积分中的应用 郭志军 (辽宁对外经贸学院 教务处,辽宁 大连 � 116052) [摘 � 要 ] � 在定积分的教学中引入 M athem atica软件, 利用其强大的数值计算、符号计算、动画以及图形 功能, 通过实例使定积分的学习变得容易, 更能激发学生学习数学的兴趣。 [关键词 ] � M athem atic;定积分; 数值计算;动画; 绘图 [中图分类号 ] � O241� [文献标识码 ] � A� [文章编号 ] � 1008- 4657( 2010) 09- 0044- 04 � � 随着现代教育技术的发展,计算机计算能力极大提高,数学软件在数学中的应用日趋完善,借助于 信息技术进行高等数学教学变得越来越方便。定积分是高等数学中非常重要并且较难学习的部分之 一,本文通过 Mathem atica解决几个定积分实例,体会 Mathema tica在学习过程中的作用。 1� M athematica简介 M athemat ica是世界上通用计算系统中最强大的系统, 自 1985发布以来,它已对如何在科技和其它 领域运用计算机产生了深刻的影响。M athematica是美国W olframResearch公司研发的一套专门进行数 学计算的软件,该软件功能较为齐全,包括数值计算、符号计算、函数绘图以及象 C语言一样的结构化 程序设计功能。同时,它具有图形化用户界面,采用交互式操作方式,易学易用。 将 Mathema tica与高等数学教学有机结合, 有利于促进数学教学改革、提高教学效果、增强学生利用 计算机解决数学实际问题的能力。 2� M athematica在定积分计算中的应用 2. 1� 函数介绍 函数 In tegrate[ f[ x] , { x, xm in, xmax } ]的意义同�xm axxm in f( x) dx。 函数 N Integrate[ f[ x ], { x, xm in, xmax } ]的意义是求�xm axxm in f( x) dx的近似值。 2. 2� 举例 例 1� 计算下列积分: 1) �10 x2 dx; 2) �40 x+ 2 2x+ 1 dx。 解 � M athemat ica求解如下: In[ 1] : = Integrate[ x 2^, { x, 0, 1} ] Out[ 1] = 1 3 In[ 2] : = �40 x+ 2 2x+ 1 dlx 44 Out[ 2] = 22 3 注: 命令 Integrate也可用模板中的积分符号��� � d l� 来代替, 如上例中 2)的求解。 M athemat ica也可以计算定积分的近似值。 例 2� 计算 �+ �- � e- x2 dx。 In[ 3] : = In tegra te[ Exp[ - x 2^, { x, - � , � } ] Out[ 3] = � In[ 4] : = N Integrate[ Exp[ - x 2^, { x, - � , � } ] Out[ 4] = 1. 772 45 注: 上例中 In[ 3]求积分的准确值, In[ 4] 计算了积分的近似值。 3� M athematica动画功能在定积分定义中的应用 定积分的定义在讲解过程中是通过对实际问题进行 �分割、求和、取极限 �, 进而抽象出定积分的定 义。 �分割、求和 �是初等数学方法的形式逻辑思维的体现, 而 �取极限 �蕴含于变量数学中的辩证逻辑 思维。学生在学习过程中对概念的理解存在一定的困难, M athemat ica的动画功能很好地解决了这个问 题。 例 3� 求定积分 �bax2 dx的动画演示。 In[ 5] : = f[ x_] = x 2^; a= 0; b= 2; m= 0; g1= Plot[ f[ x], { x, a, b}, P lotSty le- > {RGBColor[ 1, 0, 0] }, D isplayFunction- > Ident ity] ; For[ j= 3, j< = 70, j+ = 2, m = ;j tt1= { }; tt2= { }; For[ i= 0, i< m, i+ + , x1= a+ *i ( b- a) /m; x2= x1+ ( b- a) /m; tt1= Append[ tt1, Graphics[ {RGBCo lor[ 0, 0, 1] , Rectang le[ { x1, 0}, { x2, f[ x2] } ] } ] ]; tt2= Append[ tt2, Graphics[ {RGBCo lor[ 0, 0, 1] , Rectang le[ { x1, f[ x1] }, { x2, 0} ] } ] ] ]; Show [ tt1, tt2, g1, D isplayFunction- > $ D isplayFunction, P lotLabe l- > m ''intervals ']' ] 执行以上命令,可得到一系列图片 (共 34帧,由 j的取值及步长来控制图片的数量 )。图 1给出了 其中的 5帧图片。如果观察动画,双击任何一帧图片后,即可以形成动画。随分割的越来越细,观察小 矩形面积之和与曲边梯形面积之间的关系,有助于理解定积分的概念及其几何意义。 图 1� 动画中的 5帧图片 4� M athematica图形功能的应用 M athemat ica软件绘制图形的功能十分强大。基本函数: P lot [ ,f { x, xm in, xm ax } ] (绘制二维图形的函数 ) ; 45 Plot3D [ ,f { x, xm in, xmax }, { y, ym in, ym ax}, options] (绘制三维图形的函数 ) ; Parame tricP lot3D [ { x ( u, v) , y( u, v) , z( u, v) }, { u, um in, umax}, { v, vm in, vmax } ] (绘制参数方程图 形的函数 )。 4. 1� 求平面图形的面积 例 4� 设 f( x) = e- ( x- 2 ) 2cos�x和 g ( x ) = 4cos( x- 2)。计算区间 [ 0, 4]上两曲线所围成的平面的面积。 In[ 6] : = f[ x_] = Exp[ - ( x- 2) 2^ Cos[ P i x ] ]; g[ x_] = 4 Cos[ x- 2]; P lot[ { f[ x ], g[ x] }, { x, 0, 4}, P lotSty le- > {RGBCo lo r[ 1, 0, 0] , RGBCo lor[ 0, 0, 1] } ] ; F indRoot[ f[ x] = = g[ x] , { x, 1. 06} ] F indRoot[ f[ x] = = g[ x] , { x, 2. 93} ] N Integ rate[ g[ x] - f[ x], { x, 1. 062 58, 2. 937 42} ] 运行,则图 2为两个函数的图形。 图 2� 两个函数的图形 Out[ 8] = { x� 1. 062 58} Out[ 9] = { x� 2. 937 42} Out[ 10] = 4. 174 13 所求面积为 Out[ 10] = 4. 174 13。 4. 2� 求旋转体的体积 例 5� 求曲线 g( x) = xsin2 x( 0� x� �)与 x轴所围成的图形分别绕 x轴和 y轴旋转所成的旋转体体 积。 In[ 11] : = g[ x_] = x* S in[ x] 2^; P lot[ g[ x] , { x, 0, P i} ] 运行,则输出曲线 g( x)与 x轴所围成的图形,如图 3。 图 3� 曲线 g ( x)与 x轴所围成的图形 作出两个旋转体的图形。 In[ 12] : = x[ r_, t_] = r; y[ r_, t_] = g[ r]* Cos[ t] ; z[ r_, t_] = g[ r]* S in[ t]; Parame tricP lot3D[ { x[ r, t] , y[ r, t] , z[ r, t] }, { r, 0, P i}, { ,t - P ,i P i} ] 运行,则输出绕 x轴旋转所得旋转体的图形,如图 4。 In[ 13] : = x[ r_, t_] = r* Cos[ t] ; 46 y[ r_, t_] = r* S in[ t] ; z[ r_, t_] = g[ r] ; Parame tricP lot3D[ { x[ r, t] , y[ r, t] , z[ r, t] }, { r, 0, P i}, { ,t - P ,i P i} ] 运行,则输出绕 y轴旋转所得旋转体的图形,如图 5。 图 4� 绕 x轴旋转所得旋转体 图 5� 绕 y轴旋转所得旋转体 旋转体画出之后,观察三维立体图形,体积就很容易计算了, 用 Mathematica计算如下: In[ 14] : = Integrate[ P*i g[ x] 2^, { x, 0, P i} ] Out[ 14] = 1 64 �2 ( - 15+ 8�2 ) In[ 15] : = Integrate[ 2 P*i x* g[ x ], { x, 0, P i} ] Out[ 15] = 1 6 �2 ( - 3+ 2�2 ) 5� 结束语 在定积分的讲解过程中,利用 M athematica强大的数值计算、符号运算、动画以及图形功能,一方面 使学习变得轻松易懂,生动有趣;另一方面也能激发学生学习数学和应用数学的兴趣。 [参考文献 ] [ 1] 丁大正. 科学计算强档 M athem a tica4教程 [ M ]. 北京:电子工业出版社, 2002. [ 2] 嘉木工作室. M athem atica应用实例教程 [M ] .北京:机械工业出版社, 2002. [ 3] 吴赣昌. 微积分 (经管类 ) [M ]. 北京:中国人民大学出版社, 2006. �责任编辑: 刘玉成� TheApplication ofM athem atica in Integral GUO Zh i- jun ( L iaon ing Un iversity of Internationa l Business and Econom ics, Dalian, L iaon ing, 116052, China) Abstrac t: IntroducingM athematica so ftw are in the integ ral teach ing and tak ing the advantage o f its pow erfu l num erical calcu lation, symbolic computation, animat ion and g raph funct ion, canm ake the study of the integra l become easy through the examp le, st imu late the interest o f the student to study mathem atics. K ey words:M athemat ic; In tegra;l numerica l calcu lus; animat ion; cartog raphy 47