在科学研究和生产实践中,许多实际问题往往涉及
到解线性方程组。因此,对线性方程组的研究具有十
分重要的意义,其本身也是线性代数的重要内容之一.
前面一章应用克莱姆法则解线性方程组时,所给
线性方程组要满足两个条件:第一,方程的个数应该
等于方程组中未知数的个数;第二,方程组的系数行
列式不能等于零。但是,我们常常遇到的方程组中方
程的个数不等于未知量的个数,有时还遇到方程组中
方程的个数虽然与未知量的个数相等,但是其系数行
列式等于零.在这些情况下,就不能用克莱姆法则直接
求解.本章针对一般形式的线性方程组讨论以下三个
问题(1)如何判别一个线性方程组是否有解;(2)解是
否唯一;(3)如何求解.
线性方程组
知识点
理解 齐次线性方程组有非零解的充要条件
非齐次线性方程组有解的充要条件
理解 齐次线性方程组的解空间,
基础解系及通解的概念,
掌握 基础解系和通解的求法
理解 非齐次线性方程组解的结构及通解的概念
掌握 用矩阵的初等行变换求线性方程组通解的方法
齐次线性方程组
一、齐次线性方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
"
""""
"
"
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
"
#"##
"
"
21
22221
11211
称为齐次线性方程组。 系数
矩阵
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
nx
x
x
X #
2
1 OAX =
方程组的
矩阵形式
二者等价
解 1 1 2 2, , , n nx c x c x c= = =" 12
n
c
cX
c
ξ
⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
#
AX O BX O
几个概念
= = 和 同解
解向量
两个方程同解 A B⎯⎯⎯→行变换当系数矩阵满足
TO )0,,0,0(
0
0
0
"# =
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= 显然是方程组的解;称为零解或平凡解。
若非零向量 Tn
n
aaa
a
a
a
),,,( 21
2
1
"# =
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=ξ
是方程组的解,则称为非零解,
也称为非零解向量。
问题
• 齐次问题除零解外,还存在其他解?
在什么条件下,有非零解?
• 若存在非零解,如何求出全部的解?
齐次线性方程组解的性质
性质1:齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即:
也是解向量。是解向量,则 2121, ξξξξ +
性质2: k R kξ ξ∀ ∈是解向量, ,则 也是解向量。
0,0 21 == ξξ AA
( ) 02121 =+=+ ξξξξ AAA
所以 也是方程组的解向量。21 ξξ +
证:因为 是方程组的解向量,故21,ξξ
证:由于 ( ) ( ) ,00 === λξλλξ AA
故 是方程组的解向量。λξ
{ }OAV == ξξ
由上述性质知,若 都是方程组
的解向量, 为任意数,则
仍是方程组的解。称为通解
rn−ξξξ ,,, 21 "
rn−λλλ ,,, 21 "
rnrn −−+++ ξλξλξλ "2211
齐次线性方程组的全部解向量构成了一个向量空
间,称为方程组的解空间,令
则V 是 的一个子空间, 同时也可称之为A的零子空间nR
从几何上看,这两个性质是清楚的.在n=3时,每个齐次方
程表示一个过原点的平面.于是方程组的解,也就是这些
平面的交点,如果不只是原点的话,就是一条过原点的
直线或一个过原点的平面.以原点为起点,而端点在这样
的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.
定义:若齐次方程组的有限个解 ,,,, 21 sξξξ " 满足:
线性无关;si ξξξ ,,,)( 21 "
方程组的任一解都可由)(ii 线性表示;sξξξ ,,, 21 "
则称 础解系。是齐次方程组的一个基sξξξ ,,, 21 "
sskkk ξξξ +++ "2211
也就是说,我们将解空间的基称为基础解系,此时,通解就是
基础解系的线性组合,即为:
齐次线性方程组基础解系的求法
1.行最简形矩阵:
如果线性方程组有非零解,则它一定有无穷多解,要
求线性方程组的所有解,只需求出解空间的一个基即可
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
"
#"##
"
"
21
22221
11211
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= −
−
−
×
00000
00000
100
010
001
)(1
)(221
)(111
""
#"##"##
""
""
#"##%##
""
""
rnrr
rn
rn
nm bb
bb
bb
I
显然:
设 r(A) =r < n ,且不妨设A 中最左
上角的 r 阶子式不为零。则经有限
次行初等变换,矩阵 A 化为:
IA ≅
同解。
与
OIX
OAX
=
=
行最简形
OIX = 为:
1 11 1 1( )
2 21 1 2( )
1 1 ( )
0
0
0
r n r n
r n r n
r r r r n r n
x b x b x
x b x b x
x b x b x
+ −
+ −
+ −
+ + + =⎧⎪ + + + =⎨⎪ + + + =⎩
"
"
""""
"
1 11 1 1( )
2 21 1 2( )
1 1 ( )
( )
( )
( )
r n r n
r n r n
r r r r n r n
x b x b x
x b x b x
x b x b x
+ −
+ −
+ −
= − + +⎧⎪ = − + +⎨⎪ = − + +⎩
"
"
""""
"
rxxx ,,, 21 "
真未知量
nrr xxx ,,, 21 "++
自由未知量
rxxx ,,, 21 "
nrr xxx ,,, 21 "++
由自由未知量
惟一确定
{ }
:
,,, 21
基为个向量,最简单的一组其基含有
构成一向量空间,)(
rn
xxxV nrr
−
= ++ "
rneee −,,, 21 "
1
2
r
x
x
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
#
( )Tr
n
bbb
x
x
x
0,,0,1,,,, 12111
2
1
1 ""# −−−=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=ξ
,
1
21
11
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
rb
b
b
# ,
2
22
12
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
rb
b
b
#
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
)(
)(2
)(1
rnr
rn
rn
b
b
b
#
( )Trnrrnrn
n
rn bbb
x
x
x
1,,0,0,,,, )()(2)(1
2
1
""# −−−− −−−=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=ξ
"
1
2
1
0
,
0
r
r
n
x
x
x
+
+
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜=⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
## ,
0
1
0
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
#
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
1
0
0
#" "
线性无关;rni −ξξξ ,,,)( 21 "
线性表示。任一解都可由 rnii −ξξξ ,,,)( 21 "
0 1 1 2 2 -r r n n rc c cξ ξ ξ ξ+ += + +"
1 2 1( , , , , , )
T
r r nc c c c c AX Oξ += =" "设 为方程 的任意解,令
0 0
1 2, , , ,r r nn r c c c n r
ξ ξ
ξ+ +− −"
由齐次线性方程组的性质知 也是方程组的解向量,且
的后 个分量为 与 的后 个分量相等。
0 1 1 2 2 .r r n n rc c cξ ξ ξ ξ ξ+ + −= = + + +"
由于自由未知量的一组确定值唯一决定方程组得解向量,故有
就是一组基础解系。是解空间的一组基,也rn−∴ ξξξ ,,, 21 "
1 2, , , -n r n r−ξ ξ ξ" 个的后 分 组 线 无关量 成的向量 性
从推导过程可以看出:基础解系不惟一,但所含向量个数相等,
都等于 n n -- r(Ar(A).).
综上有:
。数为础解系所含解向量的个则它有基础解系,且基
,的秩组的系数矩阵定理:若齐次线性方程
rn
nrArA
−
<=)(
必须牢记:基础解系所含向量的个数为
未知数个数减系数矩阵的秩。
推论1:对齐次线性方程组,有
若 r(A)=n 则方程组有惟一零解;
若 r(A)=rm时,方程仅有零解
2) 当 n>m时,方程必有非零解
3) 当 m>n时,方程仅有零解
4) 当 m>n时,方程必有非零解
例 设A为n阶矩阵,若任意n维列向量均为齐次AX=0
的解,则 A=0
Idea 1: aij=0
Idea 2: A=0B-1
Idea 3: r(A)=0
问题
推论2
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