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§3.1齐次方程组

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§3.1齐次方程组 在科学研究和生产实践中,许多实际问题往往涉及 到解线性方程组。因此,对线性方程组的研究具有十 分重要的意义,其本身也是线性代数的重要内容之一. 前面一章应用克莱姆法则解线性方程组时,所给 线性方程组要满足两个条件:第一,方程的个数应该 等于方程组中未知数的个数;第二,方程组的系数行 列式不能等于零。但是,我们常常遇到的方程组中方 程的个数不等于未知量的个数,有时还遇到方程组中 方程的个数虽然与未知量的个数相等,但是其系数行 列式等于零.在这些情况下,就不能用克莱姆法则直接 求解.本章针对一般形式的线性方程组讨论...

§3.1齐次方程组
在科学研究和生产实践中,许多实际问题往往涉及 到解线性方程组。因此,对线性方程组的研究具有十 分重要的意义,其本身也是线性代数的重要内容之一. 前面一章应用克莱姆法则解线性方程组时,所给 线性方程组要满足两个条件:第一,方程的个数应该 等于方程组中未知数的个数;第二,方程组的系数行 列式不能等于零。但是,我们常常遇到的方程组中方 程的个数不等于未知量的个数,有时还遇到方程组中 方程的个数虽然与未知量的个数相等,但是其系数行 列式等于零.在这些情况下,就不能用克莱姆法则直接 求解.本章针对一般形式的线性方程组讨论以下三个 问题(1)如何判别一个线性方程组是否有解;(2)解是 否唯一;(3)如何求解. 线性方程组 知识点 理解 齐次线性方程组有非零解的充要条件 非齐次线性方程组有解的充要条件 理解 齐次线性方程组的解空间, 基础解系及通解的概念, 掌握 基础解系和通解的求法 理解 非齐次线性方程组解的结构及通解的概念 掌握 用矩阵的初等行变换求线性方程组通解的方法 齐次线性方程组 一、齐次线性方程组 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa " """" " " ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mnmm n n aaa aaa aaa A " #"## " " 21 22221 11211 称为齐次线性方程组。 系数 矩阵 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nx x x X # 2 1 OAX = 方程组的 矩阵形式 二者等价 解 1 1 2 2, , , n nx c x c x c= = =" 12 n c cX c ξ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ # AX O BX O 几个概念 = = 和 同解 解向量 两个方程同解 A B⎯⎯⎯→行变换当系数矩阵满足 TO )0,,0,0( 0 0 0 "# = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 显然是方程组的解;称为零解或平凡解。 若非零向量 Tn n aaa a a a ),,,( 21 2 1 "# = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =ξ 是方程组的解,则称为非零解, 也称为非零解向量。 问题 • 齐次问题除零解外,还存在其他解? 在什么条件下,有非零解? • 若存在非零解,如何求出全部的解? 齐次线性方程组解的性质 性质1:齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即: 也是解向量。是解向量,则 2121, ξξξξ + 性质2: k R kξ ξ∀ ∈是解向量, ,则 也是解向量。 0,0 21 == ξξ AA ( ) 02121 =+=+ ξξξξ AAA 所以 也是方程组的解向量。21 ξξ + 证:因为 是方程组的解向量,故21,ξξ 证:由于 ( ) ( ) ,00 === λξλλξ AA 故 是方程组的解向量。λξ { }OAV == ξξ 由上述性质知,若 都是方程组 的解向量, 为任意数,则 仍是方程组的解。称为通解 rn−ξξξ ,,, 21 " rn−λλλ ,,, 21 " rnrn −−+++ ξλξλξλ "2211 齐次线性方程组的全部解向量构成了一个向量空 间,称为方程组的解空间,令 则V 是 的一个子空间, 同时也可称之为A的零子空间nR 从几何上看,这两个性质是清楚的.在n=3时,每个齐次方 程表示一个过原点的平面.于是方程组的解,也就是这些 平面的交点,如果不只是原点的话,就是一条过原点的 直线或一个过原点的平面.以原点为起点,而端点在这样 的直线或平面上的向量显然具有上述的性质. 定义:若齐次方程组的有限个解 ,,,, 21 sξξξ " 满足: 线性无关;si ξξξ ,,,)( 21 " 方程组的任一解都可由)(ii 线性表示;sξξξ ,,, 21 " 则称 础解系。是齐次方程组的一个基sξξξ ,,, 21 " sskkk ξξξ +++ "2211 也就是说,我们将解空间的基称为基础解系,此时,通解就是 基础解系的线性组合,即为: 齐次线性方程组基础解系的求法 1.行最简形矩阵: 如果线性方程组有非零解,则它一定有无穷多解,要 求线性方程组的所有解,只需求出解空间的一个基即可 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mnmm n n aaa aaa aaa A " #"## " " 21 22221 11211 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − × 00000 00000 100 010 001 )(1 )(221 )(111 "" #"##"## "" "" #"##%## "" "" rnrr rn rn nm bb bb bb I 显然: 设 r(A) =r < n ,且不妨设A 中最左 上角的 r 阶子式不为零。则经有限 次行初等变换,矩阵 A 化为: IA ≅ 同解。 与 OIX OAX = = 行最简形 OIX = 为: 1 11 1 1( ) 2 21 1 2( ) 1 1 ( ) 0 0 0 r n r n r n r n r r r r n r n x b x b x x b x b x x b x b x + − + − + − + + + =⎧⎪ + + + =⎨⎪ + + + =⎩ " " """" " 1 11 1 1( ) 2 21 1 2( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) r n r n r n r n r r r r n r n x b x b x x b x b x x b x b x + − + − + − = − + +⎧⎪ = − + +⎨⎪ = − + +⎩ " " """" " rxxx ,,, 21 " 真未知量 nrr xxx ,,, 21 "++ 自由未知量 rxxx ,,, 21 " nrr xxx ,,, 21 "++ 由自由未知量 惟一确定 { } : ,,, 21 基为个向量,最简单的一组其基含有 构成一向量空间,)( rn xxxV nrr − = ++ " rneee −,,, 21 " 1 2 r x x x ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ # ( )Tr n bbb x x x 0,,0,1,,,, 12111 2 1 1 ""# −−−= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =ξ , 1 21 11 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − rb b b # , 2 22 12 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − rb b b # ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − )( )(2 )(1 rnr rn rn b b b # ( )Trnrrnrn n rn bbb x x x 1,,0,0,,,, )()(2)(1 2 1 ""# −−−− −−−= ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =ξ " 1 2 1 0 , 0 r r n x x x + + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜=⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠ ## , 0 1 0 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ # ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 0 #" " 线性无关;rni −ξξξ ,,,)( 21 " 线性表示。任一解都可由 rnii −ξξξ ,,,)( 21 " 0 1 1 2 2 -r r n n rc c cξ ξ ξ ξ+ += + +" 1 2 1( , , , , , ) T r r nc c c c c AX Oξ += =" "设 为方程 的任意解,令 0 0 1 2, , , ,r r nn r c c c n r ξ ξ ξ+ +− −" 由齐次线性方程组的性质知 也是方程组的解向量,且 的后 个分量为 与 的后 个分量相等。 0 1 1 2 2 .r r n n rc c cξ ξ ξ ξ ξ+ + −= = + + +" 由于自由未知量的一组确定值唯一决定方程组得解向量,故有 就是一组基础解系。是解空间的一组基,也rn−∴ ξξξ ,,, 21 " 1 2, , , -n r n r−ξ ξ ξ" 个的后 分 组 线 无关量 成的向量 性 从推导过程可以看出:基础解系不惟一,但所含向量个数相等, 都等于 n n -- r(Ar(A).). 综上有: 。数为础解系所含解向量的个则它有基础解系,且基 ,的秩组的系数矩阵定理:若齐次线性方程 rn nrArA − <=)( 必须牢记:基础解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩阵的秩。 推论1:对齐次线性方程组,有 若 r(A)=n 则方程组有惟一零解; 若 r(A)=rm时,方程仅有零解 2) 当 n>m时,方程必有非零解 3) 当 m>n时,方程仅有零解 4) 当 m>n时,方程必有非零解 例 设A为n阶矩阵,若任意n维列向量均为齐次AX=0 的解,则 A=0 Idea 1: aij=0 Idea 2: A=0B-1 Idea 3: r(A)=0 问题 推论2
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分类:理学
上传时间:2013-01-06
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