null第15章第15章结构塑性分析的极限荷载第一节 概述 第一节 概述 1.结构的弹塑性 普通钢筋拉伸曲线 null考虑图所示材料的路径在弹性阶段I以后的的II、III两条路经上的特性和承载能力。这两条路经的曲线显示一个共同的点，材料产生明显变形且有残余应变，但仍有承载能力。残余变形是材料不能恢复的变形。null结构的弹性设计方法，是以只要结构上有一个截面的一点的应力达到材料的许用应力 为标志的。即结构上任一点的应力 和应变 都不许超过材料的屈服应力 和屈服应变 。即：(a)即：许用荷载法。 (b)null2.理想弹塑性材料假设 (a)线性强化模型(b)刚塑性模型null(c)理想弹塑性模型各类简化曲线模型null(2)加载时，材料的 曲线分弹性I、塑性II两个阶段。理想弹塑性材料假定： (1)材料的拉压性能相同(3)卸载时，卸载点在I、II两个阶段上是不同的。理想弹塑性假定，材料加载时呈弹塑性，卸载时呈弹性。null第二节 极限弯矩和塑性铰(a)纯弯曲 矩形截面梁(b)(c)null1、弹性极限弯矩Ms 由材料力学知，在线弹性范围内，处于纯弯曲受力状态的梁的任一截面上只有与外力偶相等的弯矩产生，截面在变形后仍保持平截面，即截面上各层纤维沿梁轴线的伸缩与截面高度成正比，或说截面上的应变按截面高度线性分布，在中性轴处的应变等于零。 按结构的弹性设计方法，当截面的最外层纤维达到材料的屈服应力，即 (a)null时，认为该截面已达到截面的弹性极限状态，此时截面的弯矩即为该截面的弹性极限弯矩。用Ms替换式(a)中的M，即得： (b)对图示矩形截面梁，代入 得矩形截面弹性极限弯矩： (c)null线弹性状态(a)弹塑性及塑性流动阶段(b)null2、极限弯矩Mu 当截面达到弹性极限状态外力偶继续增大M>Ms以后，截面上的应变分布仍与截面高度呈线性关系，即平截面假定仍然适用，见图14-2-1(c)。但截面上的应力分布不再与截面高度保持线性关系。 (1)截面的弹塑性阶段(2)截面的塑性流动阶段矩形截面在塑性极限状态的极限弯矩 (d)null(3)塑性铰概念当截面出现并不断扩大塑性区进入弹塑性发展阶段，直到整个截面被塑性区充满的塑性极限状态止，截面上应变的发展始终与截面高度成线性关系。即尽管这一阶段塑性区上的应力停止在屈服应力值上，但应变仍与弹性核部分的应变分布斜直线共线发展。因此，当截面达到塑性极限状态时，比弹性极限状态的应变值显著增大，由此产生的是该截面两侧无限靠近的两个截面绕中性轴发生相对的转动的相对角位移效应。null塑性铰的以下特征：(1)塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。
(2)塑性铰是单向铰，只能使其两侧按与荷载增加（弯矩增大）相一致方向发生有限的转动。
(3)塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。 综上所述，截面上各点应力均等于屈服应力的应力状态、截面达到极限弯矩、截面形成塑性铰，均表示该截面达到其塑性流动的极限状态。 null3.具有一个对称轴截面的极限弯矩 (1)截面在塑性极限状态的中性轴位置 截面上的应力应满足： (a)null在塑性极限状态时截面上的轴力应满足： 即截面在塑性极限状态的中性轴平分截面总面积A，即为截面的等面积轴。 上式只有在 成立时才能满足，即受拉区的面积须等于受压区的面积。 null(2)截面的极限弯矩Mu 已知在塑性极限状态时截面的中性轴位置，可推导截面的极限弯矩如下。弯矩等于截面上应力对中性轴的合力矩，即： (14-2-1) 式中积分为截面的面积净矩，可写成： 则极限弯矩可表示为： (14-2-2) null弹性极限和塑性极限之间的弹塑性阶段，中性轴界于截面的形心轴和等面积轴之间。 以上所讨论的是梁在纯弯受力和变形状态下的截面的两个阶段的极限状态和相应的极限弯矩。对非纯弯状态梁，通常剪力对梁的承载力的影响可忽略。所以仍可利用以上概念和结果。利用式(14-2-1)或(14-2-2)计算截面极限弯矩。null第三节 梁的极限荷载 研究梁的极限荷载，是寻找能使梁结构达到塑性极限状态时的荷载值，也就是梁结构在丧失承载力之前所能承受的最大荷载值。在上一节讨论过的截面极限状态（极限弯矩）的基础上，本节讨论结构的极限状态（极限荷载）。null1.静定梁的极限荷载 (a)(b)(c)null(d)(e)null(1).结构的极限状态 极限荷载是相应于结构极限状态时的荷载。 当MCMu。例14-3-1 分析图(a)所示超静定梁的极限状态和极限荷载。已知Mu`>Mu。(b) (a) null(c)可能机构I (d)可能极限弯矩图I null(e)可能机构II (f)可能极限弯矩图II null(g)可能机构III (h)不可能 null当梁在极限状态下可能出现塑性铰的所有截面可预先判定，并可能的塑性铰的数目大于破坏机构需要的塑性铰数目时，可以得出按需要的塑性铰的数目的全部组合。假定每一种组合是一种可能得极限状态，即可按基本方法一一求得相应的可能得极限荷载。然后通过比较，其中最小荷载值既是梁得极限荷载。此中求极限荷载的方法可称作穷举法。
解： 1)基本方法用破坏机构法 解： 1)基本方法用破坏机构法 可能机构I： (a) 注意：在突变截面处的塑性铰的极限弯矩为较小极限弯矩。 null可能机构II： 由几何关系知： 代入上式，得：
(b) null可能机构III：
(c) null当 > ，机构I为破坏机构。 由式(b)知， 当 < < 机构II为破坏机构。 当 = 机构I、II都是相应的破坏机构。 null图(d)、(f)、(h)是利用极限状态时可能的极限弯矩图由平衡条件进行计算的方法。由图(h)所示极限弯矩图的不可能将其排除。 由图(f)分析可知，当 < < B截面弯矩值为： 时，< null因此，图(f)所示的可能极限弯矩图成立。由平衡条件得： 即： 当 = 由图(f)按与上相同的过程可计算出： null也可将图(f)中B处的弯矩竖标与D处的0鼠标连辅助线，由平衡条件得：
解得结果与前相同。 例14-3-2 设图(a)所示连续梁下侧受拉（正弯矩）时，AB、BC的极限弯矩为Mu，CD跨为2Mu；上侧受拉（负弯矩）时，均为相应跨下侧受拉极限弯矩的1.2倍。求该梁的极限荷载。 例14-3-2 设图(a)所示连续梁下侧受拉（正弯矩）时，AB、BC的极限弯矩为Mu，CD跨为2Mu；上侧受拉（负弯矩）时，均为相应跨下侧受拉极限弯矩的1.2倍。求该梁的极限荷载。 (a)null(b)可能破坏机构I (c) 可能破坏机构II (d)可能破坏机构III 解： 解： 可能机构I： 因为图(a)所示连续梁的可能破坏机构可全部列出，可用穷举法。见图(b)、(c)、(d)。用破坏机构法计算各可能的极限荷载如下： 可能机构II： (a)(b)式(b)可写成： (c)null可能机构III： (d)比较取最小荷载值，即机构I为连续梁极限状态时的破坏机构，极限荷载为：null因为该计算结果大于前面计算的极限荷载，且该梁不可能另有截面出现塑性铰，因其他截面的弯矩值均小于C、D两截面的弯矩值，所以图14-3-1(e)所示为梁的真实破坏机构，由其计算的荷载即为梁的极限荷载。 图14-3-2 第4节 第4节 判定极限荷载的一般定理null本节给出几个判定极限荷载的一般定理。 判定极限荷载一般定理的限定条件：1)限定给结构加载的方式为按比例加载2)限定仅在梁、刚架一类以弯曲变形为主的
结构的范围内。并假定：a.材料为理想弹塑性材料。
b.轴力和剪力对极限荷载的影响可以
忽略不计。null1、极限状态下的结构应满足的条件平衡条件2)屈服条件（内力局限条件）3)单向机构条件在极限状态下，结构的整体、或任一局 部都满足静力平衡条件。在极限状态下，结构的任一截面上的
弯矩值都不能超过截面的极限弯矩。在极限状态下，结构中有足够多的截面的弯矩值达到其极限弯矩，形成塑性铰，使结构成为机构，并可按荷载增加的方向作单向机构运动（刚体位移）。null下面给出两个有意义的术语。1)、可接受荷载 在结构的所有截面的弯矩都不超过截面极限弯矩，且结构处于任一内力可能的受力状态下，由静力平衡条件求得的荷载，叫可接受荷载。2)、可破坏荷载 由结构的任一可能的单向机构，用静力平衡条件求得的荷载，叫可破坏荷载。注意： 两个求极限荷载的基本方法，及极限弯矩平衡法和破坏机构法，都是静力平衡条件。null可接受荷载和可破坏荷载分别满足结构
极限状态充要条件中的两个条件。 即，——满足1)、2)； ——满足1)、3)。 结构在极限状态下的极限荷载 ，应同时是 和null2、定理及证明（1）基本定理：可破坏荷载恒大于可接受荷载。即： 证明：先对结构的任一可能破坏机构的单向刚体虚位移，可建立虚功方程：（a）——表示第i个塑性铰的极限弯矩；——表示第i个塑性铰的相对角位移或
角位移。null再取结构的任一可接受荷载 ，让该荷载在式(a)破坏机构的相同的虚位移上作虚功，虚功方程为：（b）——为结构在可接受荷载作用下，与所取机构的第i个塑性铰对应处的弯矩值（满足屈服条件）。该弯矩值应以实际的受拉侧与机构相应角位移的相对关系确定正负号，也就是说，式(b)右侧的和式是代数和。null——为所取机构第i个塑性铰的角位移。因为该角位移是与式(a)取自同一个机构的虚位移，自然也可取其绝对值，以利与(a)式的比较。由于（或可接受荷载作用下的弯矩图，即图）满足屈服条件，即应有下式成立：(c)，并同取和号，现将式(c)等号两侧同乘以 得：null 设结构有两种不同的极限状态，有与
之相应的两个不等的极限荷载比较式(a)、(b)，上式即为：即 成立 证毕。2.唯一性定理（单值定理）：
结构的极限荷载是唯一的。证明：。根据极限荷载应同时满足既是可破坏荷载又是可接受荷载，先设 为可破坏荷载，为可接受荷载，由基本定理知应有：和 （a）null为可破坏荷载，为可接受荷载，再设（b）(a)、(b)两式应同时成立，否则， 、
均为极限荷载的假设不能成立。而使该两不等式同时成立的条件是：（c）即， 和 若为极限荷载，应是相等的。也即结构的极限荷载是唯一的。证毕。null3.上限定理（极小定理）：
可破坏荷载是极限荷载的上限。或，极限荷载是可破坏荷载中的极小者。即：（d）4.下限定理（极大定理）：
可接受荷载是极限荷载的下限。或，极限荷载是可接受荷载中的极大者。即：（e）null证明： 因为极限荷载同时是可接受荷载和可破坏荷载，当考虑为可接受荷载时，由基本得式(D)： 上限定理证毕。定理(A)同理，当考虑 为可破坏荷载时，由基本下限定理证毕。得式(E)：定理(A)null以上四个定理，即是判定极限荷载的一般定理。其中基本定理用以证明上限和下限定理。其它三个定理则视所分析结构的实际情况选用。
穷举法依据上限（极小）定理和唯一性定理。当结构的所有可能破坏机构被找出后，可得相应的所有可能的可破坏荷载，其中极小者一定是极限荷载。
当结构的可能破坏机构不能确定被全部找出，或全部找出很麻烦时，可利用上限和下限定理，由试算法确定结构的极限荷载。null例 求图(a)所示单跨梁的极限荷载 。 已知梁截面的极限弯矩 图(a)解法1：依据极小定理。对图(b)所示的破坏机构虚位移图，建立虚功方程：null图(b)均布荷载虚功：即， 荷载虚功= 极限弯矩虚功= null虚功方程：整理后，得：（a）根据极限荷载判定定理中的极小定理，即，极限荷载是可破坏荷载中的极小值。对式(a)求一阶导数应满足的极值条件，可求得x(C截面处塑性铰位置)。null解方程：整理得：（b）解方程（b），得：舍去无意义根，得：（c）将式（c）代回式（a），得：（d）null解法2：依据极大定理。设梁在可接受荷载 的作用下，有图(c)所示弯矩图形状满足屈服条件。梁端A弯矩峰值位置确定，令其等于极限弯矩；设跨中弯矩最大值发生在截面C处，当该最大弯矩值等于极限弯矩值时，梁上任意截面的弯矩都不会超过极限弯矩。图(c)null1.根据叠加原理，可求得梁的支座反力为：（a）取C截面以右，C截面弯矩为：将式(a)代入，并令 整理，得：（b）null由极大定理，即极限荷载是可接受荷载的极大值， 由 的极值条件求x。 （c）解方程（c），得：舍去不合理根，得：（d）null因为式(d)所得x为可接受荷载为极大值时的塑性铰位置，将其代入式(b)，则式(b)的可接受荷载既是结构的极限荷载。即：结果同前。null例 用试算法求图示等截面连续梁的
极限荷载 图（a）null图（b）图（c）null解：假定梁第一跨在可破坏荷载 作用下丧失承载力，即第一跨成为可能的破坏机构，或如图(b)所示的可能极限弯矩图。由该可能极限弯矩图的静力平衡条件可得：因荷载作用点k截面弯矩 又 所以： null验算屈服条件：
见图(c)弯矩图，可由解超静定结构的方法的BC、CD两跨的弯矩图，其上无弯矩超出极限弯矩值，满足屈服条件。所以该连续梁的极限荷载既是：null说明：
试算法分为两个大的计算步骤。先计算一个或若干个（不是全部）可能的可破坏荷载；然后由其中较小可破坏荷载对应的可能极限弯矩图验算其屈服条件。若满足，既是结构的极限荷载。若不满足，则要另寻找新的可能破坏机构，重复这两个步骤。
用试算法可求的极限荷载的近似解。即用极大、极小定理逼近方法。第五节第五节刚架的极限荷载 null确定刚架的极限荷载是比较复杂的。但当刚架中的轴力较小，如低层刚架，可忽略轴力的影响时，使用与梁的极限荷载相同的计算方法。 null1、刚架的可能破坏机构 分析图14-5-1(a)所示刚架，当只考虑弯曲变形对钢架极限荷载的影响时，可能的破坏机构的形式可分为两大类，即基本机构和组合机构。null(a) null1)基本机构：梁机构，侧移机构， 结点机构。 刚架中单根杆件独立形成的破坏机构叫梁机构。如图(c)、(d)、(e)。 (c)梁机构II null (d)梁机构III (e)梁机构IV null刚架中的某一层中的所有柱端都形成塑性铰时，刚架整体将发生侧移。如图(f)，称为侧移机构。 (f)侧移机构V null (b)结点机构I 当刚架中汇交于某一个结点的所有杆端（近端）及相应的远端都形成塑性铰时，该结点可单独转动，如图(b)所示，称为结点机构。 null2)组合机构 有两个及两个以上的基本机构组合而成的机构称组合机构。 (a) (II、V)组合VI (b) (II、IV、V)组合VIInull(c) (IV、V)组合VIII (d) (III、V)组合VIIII null3)刚架可能破坏机构选择的原则和方法 刚架极限荷载的确定主要用试算法。即先选择一部分可能的破坏机构，计算相应的各可破坏荷载，取其中最小值验算屈服条件。 null判定刚架可能破坏机构原则：无论是基本机构还是组合机构，机构一定要满足是一个自由度的可变体系。即可由一个坐标参变量确定其刚体位移。 选择可能破坏机构的方法：基本机构应全部找出，然后从中选择组成组合机构。 null4)刚架基本机构数目的确定方法： 见图14-5-1(a)所示刚架上短线标注的截面均是可能出现塑性铰的截面，设刚架上可能出现塑性铰的截面数为h，则本例刚架的h=11。 (a) null在寻找刚架的基本机构时，可先由式J=h-n得出刚架应有的基本机构数，然后逐一列出。再选择基本机构组合的组合机构。 设刚架的超静定次数为n，则本例刚架的n=6。设刚架基本机构数为J，则本例刚架的J=h-n=11-6=5，既有5个基本机构。 null2、刚架极限荷载计算举例（试算法） 例14-5-1 图(a)所示刚架各杆的极限弯矩 相同，求刚架的极限荷载 。 (a) null解：1、选择可能的破坏机构 根据荷载情况，可知两个基本机构为图(b)、(c)所示I、II。 (b) 梁机构I (c) 侧移机构II null组合机构即是这两个基本机构的组合，见图(d)所示III。 (d) 组合机构III 返回null注意，机构III结点D的塑性铰消失。观察该机构的形成过程，如果该机构是刚架的破坏机构，图示的机构位移趋势符合单向机构条件。在刚架的弹塑性发展过程中该位移趋势是，杆CE与杆CB的弦转角和结点C的角位移方向相反，弦转角有增大两杆相对角位移趋势；而杆DE、DA两杆的弦转角方向与结点D的角位移方向相同，弦转角有减小两杆相对角位移趋势。比较这两种情况，当刚架成为机构时，后者两杆无相对转角，未达到极限弯矩。 null2、选择计算可破坏荷载 组合机构III：图(d) 侧移机构II：图(c) null3、验算侧移机构的屈服条件 由于侧移机构中交于塑性铰处的杆端的弯矩为极限弯矩 已知，只需求出衡量中点E结面上的弯矩，并满足 ，该破坏机构即是结构极限状态时的破坏机构。 null由直杆的区段弯矩叠加法，得： 满足屈服条件。 根据极限荷载的唯一性定理，梁机构不需再做计算。即： null图(e)即是刚架的极限弯矩图。 (e)侧移机构弯矩图 null例14-5-2 计算图示单层两跨刚架的极限荷载 。各杆的极限弯矩如图中所注。 null解：1、绘制可能的破坏机构 (a)梁机构I (b)梁机构II null(c)侧移机构III (d)E结点机构IV (e)组合机构V 返回null2、选择计算组合机构V的可破坏荷载 见图(d)，在图中所示的刚体虚位移图上，荷载做总虚功： 塑性铰做总虚功： null代入虚功方程，得： 3、验算组合机构V的屈服条件 先绘出与机构V相应的部分弯矩图，见图(f)。观察该弯矩图，当短线所注杆端截面的弯矩不超过各自的极限弯矩，该弯矩图满足屈服条件。 null(f) 求短线所注截面的弯矩值如下。 1)求 、 见图(h) null(h) 由HD杆的平衡条件 可得H端的剪力 null将其反向作用到杆EH上，由杆EH的平衡条件 可得： (上侧受拉) 再由结点E的力矩平衡条件，得出： null2)求 、 同理，分别由GE、FG段的平衡条件，得： (外侧受拉) 组合机构V的弯矩图为图(g)所示，满足屈服条件。所以该弯矩图为刚架的极限弯矩图，极限荷载为： null(g) 说明：在选择可能破坏机构时，可比较荷载虚功和极限弯矩虚功。 null1.极限弯矩总虚功与荷载总虚功相比，其比值越小，可破坏荷载越小；比值越大，可破坏荷载越大。 2.组合结构组合后塑性铰闭合越多，可能使极限弯矩做虚功减少。
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