高三
数学
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第一轮复习函数拔高复习
复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本
方法
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体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
复习难点：树立数形结合的思想，函数方程的思想解决有关问题。
主要内容：
（一）基本问题
1.定义域
2.对应法则
3.值域
4.图象问题
5.单调性
6.奇偶性（对称性）
7.周期性
8.反函数
9.函数值比大小
10.分段函数
11. 函数方程及不等式
（二）基本问题中的易错点及基本方法
1．集合与映射
<1>认清集合中的代
表
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元素
<2>有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。还应注意空集的情形，验算端点。
2．关于定义域
<1>复合函数的定义域，限制条件要找全。
<2>应用问题实际意义。
<3>求值域，研究函数性质（周期性，单调性，奇偶性）时要首先考察定义域。
<4>方程，不等式问题先确定定义域。
3．关于对应法则
注：<1>分段函数，不同区间上对应法则不同
<2>联系函数性质求解析式
4．值域问题
基本方法：<1>化为基本函数——换元（新元范围）。化为二次函数，三角函数，……并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。
<2>均值不等式：——形如和，积，及
形式。注意识别及应用条件。
<3>几何背景：——解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。
易错点：<1>考察定义域
<2>均值不等式使用条件
5．函数的奇偶性，单调性，周期性。
关注问题：<1>判定时，先考察定义域。
<2>用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x1及x2。
<3>求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。
<4>由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。
<5>“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，求出函数周期。
6．比大小问题
基本方法：<1>粗分。如以“0”，“1”，“-1”等为分界点。
<2>搭桥 <3>结合单调性，数形结合
<4>比差、比商 <5>利用函数图象的凸凹性。
7．函数的图象
<1>基本函数图象
<2>图象变换 ①平移 ②对称（取绝对值） ③放缩
易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。如下：
取绝对值（对称）与平移
例：由
图象，经过如何变换可得下列函数图象？
<1>
<2>
分析：<1>
<2>
评述：要由
得到
只能按上述顺序变换，两顺序不能交换。
平移与关于y=x对称变换
例：y=f(x+3)的反函数与y=f-1(x+3)是否相同？
分析：①
的反函数。
②
∴两个函数不是同一个函数（也可以用具体函数去验证。）
（三）例题：
例1．判断函数
的奇偶性及周期性。
分析：<1>定义域：
∴ f(x)定义域关于原点对称，如图：
又
∴ f(-x)=-f(x),
∴ f(x)周期(的奇函数。
评述：研究性质时关注定义域。
例2．<1>设f(x)定义在R上的偶函数，且
，又当x∈[-3,-2]时，f(x)=2x，求f(113.5)的值。
<2>已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解：<1>∵
∴
， ∴ f(x)周期T=6，
∴ f(113.5)=f(6(19-0.5)=f(-0.5).
当x∈(-1,0)时，x+3∈(2,3).
∵ x∈(2,3)时，f(x)=f(-x)=2x.
∴ f(x+3)=-2(x+3).
∴
,
∴
.
<2>（法1）（从解析式入手）
∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1),
∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2.
∵ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.
∴ f(x)=3-x, x∈(1,2).
小结：由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。
（法2）（图象）
f(x)=f(x+2)
如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.
x∈(-1,0)→f(x)=-x+1.
x∈(1,2)→f(x)=-(x-2)+1=3-x.
注：从图象入手也可解决，且较直观。
例3．<1>若x∈(1,2)时，不等式(x-1)2已知二次函数f(x)=x2+ax+5对任意t都有f(t)=f(-4-t)，且在闭区间Z[m,0]上有最大值5，最小值1，求m的取值范围。
分析：<1>设 y1=(x-1)2, y2=logax
x∈(1,2)，即x∈(1,2）时，曲线y1在y2的下方，如图：
∴ a=2时，x∈(1,2)也成立，∴a∈(1,2].
小结：①数形结合 ②变化的观点
③注意边界点，a=2，x取不到2， ∴仍成立。
<2>∵f(t)=f(-4-t), ∴ f(-2+t)=f(-2-t)
∴ f(x)图象关于x=-2对称， ∴ a=4, ∴ f(x)=x2+4x+5.
∴ f(x)=(x+2)2+1, 动区间：[m,0],
∵ x∈[m,0], [f(x)]max=5, [f(x)]min=1,
∴ m∈[-4,0].
小结：函数问题，充分利用数形结合的思想，并应用运动变化的观点研究问题。如二次函数问题中常见问题，定函数动区间及动函数和定区间，但两类问题若涉及函数最值，必然要考虑函数的单调区间，而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位置。以发展的眼光看，还可解决一类动直线定曲线相关问题。
例4．已知函数
(I)判定f(x)在x∈(-∞,-5)上的单调性，并证明。
(II)设g(x)=1+loga(x-3)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围。
分析：(I)任取x10 且(x1+5)(x2-5)>0
,
∴ 当a>1时，f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)单调递增，
当00,∴f(x)单调递减。
(II)若f(x)=g(x)有实根，即：
。
∴
∴ 即方程：
有大于5的实根。
（法1）
（∵ x>5）
∴
.
（法2）（实根分布）
(1)有大于5的实根，
方程(1)化为：ax2+(2a-1)x-15a+5=0.
∵ a>0, ∴Δ=64a2-24a+1≥0.
①有一根大于5
.
②两根均大于
.
小结：实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时，具体步骤为：①二次函数图象开口方向。②图象对称轴的位置。③图象与x轴交点。④端点函数值的符号。此题(2)中，也可以用韦达定理解决。
小结：
函数部分是高考考察重点内容，应当对其予以充分的重视，并配备必要例题，理顺基本方法体系。
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