时域仿真的区间算法

第27卷第7期 2007年3月 中国电机工程学报 ProceedingsoftlleCSEE v01．27No．7M越2007 @2007Cllin．Soc．fbrElec．Eng 文章编号：0258—8013(2007)07．0040．05中图分类号：1M74文献标识码：A 学科分类号：470．40 计及不确定性的电力系统时域仿真的区间算法 王守相，郑志杰，王成山 (天津大学电气与自动化工程学院，天津市南开区300072) PowerSystem’nmeDomainSi】mlllati蚰UnderUn∞rtaintyB嬲edonIntervalMethod WANGShou—xiang，Z腼NG摊-jie，WANGCheng—shan (SchoolofElectricalEnginee血g柚dAutomalion，Ti刎inuIliversity'NaIll【aiDis疵t，Ti删in300072，ClliIla) ABSTRACT．Duet0meapp∞】【iII谢on柚dmeasl鹏ment errorstomodelpar锄eters，mereisuncenaintyiIlmep盯ameter ValueofpowersystemsiIrmlationmodel．Inordertodealwim meuIlcertailltyproblemiIlpo、Ⅳersystemsimulalion，iIlterval analysismemodisiIl删ucedintllisp{Iper．The11Ilcertain哆of modelpar锄etersisdescrit，edbyiIlten，als柚deachVariablein equationsisreplacedwitllintervalVariable．Thus，timedomaill siII】mationuderuncertail啊istransfom忙dtotlleSol、rillgof inten，aldiH．erentialequations，wllichIleedsacenainiIlterval integmlmethod．hlmispaper'iIlten，alThylorseriesexp如sion metllodispmposedtosolVeiIlten，aldiffere埘alequations柚d po、ⅣersystemtiIlledomainsiIIlIlladonunderuIlc洲n哆baSed oniIl把rvalmethodispresented．TtlismemodaⅡowsarigomus esdmationof山eiIlnu朗ceofeitherfbnIlofllIlcertain哆and olllyneedsonesiI肌la_tion．Itisco珈pu谢onallyveryfast co埘【p删wimM0nteCallo眦thodwllichisano血ertecllIlique fbruncenaill哆analysis．Theproposcdmemodhasbeentested onWSCC3-uIlit9一bussystem．弛eresllltsdemons廿a刚me e眠tivenessandpr；虻ticalValue0fⅡleappmachbycomp撕ng wimmeIesultsofMonteCadosimulationandn砌tionaltime don】ainsimulatjon． KEYWoRDS：powersystem；仃姐sientstability；timedomaill siIIlulation；intervalarimmetic；taylors甜esexpansion 摘要：由于模型参数的近似处理和量测误差的存在，电力系 统仿真模型参数的数值具有不确定性，特引入区间 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 方法 来处理电力系统仿真计算中的不确定性问题，并采用区间数 来描述模型参数的不确定性，将方程变量取为区问变量。这 样，计及不确定性的电力系统时域仿真计算变成了对区间微 分方程组的求解，需要采用区间积分方法。文中采用区间泰 勒级数法进行区间微分方程组的求解，提出和实现了计及不 基金项目：国家自然科学基金项目(50477035)。 PmjectsupportedbyNationalNatIlralscienceFound撕onofcllina (50477035)． 确定性的电力系统时域仿真的区间方法。该方法只需一次仿 真计算，就可以严格分析单个或多个模型参数的不确定性对 仿真结果的影响，相比于另一种进行不确定性分析的蒙特卡 罗方法，具有计算时间节省的优点。采用wscc3机9节点 算例系统的计算结果与传统时域仿真的点值法和蒙特卡罗 方法的结果比较，也验证了方法的有效性和应用价值。 关键词：电力系统；暂态稳定；时域仿真；区间算法；泰勒 级数法 O 引言 暂态稳定计算是电力系统最基本的分析计算之 一。在电力系统规划、 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 、运行等工作中都要进 行大量的暂态稳定分析，因为系统一旦失去暂态稳 定，就可能造成大面积停电，给国民经济带来巨大 损失。 电力系统暂态稳定分析目前主要有2种方法， 即时域仿真法和直接法。时域仿真法选用适当的数 学模型描述电力系统各元件的特性，通常是1组联 立的微分方程组和代数方程组，然后以稳态工况或 潮流解为初值，求取扰动下的数值解，逐步求得系 统状态量和代数量随时间的变化曲线。目前求解微 分方程组的主要方法有隐式梯形法、改进欧拉法、 龙格．库塔法和泰勒级数法等[1巧】。 对电力系统仿真计算的研究，方法和模型的选 择固然重要，而模型参数的准确获得对仿真的准确 度也影响颇大[6。7】。所以，研究确定仿真模型用元件 参数的方法和手段非常必要，如果不考虑经济性问 题，在系统中大量安装动态实测装置，可有助于获 取系统元件相对比较准确的参数。即便如此，电力 系统仿真模型参数的不确定性还是客观存在的，理 由有：①仿真数学模型本身是对实体的近似，模型参 万方数据 第7期 王守相等： 计及不确定性的电力系统时域仿真的区间算法 41 数不过是描述实体属性的近似量化指标；②在获取 模型参数的具体数值时，由于量测误差的存在和计 算机的有限精度表示，不可能获得参数的精确数值。 为此，本文引入了区间分析方法【8‘1引来处理电 力系统仿真计算的不确定性问题，采用区间数来描 述模型参数的不确定性，并用区间泰勒级数法进行 区间微分方程组的求解，提出和实现了计及不确定 性的电力系统时域仿真的区间方法。 (3) 则惯性中心(COI)参考系中发电机转子运动方程为 ∽警=匕吧一鲁‰ (4) 【d谚／出=嘭 1 电力系统时域仿真的区间泰勒级数法 式中：M，：窆M，，f表示第f台发电机；4为转 f=l 1．1区间数的定义 为清晰起见，文中凡是区间值都加方括号，以 区别于点值。 犹如有理数可以看作一对有序整数，复数可以 看成一对有序实数一样，也可以定义区间数如下： 设(S，≤)为一偏序集，对于给定的数对(工，i)， 若五i∈S且工≤i，则可定义一个区间数为 [X】=[圣工】：={z∈SI墨≤z≤工) (1) 式中：x称为区间数x的下端点；孑称为x的上端 点。若x=元，则定义区间数x为点区间数，即普通 的点值。 1．2区间微分方程组 当微分方程组的系数为区间数时，相应的方程 变量将是区间变量，微分方程组则变为区间微分方 程组，其表达式为 一v 兰=F(f，z) (2) df 式中：f为自变量，时间；工表示n个因变量的状态 向量(区间值)；F表示咒个已知函数。 对区间微分方程组的求解，其原理与普通微分 方程组的求解并无区别，只是将其中的不确定参数 用区间数表示，并在计算中使用区间运算法则。由 于采用取适当的较大积分步长的高阶泰勒级数法， 从而较大地减少了数值积分的时段数。对区间积分 算法来说，数值积分的时段数越少，最后区间结果 的保守性越小。所以本文采用区间泰勒级数法求解 区间微分方程组。 1．3经典模型下电力系统时域仿真的区间泰勒级 数法 为了突出本算法特点而又不失一般性，本文采 用的发电机模型为二阶经典模型，并建立在惯性中 心参考系上。 如果定义惯性中心为 子角；M，为惯性常数：谚=4一磊，国=毒一杰， 分别为转子在COI参考系下的角度和角速度； ‰=∑(‰一只)，为coI加速功率；厶，为机械 江1 功率；只。为电磁功率。 可用下式求出： —已 只=群G；+∑[Gsin(岛)+‰cos(岛)](5) J=l j≠i 式中：岛=巨弓岛；吃=巨tq。其中岛和G_f，分 别为发电机f和．7内节点之间的电纳和电导；置和 E，分别为发电机f和_『的暂态电势；够，=嘿一秒，为 发电机f和_『间的转角差(cOI参考系下)。 经典模型条件下使用泰勒级数法进行仿真还要 用到电磁功率的各阶导数【141，其计算公式为 只‘“’=∑【qsin‘”’(岛)+‰cos‘”’鸭)】(6) 』=l 』≠f 整个时域仿真过程即为式(4)√6)的交替求解过程。 2 算法的实现 本文用c++ 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 语言编制了高阶泰勒级数法暂 态稳定计算的区间算法。其主要思路就是先编制区 间类，定义各种区间基本计算，再利用上一节所描 述的泰勒级数法区间扩展进行暂态稳定计算。在程 序编制中还采用了下述几个计算技巧，减少了计算 工作量。 (1)虽然计算式(6)时可以很容易地编制2个 函数如dsiIl()和dcosO，并调用来对sin‘”’(岛)和 cosm’(B)进行求解。但这样做会产生很多重复计 算。以计算sin∽’(谚i)为例，在计算sillm’(岛)时会用 cos(或)的O到舯一1阶导数，计算sin‘”1’(包，)时又会 用cos(酿)的0到，，l阶导数。如果每次重新计算 cos(谚i)的导数，在使用很高阶的泰勒方法积分时， 菸． ，≯．． M M 。∑H。∑汹上坼上坼 = = 既 彦D 万方数据 42 中国电机工程学报 第27卷 程序运算时间会大幅增加。比较好的方法是在计算 出sinm’(酿)时把它的值保存在一数组中(程序中为 dsin【f】阴[m])。 (2)因为sin‘”’(谚f)=一sin‘m’(臼if)，cos(“) (谚i)=cos㈣’(口i)；只需计算dsiIl[】【砌和dcos[砌口的 上三角矩阵。 (3)在计算式(6)时，还需要计算纯㈣’。纯m’的 问题与sinm’(幺)的问题有些类似，即在计算中会多 次用到谚i‘⋯，可用一数组Ddeh[f]阴[m]保存此值， 这样可节省一些减法运算，尤其在泰勒阶数较高的 情况下优化效果更为明显。 通过上述3个计算技巧的采用，不但减少了计 算工作量，还显著提高了计算速度，而且通过运算 次数的减少，缩小了区间解的超宽度，降低了区间 解的保守性。5 3算例分析 本文采用WSCC3机9节点系统‘151作为测试系 统，其原始数据和故障设置均忠实地取自参考文献 [15】，以利于比较，其单线图见图1。 图1 wSCC3发电机9节点系统 Fig．1WSCC3uIlit9b吣testsyst哪 本文采用8阶泰勒级数法，步长取为0．01s。下 面列出的每幅计算结果图中，均有3条线(在某些图 形中会出现重合的情况)，其中上下2条曲线为某些 参数取区间值时的计算结果的上下界，中间曲线为 这些参数取区间中点值时的计算结果。由于结果组 合很多，下面仅以发电机G：与G，间的相对摇摆角 为例，给出了计算结果图。 (1)如果3台发电机的原动机输入机械功率均 取为区间数‰加．99，％×1．01】，计算结果如图2所 示。 (2)如果3台发电机的原动机功率均取为区间 数[Pmf×o．95，P卅f×1．05】，计算结果如图3所示。 (3)如果只有Gl的原动机功率取为区间数 [J％1>(0．99，厶l×1．01】，G2与Gl间的相对摇摆角度变 化区间很小，3条线基本重合。 (4)如果只有G1的原动机功率取为区间数 [尸k1>(0．95，P‰1×1．05]，计算结果如图4所示。 (5)如果3台发电机的转子惯性常数均取为区 间数嗽×0．99，尬×1．01】，计算结果如图5所示。 (6)如果3台发电机的转子惯性常数均取为区 间数【尬×o．95，尬×1．05】，计算结果如图6所示。 (7)如果只有G，的转子惯性常数取为区间数 [』Ml×0．99，M1×1．0l】，计算结果如图7所示。 (8)如果只有G，的转子惯性常数取为区间数 【I％×o．95，M】×1．05】，计算结果如图8所示。 j ．：·：．o ．：： 0；：_． 。!r tl。j ⋯一一}⋯⋯÷⋯T。!：⋯一i⋯⋯： ；． T‘ ， ●’j ：．。 0 0．1 0．2 ∥s 图2G2与Gl间的相对摇摆角 Fig．2An甜ebetweentwogene豫to聃G2andGl 图3 G2与Gl间的相对摇摆角 Fig．3Anglebetw∞ntwogeneratorsG2andG1 ．：·： !：：·’； ．：： 0ll 。lf -l一 ．’ ， ．’ O 图4 G2与Gl问的相对摇摆角 图5 G2与Gl间的相对摇摆角 Fi舀5An掣ebetweentwogeneratorsG2釉dGl o ∞ ∞ 加 ㈤ ∞ ∞ 加 o ∞ ∞ 加 ㈣ ∞ ∞ 加 万方数据 第7期 王守相等： 计及不确定性的电力系统时域仿真的区间算法 43 ’： 一 · 一； ● ‘ 一● ； ● ．·’ 三 ，● ，● ．●●一⋯‘7 ．i$‘’； ．； 1．i善了；3 l_fl+’．一⋯：⋯⋯-}⋯⋯ 。： O 0．1 O．2 ∥s 图6 G2与Gl间的相对摇摆角 Fig．6Anglebetwe明twogeneratorsG2andGl ：i# ．1s一 ●l i·。 ．●： ● j·’ ．．●一： 图7 G2与G1间的相对摇摆角 图8 G2与Gl间的相对摇摆角 Fig．8An醇ebetweentwogene船to聃G2锄dG1 为验证计算结果，本文使用蒙特卡罗模拟法【l3J 进行了计算： (1)如果3台发电机的原动机功率均在区间 [厶f×o．95，厶f×1．05]之间取值，使用蒙特卡罗法计 算结果如图9所示。 (2)如果3台发电机的转子惯性常数均在区间 [?愀0．95，尬×1．05】之间取值，使用蒙特卡罗法计算 结果如图10所示。 对上面lO幅图进行比较，可得到以下结论： (1)用区间参数计算所得的结果包含了用点值 参数计算所得的结果，同时也包含了蒙特卡罗方法 的计算结果，这也验证了区间算法的正确性。 (2)区间类方法的计算时间一般是同种形式的 点值方法的2倍左右。因而，一次区间仿真计算大 致相当于2次普通的仿真计算的计算量。本文方法 只需1次区间仿真计算(相当于2次普通的仿真计 算)，就可以严格分析单个或多个模型参数的不确定 性对仿真结果的影响，相比于另一种进行不确定性 分析的蒙特卡罗方法(可能需要成千上万次的仿真 计算)，该方法的结果比较保守，但具有节省计算时 间的优点。 (3)如果越多的发电机参数取为区间值，或参 数区间值的宽度越大，则最后所得结果的区间宽度 也就越大。如果发电机参数所取区间值宽度过大， 会使计算结果的区间宽度太大，从而失去其实用价 值。因此，算法适用于发电机参数的变动范围不是 很大的情形，这与实际情况也是相符的，因为一般 发电机给定参数的误差不会太大。 (4)仿真时间越长，该方法计算所得结果的保 守性就越大，这是因为不确定性信息积累的结果。 因此，该方法适用于仿真时间不需太长的场合。 图9 G2与Gl间的相对摇摆角 Fig．9AnglebetweentwogeneratorsG2andG1 图10G2与Gl间的相对摇摆角 Fig．10Anglebetw∞ntwoge眦mtorsG2粕dGl 4结论 区间方法是处理不确定性问题的有效方法。它 具有严密的理论基础，能够确保包含了在给定参数 变动范围内的系统方程的所有解，而决不会漏落。 当区间算法用于电力系统的时域仿真时，虽然 相对于蒙特卡罗仿真的结果存在着一定的保守性， 且当仿真时间过长时会得出过度保守的结果，但当 需要计及真实电力系统中实际存在的不确定性且只 需较短时间的仿真结果时，区间算法是一个不错的 选择。 参考文献 【1】 倪以信，陈寿孙，张宝霖．动态电力系统的理论和分析【M】．北京： 清华大学出版社，2002． 『21 王锡凡，方万良，杜正春．现代电力系统分析『M1．北京：科学出 o ∞ ∞ ∞ 加 曰 万方数据 中国电机工程学报 第27卷 [3] 【4】 [5】 【6J 【7】 [8】 【9】 [10】 版社，2003． 郭志忠，柳焯．快速高阶Taylor级数法暂态稳定计算【J】．中国电 机工程学报，1991，11(3)：8．16． Guozhiz|long，LiuZlluo．FaStⅡ柚sientstabilitysimulationbyhigher ordertaylors甜esexpansionsⅢ．ProceedingsoftheCSEE，199l， 11(3)：8—16(inChinese)． BamoR．Perfomallceoft11etaylorseriesmethodforODEs／DAEs 【J】．AppliedMatllematicsaIldComputation，2005，163(2)：525—545． PaiMA． Ene唱yfIlnction蛐alysisforpowersystemstability [M】．NonⅣell，MA：l(1uwerAcadeIIlicPIlblishers，1989． 贺仁睦．电力系统动态仿真准确度的探究[J】．电网技术，2000， 24(12)：l-4． HeRenmu．Researchintoveracityofpdwersystemdynamic simul撕on[J]．P0werSystemTechnology，2000，24(12)：l一4(in Chinesel． KostercvDN，BlorCw，Mi仕elstadtwA．Modelvalidationforme August10， 1996WSCCSystemoutage[J】．1EEE1‰s．onPower Systems，1999，14(3)：967-979． BerzM， HoffstatterG． ComputationaIld印plicationoftaylor polynoIIlialswimintervalr哪ainderbounds[J】．Reli曲leComputing， 1998，4(1)：83-97． AlefeldG，MayerG．IntervalAnalysis：neoryaIldapplications [J】．Jo哪alofcompu谢onal锄dApplicdMathematics，2000， 121(1—2)：421—464． HickeyT，JuQ，V柚Emd曲MH．IIlterval撕mmetic：fIDmprinciples toimplefnentalion[J】．JoumaloftlleACM，200l，48(5)：1038—1068． 王守相，王成山．基于区间算法的配电网三相潮流计算模型[J】．中 国电机工程学报，2002，22(2)：52．58． W∞gShouxi锄g，W锄gChengsh锄．Dis仃ibutiontllr优一phasepower flowmodelsbasedoninterValalg嘶山m[J】．PmceedingsoftlleCSEE， [12] 【13】 【14】 [15】 2002，22(2)：52—58(inChinese)． 王成山，王守相． 基于区间算法的配电网三相潮流计算及算例分 析[J】．中国电机工程学报，2002，22(3)：58．62． W锄gCllengshall，W柚gShouxiaIlg．Dismbutiontllree—phasepower nowbased0nimervalalgoritllma11dtestresults[J】．Proceedingsofthe CSEE，2002，22(3)：58—62(inChinese)． 张鹏，王守相．电力系统可靠性经济评估的区间分析方法【J】．中 国电机工程学报，2004，24(2)：7l一77． zllaIlgPeng，W锄gShouxiaIlg．NoVelintervalme山odsinpower systemreliabil时econoIIlics[J】．PmceedingsofmeCSEE，2004， 24(2)：71-77(inChinese)． 郭志忠．发电机功角的二项式导数递推规律【J】． 中国电机工程学 报，加05，25(16、：147—152． Guo功izhong．111ebiIloIIliald嘶ValiVerecursionlawsofgenerator’s powera11dangle[J】．ProceedingsoftlleCSEE，2005，25(16)： 147一152finChinese)． AndersonPM，FbuadAA．Powersystemcon仃ol锄dstab订ity [M】．AMES，IoWA：TheIowaStateUnivers时Press，1977． 收稿日期：2006—08．2l。 作者简介： 王守相(1973一)，男，博士，副教授，研究方向为配电系统分析、 分布式发电系统分析与仿真、电力系统安全性与可靠性评估； 郑志杰(198l—)，男，硕士研究生，研究方向为电力系统不确定性 分析； 王成山(1962一)，男，教授，博士生导师，研究方向为电力系统安 全性分析，城市电网规划和配电系统自动化等。 (责任编辑喻银凤) 万方数据 计及不确定性的电力系统时域仿真的区间算法 作者： 王守相， 郑志杰， 王成山， WANG Shou-xiang， ZHENG Zhi-jie， WANG Cheng-shan 作者单位： 天津大学电气与自动化工程学院,天津市,南开区,300072 刊名： 中国电机工程学报 英文刊名： PROCEEDINGS OF THE CHINESE SOCIETY FOR ELECTRICAL ENGINEERING 年，卷(期)： 2007,27(7) 被引用次数： 4次 参考文献(15条) 1.王成山;王守相 基于区间算法的配电网三相潮流计算及算例分析[期刊论文]-中国电机工程学报 2002(03) 2.郭志忠 发电机功角的二项式导数递推规律[期刊论文]-中国电机工程学报 2005(16) 3.张鹏;王守相 电力系统可靠性经济评估的区间分析方法[期刊论文]-中国电机工程学报 2004(02) 4.Alefeld G;Mayer G Interval Analysis:Theory and applications[外文期刊] 2000(1-2) 5.Berz M;Hoffstatter G Computation and application of taylor polynomials with interval remainder bounds 1998(01) 6.Kosterev D N;Tylor C W;Mittelstadt W A Model validation for the August 10,1996 WSCC System Outage [外文期刊] 1999(03) 7.贺仁睦 电力系统动态仿真准确度的探究[期刊论文]-电网技术 2000(12) 8.Pai M A Energy function analysis for power system stability 1989 9.Barrio R Performance of the taylor series method for ODEs/DAEs[外文期刊] 2005(02) 10.郭志忠;柳焯 快速高阶Taylor级数法暂态稳定计算 1991(03) 11.王锡凡;方万良;杜正春 现代电力系统分析 2003 12.Anderson P M;Fouad A A Power system control and stability 1977 13.王守相;王成山 基于区间算法的配电网三相潮流计算模型[期刊论文]-中国电机工程学报 2002(02) 14.Hickey T;Ju Q;van Emden M H Interval arithmetic:from principles to implementation 2001(05) 15.倪以信;陈寿孙;张宝霖 动态电力系统的理论和分析 2002 引证文献(5条) 1.郑志杰.王艳.李磊 可靠计算及其在电力系统中的应用[期刊论文]-南方电网技术 2010(6) 2.石辉.张勇军.徐涛 我国智能电网背景下的低频振荡应对研究综述[期刊论文]-电力系统保护与控制 2010(24) 3.焦艳杰.陈宇.陈枳州.吴曦 计及PSS的电力系统时域仿真计算[期刊论文]-四川电力技术 2009(4) 4.徐英.白雪峰.郭志忠 采用动态多维阶数控制的暂态稳定计算方法[期刊论文]-中国电机工程学报 2008(19) 5.郑志杰.王艳.李磊 可靠计算及其在电力系统中的应用[期刊论文]-南方电网技术 2010(6) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgdjgcxb200707008.aspx