二次超静定梁在集中载荷作用下的体积优化设计

二次超静定梁在集中载荷作用下的体积优化设计 1 2 3李清禄, 张会荣, 潘亚娟 (1. 兰州理工大学 理学院, 甘肃 兰州 730050; 2. 曲靖师范学院 物理系, 云南 曲靖 655000; )3. 兰州大学 第一医院计算中心, 甘肃 兰州 730000 摘 要: 利用阶梯折算法, 研究了集中载荷作用以及几何约束条件下, 二次等强度超静定梁的体积 优化设计. 用实例给出了在集中载荷作用下等强度梁与等截面梁的体积对比. 关键词: 超静定梁; 等强度; 阶梯折算法; 优化设计 () 中图分类号:文献标识码: O 343 文章编号: 100420366 20070120044203 A - - Vo lum e O pt ima l D es ign of Equ istren gth Two D egree Sta t icin determ inan t Beam Un der a Con cen tra ted Force 1 2 32, 2, 2L I Q ingluZHA N G H u irongPA N Yajuan (1. , , 730050, ; 2. , S chool of S ciencesL anz hou U n iv ersity of T echnolog y L anz hou C h inaD ep t of P hy sicsQ u j ing N orm a l ), 655000, ; 3. , , , 730000, C olleg eQ u j ing C h inaC om p u ting C en terF irst H osp ita lL anz hou U n iv ersity L anz hou C h ina 22 A bstra ct: T h e vo lum e op t im a l design of an equ ist reng th tw o deg ree sta t icindeterm inan t beam sub jected to a concen t ra ted fo rce and geom et ry con st ra in t is stud ied by m ean s of th e stepp ed reduct ion m ethod. T h e vo lum e 22.ra t io of th e equ ist reng th beam and th e cro sssect ion beam under a concen t ra ted fo rce is g iven by exam p les 22; ; Key words: stepp ed reduct ion m ethod; op t im a l design sta t icindeterm inan t beam equ ist reng th 寻求最优解一直是工程人员和力学工作者追求 1 基本方程 1 , 5 的目标, 这方面的文章已不少. 梁的等强度设计 考虑长为 , 截面为矩形, 宽为 的上下对称的 lb 是一种体积最小的, 满足强度条件的最优化设计, 它 逐段变截面二次超静定梁, 在梁的中点作用集中载 广泛应用于土木、建筑工程等领域, 在工程实际上具 荷 , 如图 1 所示.P 有重要的意义. 超静定梁在任意分布载荷作用下的 6 , 7 体积优化设计已有研究. 文献 8 研究了一阶超 静定梁在集中载荷作用下的体积最优化设计. 我们 研究了二次超静定等强度梁在任意集中载荷作用下 的体积最优化问题, 对阶梯折算法进行了改进, 并采 图 1 两端夹紧变截面梁 用分段等分的办法, 得到了目标函数和几何约束条 显然, 在力 作用下, 在目前的支承情况下, 梁 P 件关于设计变量的显式表达式; 最终归结为求解一 上的弯矩分布必有如图 2 所示的曲线, 梁上必有 1 组方程数目与梁的超静定次数相等的非线性代数方 个剪力为 0 的点 及 2 个弯矩为 0 的点 和 , x 0 x 1 x 2 9 程. 采用牛顿叠代法计算了一个实例, 并与同样条 且小于 0. 基于梁的弯矩分布情况, 我们对全梁M 0 件下的等截面梁做了体积对比, 由对比结果看出, 等 进 行 了 分 段 等 分 , 即: 分 成 4 部 分 来 考 虑 , 分 别 为 强度梁的体积比等截面梁的体积的减少很多, 这在 收稿日期: 2006- 03- 20 工程实际上有很高的经济利用价值. ()基金项目: 兰州理工大学科研发展基金 10200420 SB P ()6 ,Q 0 = 2 () () 由式 4和式 6, 可得各分点的弯矩 P 0 ) ()() ( , 7 = + { - }-a iM a iM 0 lai l 2 图 2 弯矩分布 与 , 分别满足 x 0 x 1 x 2 () 0- 、- 、- 、- , 将梁分成 + 1段分 4 x 1x 1 x 0x 0 x 2x 2 ln l x = 0 ( )( 段 等分的阶梯梁 这里的 是任意的. 其中 = n ai i2 ) 0, 1, ?, , + 1, ?, , ?, , + 1, ?, , + 1是各 p p k rr nnP ()8 x + M = 0 , 1 0 2 ( 分点的坐标, 且 = 0, = . 以 = 0, 1, 2, ?, a0 an+ 1 lD i i P P l ) () 表示第 段 ??的抗弯刚度. 由文献10 知, x - - M - 0ni ai x ai+ 1 2 0 2 2 图 1 所示的梁在集中力 作用下, 其挠度表达 P 式 2 边界条件和强度条件 为 边界条件 () () () = 0+ 0′-y x y y x n 211 M 00 2 ) () (? - {x - a }x - a - ? i i- 1 i i ? 2D 0 梁的边界条件为: i= 0 n = 0 处, x Q 00 2 ) (() ) ( ? - ? a }-i- 1 {x -i i x a x + 2a i + i? () () ()0= 0, ′0= 0; 9 y y 6D 0 i= 0 n 0 处, x = l l P 0 ( ) {x -a } a- ?? i ?i - i - 1? 6D 0 2 ()( ) 10 = 0; i= 0 y l 3 l 2处, x = l () - x a i x + 2a - + i2 ()( ) 11 ′= 0. y l 0 3 P l l n+ 1 1 ( ) 3 x - , 1 ? x - 2 ( 对于变厚度的非均匀介质梁, =E h i b i= 6D 2 2 D i 012 n 1 0 ) ?, , 这 里 是 材 料 的 弹 性 模 量, 0, 1, 2, n E (() () ) }?′= ′0- ?{- ?-a i y x y x i- 1 x i ? D i= 0 ( ) ( ) ( ) i 11 代 ?? i i+ 1 为梁高. 将边界条件式 9 ,h a x a Q 0 2 2 (() + ) x -M 0 x -a i+a () () () i 入式 1和式 2, 并计及式 6可写成 2 n n 6M 00 2 2 - 3 ) ) ( ( ( ) l- a- l = - i i P h l- a i+ 1 - 0 y l? ) ( {x -? a i } a i - ?i - i ? - 1E b i= 0 ? 2D 0 2 i= 0 n 0 2Q 0- 3 2 l P ) ( ) ( i [ - i+ 2i -?h la la() () x - - + - + ? x a ix ai l i= 0 E b 2D 2 0n 2 2 l 2 P - 3 n+ 1( ) ( ) ()- + 2+h ?x - , 2 i la i+ 1 la i+ 1 ? ? 2 2 E b () i= n+ 12 / ( 式 中 ?i = D 0 D i i= ) 0, /, 0, 1, 2, ?, 并 规 定 = n ?- 1 l 2 2 ( ( ) ) l- - l- a 2a-a?ii i+ 1 2 () () () 0, ′0= 0,和分别为梁在 = 0点的 y y M 0 Q 0 a0 x 3 0 l P l -3挠度、转 角、弯 矩 和 剪 力; { - }是 函 x ai H eav iside n+1 ( ) 2a - + i+ 1 12 h2 2 4E b数, 它定义为 n 12M 0- 3 ( ) ) ( ) ( ′= - h y l[ l- ai-l- ai+ 1 -i1, x ?a i? 0 E b i= 0 ()3 {- }=x ai n 0, x < ai 6Q 02 2 2 2 - 3 ( l - a) - ( ) l - i h iai+ 1 + ? () 该梁在任意截面上的弯矩 为E b Mx i= 0 0 n l l 6P - 3 ()() 4 = + - x - P x - , M x M 0 Q 0 x ( ) h i [ ai l- a i-2 2 ? E b () i= n+ 12 / 3() 剪力 为 Q x 3P l-2n+1 ( ) ()- + 13 hai+ 1 la i+ 1 0 2 2E b l ()() 5 = - x - Q x Q 0 P , 212 强度条件 2 ()() 方程组 12、13的问题. 12 )()( 14 1, i a i?- [ ]?- ip b Ρh M 6 3 算例及讨论 1 2 ()() 15 ??- 1, [ Ρ]h ?Mi ai+ 1 p ik 6 例 考虑一端固支, 一端简支的梁, 其上中点作 1 2 ()()16 i ??- 1, [ Ρ]h ?Maik ir用有集中力为 = 60 000 , 梁宽 = 21 , 梁长 P k gbcm 6 1 2 2 = 9 . 材 料 的 [ = 1 600 /, 氏 模 量 )(()lmΡ k gcm Yong ?, [ Ρ]h i ?- M17 ai ir6 6 2= 2×10/.E k gcm ( 在这个情况下, 问题可归结为寻求一组 = h i i 将全梁分成 20 段, 40 段, 分别求得 20 个、40 个 ) ( )( ) 0, 1, ?, , 在满足式 14, 17的等式条件下, 使 n ( )( ) 式 11、式 12成立. 这一组有 2 个是独立的, 如取 截面的高度. 优化后的厚度分布形状如图 3 和图 4. ()()与 为独立变量, 则其余的 可由式 14, 17h 0 hn h i 另外给出了全梁分成 60 段、80 段的截面高度, 求得 来确定. 从而问题归结为求解 2 个变量, 2 个非线性 了相应的优化后梁的总体积. 计算结果见表 1. 图 3 分 20 段优化后梁的厚度分布形状 图 4 分 40 段优化后梁的厚度分布形状 — 等强度梁 - - 等截面梁 — 等强度梁 - - 等截面梁 表 1 随分段数目变化梁优化前后体积对比 参考文献: 3分段数 优化前后体积对比 厚度分布 优化后体积/ cm 1 张爱国, 张忠会, 马书尧. 用边界元法进行等强度梁的形状优 20 491 960 0. 749 7 图 3 ( ) 河北工业大学学报, 1997, 26 1: 76280. 化[J . 40 466 220 0. 710 5 2 图 4 吴莹, 俞焕然, 刑静忠. 单绞柔韧性机器人手臂的体积优化 ( ) 60 457 100 0. 696 6 [. 甘肃工业大学学报, 1998, 24 3: 39243.J - 3 80 444 200 0. 676 9 刘书田, 陈秀华, 曹先凡, 等. 夹芯圆柱壳稳定性优化[. 工程 J - ( ) 力学, 2005, 22 1: 1352140. 4 任振林, 丁成斌, 薛富连. 磁力驱动器的有限元分析和优化设 4 结论 ( ) 计[. 甘肃科学学报, 2006, 18 4: 1172120.J 5 李清禄, 项长生, 李玉梅. 集中载荷作用下超静定等强度梁的 利用阶梯折算法思想, 采用对梁分段等分的办 ( ) 抗弯刚度优化设计[. 甘肃科学学报, 2006, 18 4: 91293. 叶J 法, 从理论上研究了受集中力作用的二次超静定梁 6 开沅, 非均匀变厚度弹性体力学若干问题的一般解 [ .J 的体积优化设计问题. 研究表明: 方程的多少与分段 ( ) ( ) 兰 州大学学报 自然科学版, 力学专号 2 . 1, 1979, 133N o的数目无关, 问题的精确度只与分段的数目有关, 优 157. 7 化后的体积呈现随着分段数目的增加而减小的趋 李清禄, 俞焕然. 基于神经网络超静定等强度梁的优化设计 ( ) [J . 甘肃科学学报, 2005, 17 3: 16218. 8 势. 由计算对比结果看出, 等强度梁的体积只有等截 ( ) 化设计[J . 李清禄, 谢新曲靖师范学院学港. 集中载荷作用下超静定等强度梁的体积报, 2005, 24 6: 78280. 优 面梁的体积的 70% 左右, 这在工程上大大节约原材 9 北京: 科学出版社, 1993. 何光渝. Fo r t ran 算法手册[M . 料. 我们的优化结果为桥梁的优化设计提供了理论 10 叶开沅, 冯燕伟. 材料力学[M . 上海: 高等教育出版社, 1989. 依据. 作者简介: ) (李清禄, 19752男, 甘肃省武威人, 2004 年获兰州大学固体力学硕士学位, 现任兰州理工大学理学院讲师, 主要研究方向 为计算力学及结构优化设计.