初中数学模型教学浅析
碧波中学 王丹
在当今社会里学习数学不单是为了解决书本上的数学题目,而是让孩子重视解决实际问题,无论是美国的"数学课程
标准
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",还是英国的"国家数学课程"都对数学应用能力的发展十分重视。瑞典的课程标准认为"数学课的根本目的是使所有的学生获得解决他们日常生活中遇到的数学问题的能力",法国的数学大纲也提出:"更重要的是学生应该运用所学知识解决自己在实践中遇到的问题"。重视用数学知识解决实际问题,也是我国数学的传统之一。由于社会的发展,必须培养学生具有从实际问题中获取信息,建立数学模型,分析问题与解决问题的基本能力。而中学数学中的数、代数式、方程、函数等都是反映现实世界的数学模型,因而在一定程度上,可以说数学建模就是中学数学的一条主线,应该把视野更开阔些,以这样的观念处理具体的数学
内容
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。教师为学生提供充足的自学实践时间,使学生在亲历这些过程中展开思维,收集、处理各种信息,不断追求新知,发现、提出、分析并创造性地解决问题,数学建模学习成为再发现、再创造的过程,教学过程由以教为主转变为以学为主,支持学生大胆提出各种突破常规,超越习惯的想法,充分肯定学生的正确的、独特的见解,珍惜了学生的创新成果和失败价值,使他们保持敢于作出各种新颖、大胆尝试的热情。
一、初中数学建模教学的意义
数学建模思想方法作为数学的一种基本方法,渗透在初中数学教材的各种知识板块当中,在方程、不等式、函数和三角函数等内容篇章中呈现更为突出,学生学习掌握这种思想方法是完成学习任务和继续深造学习必备的基本能力。
(1)实施数学建模教学策略有利于提高学生数学学习兴趣和转变学习态度。因为是从实际提炼出来,而后又用之解决问题,故可激发学生极大的兴趣。学会了主动学习,学会了读书、学会了去索取自己所要学的知识,对数学有了新的认识,学习数学的兴趣更高了,更自觉了。
(2)在教学中通过引入贴近现实生活、生产和其他学科为实际背景的开放性或探索性例题,使学生能利用有关方法进行数学建模,从而解决这些实际问题。
(3)以数学建模为手段,提高了团结协作的能力。
(4)以数学建模为核心,培养了学生的动手能力和创新精神。以数学建模的教学目标为导向,促进了数学建模理论的系统训练,切实推进了数学素质教育的发展。数学的发展很大程度上是由数学的应用所推动的,实际生产与生活中所涌现的各种数学问题,要求从
数学理论上寻找合理的解决方法,如果旧有的理论已经无法解决,预示着一个新的研究领域的产生,必须预示着一种新的数学理论的诞生。
(5)通过数学建模手段,培养学生的自我评价能力
二、初中数学建模教学的方式
数学建模应结合平常的教学内容切入,把培养学生的应用意识落实到教学过程中,使学生真正掌握数学建模的方法,培养学生的数学建模能力。 1、以课本知识为基础,培养数学建模能力
数学建模能力的培养是一个渐进的过程。因此,从七年级开始,就应有意识地逐步渗透建模思想。课本每章开始都配有反映实际问题的插图,抽象出各章主要的数学模型,并且概念、法则、性质、公式、公理、定理等数学基础知识,一般也是由实际问题出发抽象出来的,反映了数学建模思想。作为一种思想方法,数学建模思想可以与数学基础知识的教学相依随,经常渗透,逐渐升华。因此,教学时要充分利用课本知识的特点,重视展示知识的发生、发展、抽象、概括和应用过程。 教师应研究在各个教学章节中可引入哪些模型问题,要经常渗透建模意识,这样通过教师的潜移默化,学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用,从而激发学生去研究数学建模的兴趣,提高他们运用数学知识进行建模的能力。
2、以课堂教学为平台,培养数学建模能力
在课堂教学中想培养数学建模能力不是简单把实际问题引入,而应根据所学数学知识与实际问题的联系,在教学中适时地进行培养。
(1)课堂教学中还学生以动手能力
新课程的教材中有大量让学生动手操作、制作的问题,我们在教学的过程中就应该让学生动起来,能让学生做的、操作的,就给学生动手的机会,让学生动手做一做,操作着试一试。科技革命常以工具变革开始,同样,工具也是数学建模的基本手段,我们不但要让学生认识、制作、操作教材所介绍的工具,有条件的活,还应该让学生见识一些现代工具,增加微机操作的实际训练。
(2)课堂教学中组织适当的讨论。
课堂讨论常常需要教师给出一个中心议题或所要解决的问题,学生在独立思考的基础上,以小组或班级的形式围绕议题发表见解、互相讨论。实践证明,课堂讨论为师生之间、同学之间的多向交流提供了一个很好的环境。
例如:有一池塘,要测量池塘的两端AB的距离,直接测量有障碍,能有什么方法
测出AB的长度,(如图)充分让学生在课堂中讨论,从而就可以得到很多建模的方法。
建模一:构造直角三角形,运用勾股定理解决问题,求出AB。
建模二:构造等腰三角形或等边三角形,求出AB。
建模三:构造三角形及其中位线,利用中位线的性质求出AB。
建模四:构造两个三角形,利用全等或相似性质来求出AB。
在解决问题时,应鼓励学生大胆提出自己的建模方法,然后再补充。当学生自己找到建模方法后,就会获得成功的满足,产生愉快的学习情绪。
3、以生活性问题为基点,培养数学建模能力
数学就是生活,生活离不开数学,数学也不能和生活分离。
“时时有数学,事事有数学。”“把生活融汇到学校数学教
育中,是现代教育的一个趋势„„ ”大量与日常生活相联
系(如投资买卖、银行储蓄、测量、乘车、运动等方面)的数学问题,大多可以通过建立数学模型加以解决。例如:某商店如将进货价为100元的商品按每件130元出售,每天可销售80件,现在采用竞争售价,减少货存量,已知这种商品每降价5元,其销售量就增加20件,问应将售价定为多少时,能确保盈利,并求出最大利润( [简析]:设每件售价降低x元,则每件得利润(30-x)元,每天销售量变为(80+4x)件,所
2获利润y,(30-x)(80+4x),,4(x,5),2500(故当x,5时,即售价定为1135元时,每天可获最大利润2500元。只要结合数学课程内容,适时引导学生考虑生活中的数学,会加深对数学知识的理解和运用,恰当地将其融入课堂教学活动中,会增强数学应用的信心,获得必要的应用技能。
4、以实践活动为媒介,培养数学建模能力
在平时的教学中,应加强实际问题的教学,使学生从自身的生活背景中发现数学、创造
数学、运用数学,培养建模应用能力。例如:如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,
当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m(如图建立平面直角
坐标系,则抛物线的关系式是( )
112222A(B(C(D( yx,,2yx,2yx,yx,, 22
5、以相关学科为链接,培养数学建模能力
由于数学是学生学习其它自然科学以至社会科学的工具而且其它学科与数学的联系是相当密切的。因此我们在教学中应注意与其它学科的呼应,这不但可以帮助学生加深对其它学科的理解,也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。
三、初中数学建模常见的几种模型
随着教育改革的深入,新的课程标准的出台,强调了知识的应用,初中数学源于实际问题的应用题骤增,因而探讨这类问题的解法具有重要的现实意义,数学建模就是将具有实际意义的应用问题,通过数学抽象转化为数学模型,以求得问题的解决,其基本思路是:
实际问题是复杂多变的,数学建模较多的是探索性和创造性,但是初中数学应用性问题常见的建模方法还是有规律可以归纳总结的。
(1) 建立几何图形模型
诸如台风、航海、三角测量、边角余料加工、
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
定位、拱桥计算、皮带传动、坡比计算,作物栽培等传统的应用问题,涉及一定圆形的性质,常需要建立相应的几何模型。
例如:某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,下图是水平放量的破裂管道有水部分的截面(
(1)请你补全这个输水管道的圆形截面;
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16 cm,水面最深地方的高度为4 cm,
求这个圆形截面的半径(
[分析]:遇到诸如此类的问题时审题要仔细,图形对解题来说不是很完整,所以第一步一定要不全此类题的图形,把题目化解到圆的知识里面,用垂径定理就能解决
(2) 建立方程模型
方程(组)是研究现实世界数量关系最基本的数学模型,求解此类问题的关键是:针对给出的实际问题,设定合适的未知数,找出相等关系,但要注意验证结果是否符合实际问题的意义。
例如:小明家后面有块空地,现在他的奶奶想在后面的空地上建一个面积为80平方米的长方形自行车棚,一边利用自家的后墙,并利用已有的总长为35米的铁围栏,请你设计,如何搭建比较合理,
[分析]:设与墙面垂直的边长为x米,可得方程x(35-2x)=80。解方程可得答案。 (3) 建立不等式模型
对现实生活中广泛存在的不等量关系:如投资决策等可挖掘实际问题隐含的数量 系,可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围,从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识。
例如:某果农今年收获芒果30吨,香蕉13吨,
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
用大小两种货车共10辆将这批水果全部运往外省销售,已知大货车可以装芒果4吨和香蕉1吨,小货车可以装芒果和香蕉各2吨。
(1)该果农安排两种货车运货时,有哪几种运送
方案
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,
(2)若大货车每辆要付运费2000元,小货车每辆要付运费1300元,则该农民应选择哪一种方案才能使运费最少,最少运费是多少,
[分析]:为了确保能将全部水果运走,所租车辆的总载重要不小于水果的总重量,要特别注意“总载重”不一定恰好等于“货重”。因此,不能用方程来表示此题中的数量关系,要用不等式来描述他们的不等关系。
解:(1)设租大车X辆,则租小车(10-X)辆
依题意得:4X+2(10-X)?30
X+2(10-X)?13
解得:5?X?7
根据实际意义,X的值为5、6和7。
?共有三种租车方案。
方案一:租大车5辆,小车5辆。
方案二:租大车6辆,小车4辆。
方案三:租大车7辆,小车3辆。
(4) 建立直角坐标系与函数模型
新课标提出,能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系变化,结合对函数关系的分析,尝试对变量的变化规律进行初步预测,能用一次函数,二次函数等来解决简单的实际问题。当变量的变化具有近似函数关系,或物体运动的轨迹具有某种规律时,可通过建立平面直角坐标系,转化为函数图象问题讨论。
例如:某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000
元,设矩形一边长为米,面积为S平方米. x
(1) 求出S与之间的函数关系式,并确定自变量的取值范围; xx
(2) 请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.
2[分析]:先利用代数的知识把函数列出来,发现是一个一元二次函数,S=-1000-6000,xx利用长方形边长的特点,一定要注意求解的范围,再利用二次函数图象求最大值。 x
四、如何在教学中培养学生数学建模思想和能力
学生数学建模思想和建模能力的形成,需要通过长期的系统的循序渐进地培养和训练,教师在教学过程中可着重从以下几方面有意识地进行培养。
1、加强基础知识和基本能力教学
数学建模是多种数学方法能力的综合,在建模过程中,要求学生要具有观察、分析、抽象、作图、想象、数学符号表达等能力,数学模型建立后,还要运用相应的数学知识去推理、演算、求解。夯实双基是掌握建模思想方法的前提。
2、结合教材,透渗建模思想
数学建模思想作为一种重要的数学思想方法,普通渗透在初中数学教材的各个板块知识当中,其中方程、函数、不等式、三角函数等知识内容中较为常见,教学时教师要善于发掘,巧妙设计,让学生在学习活动中通过不断地经历、体会、感悟、内化、提升,最终形成思想方法。
3、加强案例教学和专题训练
实际问题(情景问题)是数学建模思想能力培养教学的重要载体,教师要充分利用教材中的案例或另设问题,让学生去探索,使他们在分析思考、讨论、探寻解决略策、求解等解决问题各个环节当中,理解掌握建模思想方法的基本步骤,还要及时组织学生进行反思,使他们能够举一反三,触类旁通,能够娴熟地应用数学建模思想方法去解决问题。
综上所述,在数学建模教学中与素质教学所要求的培养学生的创造性思维能力是相辅
相成,密不可分的.要真正培养学生的创新能力,光凭传授知识是远远不够的,我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性,培养学生的创新思维为出发点,引导学生自主活动,自觉的在学习过程中构建数学建模意识,只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步,也只有这样才能真正提高学生的创新能力,使学生学到有用的数学.我们相信,在开展“目标教学”的同时,大力渗透“建模教学”必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路,也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台。