讨论主题－白噪声的产生

中科院研究生院 2009～2010第一学期 随机过程在 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 中的应用讲稿 孙应飞 白噪声的产生方法 1.1 白噪声及其产生方 1.1.1 白噪声的概念 ● 白噪声过程（一系 相关函数： )( στ =WR 谱密度： = σω 2)(WS 近似白噪声过程 谱密度：  = 2 ,0 )( σωWS 相关函数： στ )( =WR 讨论白噪声时，还要 高斯白噪声。 n维白噪声：一个 维n   { { Cov WE 其中 为正定常数矩阵Q ● 白噪声序列 白噪声序列是白噪声过 相关函数： )( =lRW σ 则称为白噪声序列。 谱密度： )(ω = ∑∞ −∞=l WS 1.1.2 表示定理与成形 ● 表示定理 设平稳噪声序列{ (ke 那么必定存在一个渐近稳 环节的输出是谱密度为 S ● 成形滤波器 表示定理中所涉及到 白噪声 )(kw 可以证明：如果{ )}(ke 法 列不相关的随机变量组成的理想化随机过程） )(2 τδ +∞<<∞− ω > ≤ 0 0, ωω ωω （ 0ω 为给定的远大于过程的截止频率） τω τω π ω 0 00 2 sin⋅ 涉及到白噪声的概率分布，服从正态分布的白噪声称为 随机过程W 满足： )(t =+=+ = )()}()({)}(),( 0)}( τδττ QtWtWEtWtW t ，则称W 为 维白噪声过程。 )(t n 程的离散形式。如果序列{ 满足： )}(kW L,2,1,0,2 ±±=llδ 2)( σω =− ljW elR 滤波器 的谱密度)} )(ωeS 是ω的实函数，或是 ωcos 的有理函数， 定的线性环节，使得如果环节的输入是白噪声序列，则 )(ωe 的平稳噪声序列{ 。 )}(ke 的线性环节称为成型滤波器。 有色噪声 )(ke线性环节（成型滤波器） 的谱密度 )(ωeS 是 ωcos 的有理函数，那么一定存在一个 1 中科院研究生院 2009～2010第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿 孙应飞 成型滤波器，它的脉冲传递函数为： d d c c n n n n zdzd zczc zC zDzH −− −− − − − +++ +++== L L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )( )()( 且 的根都在 平面的单位圆内。 )(),( 11 −− zDzC z ● 例子 设平稳有色噪声序列{ 的自相关函数为： )}(ke 1;,2,1,0, 1 )( 2 2 <±±=−= ala alR l e L σ 则相应的功率谱密度函数为： 1;, cos21 )( 22 2 <<<−+−= aaaSe πωπω σω 成型滤波器的脉冲传递函数为： 1, 1 )( 1 1 <−= − − a az zH σ 假定 ，则有： 0)0( =e )]1()1()([)( 1wakawkwke k−++−+= Lσ 相关函数计算可得： 2 2 2 2 2 11 1)( a a a aalR lk l e −≈− −= σσ 2.5.3 (0,1)均匀分布随机数的产生 白噪声序列称为随机数。 三类方法：Rand百万随机数、物理方法、数学方法 ),,,( 111 ξξξξ L−+ = iii f 产生伪随机数。 ● 乘同余法 第一步： 递推式 L,3,2,1),(mod1 =≡ − iMAxx ii 其中 ， 或2,2 >= kM k )8(mod3≡A )8(mod5≡A ， 不能太小。初值 取正 奇数。 A 0x 第二步： L,3,2,1, == i M xi iξ 可以证明{ }iξ 是伪随机数，循环周期为 。 22 −k 计算机上的实现：令 为取数}{xL x的小数部分，则有 MxAL ii /},{ 001 == − ξξξ ● 混合同余法 第一步：递推式 L3,2,1),(mod1 =+≡ ∗−∗ iMcAxx ii 其中： ， ，即 ， c为正整数， 初值 为非负整数。 2,2 >= kM k )4(mod1≡A 342,12 ≤≤+= nA n ∗ 0x 第二步： M xi i ∗ ∗ =ξ 2 中科院研究生院 2009～2010第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿 孙应飞 可以证明{ 是周期为 的伪随机数。 }∗iξ k2 2.5.4 正态分布随机数的产生 ● 理论基础：定理 2.2 设ξ是（0，1）均匀分布的随机变量， 是给定的连续分布函数，它的逆 函数记做 ，则 是服从 分布的随机变量，即： )(xF )x)(1 xF − )(1 ξη −= F (F )(}{)( xFxPxF =≤= ηη 以此定理为基础，可以产生任意分布的随机数。 注意：若 )1,0(~ξ ，则1 )1,0(~ξ− ，因此 也是服从 分布的随机 变量。 )1(1 ξ−−F )(xF ● 统计近似抽样法 由于正态分布函数的逆函数的解析式无法求得，我们利用中心极限定理产生 正态分布的随机数。 设{ }iξ 是（0，1）均匀分布的随机数序列，则有：   == == 12/1}{ 2/1}{ 2 i i Var E ξσ ξµ ξ ξ 由中心极限定理，有 )1,0(~ 12/ 21 2 1 N N N N N x N i i N i i − = − = ∑∑ == ξ σ µξ ξ ξ 若 ，则有 ),(~ 2ηη σµη N 12/ 21 2 N NN i i − =− ∑ = ξ σ µη η η 即有 12 21 N NN i i − += ∑ = ξ σµη ηη 由此可得正态分布 的随机数。 ),(~ 2ηη σµη N 取 时，有 12=N    −+= ∑ = 6 12 1i iξσµη ηη ● 变换抽样法 理论依据：设 1ξ 和 2ξ 是相互独立的（0，1）均匀分布随机变量，则 ( ) ( )   −= −= 22 1 12 22 1 11 2sinln2 2cosln2 πξξη πξξη 3 中科院研究生院 2009～2010第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿 孙应飞 是相互独立、服从 分布的随机变量。 )1,0(N ● 统计性质 1.2 M序列（最长线性移位寄存器序列）的产生及其性质 ● 1.2.1 M序列的概念 ● M序列的作用 ▲ 辨识输入信号要求具有白噪声的统计特性 ▲ M序列具有近似的白噪声性质，即   ≠ =≈+= ∫ 00 0Const1 0 ττττ , ,)()()( T M dttMtMT R ▲ M序列“净扰动”小，幅度、周期、时拍易控制，实现简单。 1.2.2 M序列的产生 ● M序列的定义: ，∑ = −= P j jiji xax 1 L,2,1 ++= PP 12 −=≤ PPN i ，注意求和为模 2求和，且 ，适当选取 （反馈通道的选择）就可以使序列以 ( bit 的最长周期循环，即 。 1=Pa 12 ,,, −Paa L 1, ≤=+ kkN xx P 1a )12 −P k ● M序列的生成结构图 ● M序列的波形 1.2.3 特征多项式 解决如何选取反馈通道的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，以保证生成 M序列。 ● 定义多项式： （无限阶） ∑∞ = = 0i i i sxsG )( ● 重要结果： )( )( sF sG 1= , （有限阶） ∑ = ⊕= P j j j sasF 1 1)( 称 为 M序列的特征多项式。 )(sF 注意 1：此时选取 M序列初始状态为： 0,,0,1 21 === Pxxx L 。 注意 2：生成 M序列的结构图完全由特征多项式 确定。 )(sF 注意 3：不是任何多项式都可以作为生成 M序列的特征多项式，它必须满足以 4 中科院研究生院 2009～2010第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿 孙应飞 下条件。 ● 必要条件：特征多项式 是既约多项式 )(sF ● 充分必要条件：特征多项式 是本原多项式，即 是多项式 的 一个因子。 )(sF )(sF 1⊕PNs ● 满足以上两个条件的部分特征多项式见表 2.11，注意表的使用 1.2.4 M序列的性质 ● M序列的循环周期 bit12 )( −= PPN ● M序列的“游程” M序列中某种状态连续出现的段称为“游程”。一个 P级 M序列的“游程”总 数为 ，其中“0”游程与“1”游程各占一半。长度为 bit（1 ）的 游程占1 ，即有 个，但长度为 12 −P / i 2−≤≤ Pi i2 iP −−12 )1( −P bit的游程只有一个，为“0”游程， 长度为P bit游程也只有一个，为“1”游程。 ● M序列的可加性 所有 M序列都具有移位可加性（模 2和）。 1.2.5 M序列的自相关函数 幅度的选取：作变换： )21()( ixaiM −= ，幅度变为 和a a− 。 ● 计算式： ∫ ∆ +∆= tN P M P dttMtM tN R 0 1 )()()( ττ 其中 是位移脉冲周期（时钟节拍），离散形式为： t∆ ∑− = += 1 0 )()(1)( PN kP M kMkMN R ττ ● 结果：    ∆−<<∆− ∆≤≤∆−    ∆ +− = tNt N a tt tN N a R P P P P M )(, , )( 1 1 1 2 2 τ ττ τ 1.2.6 M序列的谱密度 ● )()()( )()( τττ 21 MMM RRR += 5 中科院研究生院 2009～2010第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿 孙应飞    ∆−<<∆ ∆≤≤∆−    ∆−    += tNt tt tN a R P PM )(, , )()( 10 11121 τ τττ P M N aR 2 2 −=)()( τ ● )()()( )()( ωωω 21 MM SSSM += ∑∞ −∞= −= k k kcSM )()( )( 0 1 2 ωωδπω 2 0 02 0 2 1 2 1 11 2         ∆ ∆     += ∆= tk tk NN ac tN PP k P ω ω πω sin )(2)( 2 )2( ωδπω PN aS M −= ● )()( sin)( )( ωδπωωδ ω ωπω 2 2 0 0 2 2 2 2 2 1 2 1 12 PP N ak t t N Na S k k P M +         −         ∆ ∆+= ∑∞ ≠−∞= ● 例子： 1、 白噪声生成 ● 利用乘同余法生成 U[0,1]均匀分布的随机数 6 中科院研究生院 2009～2010第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿 孙应飞 )(,11 )8(mod3179 )2(,327682, ]1,0[~ )(mod, 0 215 1 奇数 循环周期其中 = ≡= ==    = = − + x A M U M x MAxx k i i ii ξ ● 利用 U[0,1]均匀分布的随机数生成正态分布的白噪声 ),(~)( 2 12 1 06 v i iv Nkv σξσ    −= ∑ = 其中， 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差 vσ 分别取 0,0.1,0.5。 ● 编程语句 }; );.(* }; );( ); ;*{ );;( ;{ ),;( 06 FLOAT ,MOD( 121for 0 2521for −= += = = ++<= = ++<= ksaiSigmav(k) xi/Mksaiksai Mxixi xiAxi iii ksai kkk 2、 M序列生成 ● 用 M序列作为辨识的输入信号，M 序列的循环周期取 ,时 钟节拍 ，幅度 ,逻辑“0”为 a,逻辑“1”为-a，特征多项式自选， 如 。 63126 =−=PN Sec1=∆t 56 ⊕= ss) 1=a 1⊕sF ( ● 生成 M序列的结构图 M(0) M(1) M(2) M(3) M(4) + M(5) M(6) CP C6 C5C4C3C2 C1 ● 编程语句 7 中科院研究生院 2009～2010第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿 孙应飞 }; ;)()( ;)()( }; );()({ );;( ;)()( );()()({ ),;( akuM akuM iMiM iiPifor MM MMM kkk −=== === −= −−>= === += ++<= then10if then00if 1 0 00then20if 210 2521for 1.2.7 逆 M序列的概念及性质 由 M序列的谱密度可知，M序列含有直流分量，这是 M序列的弱点，为了克 服这一弱点，我们引入逆 M序列的概念及性质。逆 M序列比 M序列具有更良好的 统计性质。 ● 逆 M序列的概念 设 为周期为 取值为 0和 1的 M序列， 为周期为 2的取值为 0 和 1的方波序列，令 )(kM PN )(kS )()()( kSkMkIM ⊕= 则称 为周期是 的逆 M序列。 )(kIM PN2 ● 逆 M序列的性质 （1） 逆 M序列在一个周期 内取值 0和 1的几率均等； PN2 （2） 逆 M序列前半周期与后半周期的取值为逆重复，即： )()( PNkIMkIM +−= （3） 逆 M序列与原 M序列不相关； ● 逆 M序列的相关函数 )()()( )2()1( τττ RRRIM += )()1( τR 和 的周期分别为)()2( τR tNP∆2 和 t∆2 ，且为： ∑+∞ −∞= ∆−= k P tkNRR )2()( )1()1( ττ ∑+∞ −∞= ∆−= k tkRR )2()( )2()2( ττ 其中： 移位脉冲周期（时钟节拍），序列幅度为 ， ，且： t∆ a 12 −= PPN 8 中科院研究生院 2009～2010第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿 孙应飞        ∆−≤≤∆+∆−≤≤∆ ∆+≤≤∆−    ∆ −∆−⋅    + ∆≤    ∆+⋅    + = tNtNtNt tNtN t tN N a t tN a R PPP PP P P P )12()1(;)1(,0 )1()1(,111 ,111 )( 2 2 )1( ττ ττ ττ τ t tN aR P ∆≤    −∆= τ ττ ,12)( 2)2( 相关函数的图形见教材 P69。逆 M序列的相关函数近似的为白噪声序列。 ● 逆 M序列的谱密度 根据 Wiener-Khitchine关系式，由逆 M序列的相关函数可得： )()()( )2()1( ωωω SSSIM += 其中： ∑∞+ ≠ −∞=       ∆−         ∆    ∆ ⋅+= 偶数k k PP P tN k t t N NaS πωδ ω ωπω 2 1 2 1sin )1(2)( 2 2 )1( ∑+∞ ≠−∞=    ∆−−= 0 22 2 )2( 8)( k kP t k kN aS πωδπ πω 逆 M序列的谱密度函数图形可见教材 P70。 逆 M序列无直流分量，统计性质与白噪声类似，它是一种比 M序列更为理想 的伪随机码序列，在辨识领域中有更为广泛的应用。 9