等差数列求和公式 - 教
等差数列求和公式
宁陕中学 李宏超 【教学目的】使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和。解决数列和的最值问题。
通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法。
通过对科学小故事的教育，使学生能崇尚科学，树立敢于创新精神。 【教学重点】等差数列求和公式
【教学方式】演示文稿(配合课件施教)
【教学过程设计】
师:复习回顾一下前面学过的知识。
提问:(1)什么叫等差数列,
(2)等差数列一般项公式等于什么?
师:今天我们要上的课题“等差数列求和公式.下面先看一个“小故事”:
高斯是伟大大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在
给大家出道题目:
1+2+„100=?”
过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10„算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说:
“1+2+3+„+100=5050。
教师问:“你是如何算出答案的,
提问:高斯是如何这么快地算出答案,
,待议论回答后,
下面听高斯是怎么回答。
高斯回答说:因为1+100=101;
2+99=101;„50+51=101，所以
101×50=5050”
评说:这个故事告诉我们:
(1)作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和
寻找出某些规律性的东西。
(2)该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要
介绍的“倒序相加”法。
一(等差数列求和公式。
下面考虑等差数列前n项和如何求,
如图所示:(实际问题联系生活)一堆钢管，从上到下堆成一堆，第一行3根，第二行4 根，„
第四行6根。为了求得这堆钢管的总数，拿一堆与此相同的管子倒放在一起。如图。每
层钢管数目相同即:3+6=4+5=5+4=6+3=9;共四层所以管子总数为(3+6)×4/2=18。相
当“梯形面积”
一般地数列{a}: 前n项和S= a+a+…+a nn12n? S=a+(a+d)+(a+2d)+ …(a+(n-1)d) n1111
+) S=a+(a-d)+(a-2d)+…+(a-(n-1)d) nnnnn
2S=(a+a)+(a+a)+ …+(a+a)=(a+a)n n1n1n1n1n
()a，an1n ? S= n2
上述推导方法叫做 “倒序相加”法。 二(例题:
例1:如图一个堆放铅笔的V型架上最下面一层放着一支铅笔，每往上层多放一支铅笔，最上
一层放120支铅笔，求这堆铅笔总数。(生独立完成)
解:?a=1,a=2, …a=n=120. 12n
S=(a+a)n/2=(1+n)n/2=(1+120)×120/2 n1n
=7260
答:这堆铅笔共7260根。
(分析数列的前项和公式)
()a，an1nS= 公式一 n2
图形相当”梯形面积”
? a=a+(n-1)d n1
?S=(a+ a+(n-1)d)n / 2=na+(n-1)nd / 2 n111
n(n,1)?S=na+d 公式二 n12
图形相当“梯形面积”分成“平行四边形面积”和“三角形面积”。
公式二又可化成式子:
dd2当d?0，是一个常数项为零的二次式。 S,n，(a,)nn122
例2..已知等差数列{a}中,a=13,且S=S，那么n取何值时，S取最大值。 n1311n
解法1:设公差为d，由S=S得: 311
3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2
d= -2, a=13-2(n-1), a=15-2n, nn
15,2n,0a,0,,n由即得:6.5?n?7.5,所以n=7时S取最大值. n,,a,015,2(n，1),0n，1,,
解法2:由解1得d= -2,又a=13所以 1
dd22 = - n+14 n S,n，(a,)nn1222 = -(n-7)+49
?当n=7，S 取最大值。 n
三(课堂练习:(注:若时间来不及，可直接转到下一页课堂练习)
已知等差数列{a}中，a= -2，且S=S，则当n取何值时S取最小值, n137n
(待学生做完后给出答案)
答案:当n=5时，S取最小值。 n
第三种解法参见练习册P 34
四(课堂小结:(多媒体课件)
数列{a}:它的前n项和: n
S=a+a+„+a n12n
我们学了两个公式:
()a，an1nS= 公式一(回到前页说明) n2
n(n,1)S=na+d 公式二(回前页说明) n12
已知a，a，n用公式一;已知a，d，n用公式二。 1n1
dd2又 S,n，(a,)nn122
对等差数列前项和的最值问题有两种方法 (1) 利用a: n
当a>0，d<0，前n项和有最大值。可由a?0，且a?0，求得n的值。 nnn+1当a<0，d>0，前n项和有最小值。可由a?0，且a?0，求得n的值。 nnn+1(2) 利用S: n
dd2由利用二次函数配方法求得最值时n的值。 S,n，(a,)nn122
五(作业:P，12，15，16 48
六(课后反思:
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