[doc格式] 有限维代数扩张的同构与维数群

[doc格式] 有限维代数扩张的同构与维数群 有限维代数扩张的同构与维数群 第37卷第6期 2008年12月 数学进展 ADVANCESINMATHEMATICS VO1.37.No.6 Dec.,2008 有限维代数扩张的同构与维数群 魏常果,刘俊平.,一 (1.中国海洋大学数学系,青岛,山东,266071;2.华东师范大学数学系,上海,200062) 摘要:对于有限维一代数,证明了其本质扩张的同构与酉等价是一致的,由此证明了扩 张群Ext(A)中的等价类是区分该类扩张代数的完全不变量,并利用Bratteli图计算出它们的维数 群. 关键词:Gr一代数;扩张;序群 MR(2000)主题分类:46L05/中图分类号:0177.5 文献标识码:A文章编号:i000—0917(2008)06—0701—09 设H为无限维可分Hilbert空间,B(H)为日上的有界线性算子全体, 为B(H)中紧 算子全体构成的理想.令Q为Calkin代数,7r:B(H)一Q为商同态.一代数A通过的 本质扩张,是指存在本质的短正合列e:0一-_?_0.Brown,Douglas和Fillmore[5. 最早系统地研究了.代数扩张的分类. 自BDF理论问世以来,扩张的分类问题得到了广泛而深入的研究,由此发展起来的一代 数一理论和KK一理论极大地丰富了算子代数理论(这方面详细的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 可参看[2】).在被研究 的代数中有一类是由c一代数的扩张所产生的扩张代数,对这类代数的分类已有了许多结果, 如[9,10,12,15】等.与扩张分类不同的是,扩张代数的分类是要找出扩张代数同构的充要条件 或完全不变量,而所在扩张的酉等价往往只是扩张代数同构的充分条件. 对于大多数常见的c一代数,利用扩张理论的已有结论不难计算出扩张群Ext(A),但同 构的扩张代数所在的扩张是否必须酉等价(一般说来是不成立的)?或扩张的同构与酉等价的关 系是什么?扩张代数同构的充要条件是什么?这类问题是扩张分类的基本问题.当A为有限维 一 代数,通过JIC的本质扩张代数都是AF一代数.本文对此种情况下的上述问题给出了完 全的解答,证明了扩张代数的同构与扩张的酉等价是一致的,不同的酉等价类中的扩张代数是互 不同构的,但是稳定同构的;并利用Bratteli图计算出它们的维数群. 1预备知识 设,B为C一代数,称通过的扩张e:0一3E—0是平凡的,若上述正 合列是分裂的,即存在同态,y:A—E,使得.=idA;称扩张e为本质的,若(B)为E的 本质理想. 设0一B3E一0为A通过B一个扩张,则存在唯一的同态:E—M(B),使 得.Ol=.其中M(B)为B的乘子代数,为嵌入映射.易知为单射的充分必要条件为 扩张是本质的.扩张e的Busby不变量丁定义为丁:A—M(B)/B,其中丁(n)=7r((6)),这里 收稿日期:2007-08—24.修改稿收到日期:2007-12—27. E—mail:}weicgqd@yahoo.com.cn;jpliu@math.ecnu.edu.cn 702数学进展37卷 不:M(B)一~t(B)/B为商映射,b?E,使得(6)=a.则Busby不变量7.是使得下图可交换 的唯一同态: 0一B竺EA0 若有单位元,且Busby不变量丁保持单位元,称扩张e是有单位元的. 设ei:0一B一邑一一0,i=l,2为通过B的两个扩张,其Busby不变量记作 ,(i=1,2).称el与e2是酉等价的,若存在酉元u?M(B)使得(0)=7r(r”)丁1(n)7r(乱),a?A. 称C1与e2是弱酉等价的,若存在酉元?M(B)/B使得(n)=V~l(a)v,a?A.称C1与C2 是同构的,记作ele2.若存在同构0:B—B,叼:El一,::一使得下图交换: 0—}B——E1——A——0 lll 0B—}—r__A0 设B是稳定C一代数(即BB),n,7_2是A通过B的扩张,则n与”1-2之和丁107”2 定义为T10:A—Q(B)0Q(B)M2(Q(B))Q(B),这里Q(B)=M(B)/B. 设nxt(A,B)为通过B的扩张的酉等价类全体,则Ext(A,B)在上述加法下构成交换半 群,其中平凡扩张的等价类构成子半群.记Ext(a,B)为Ext(A,B)对平凡扩张的等价类构成的 子半群的商半群.当有单位元时,记Ext;,B)为有单位元的本质扩张的酉等价类构成的 半群,若B=,则将此半群记作Ext:”(A). 设B是稳定c一代数,是可分的核一代数,则Ext(A,B)为群.若为有单位元的 可分的核一代数,则由【1】知Ext;(A)为群. 设为一代数,1和2为的一子代数,若存在酉元?M(),使得Adu(A1)=A2, 则称2通过Adu与1酉等价,记作A2A1.设A,B为C一代数,若AJICB,则称 与B是稳定同构的.设1,2为到B的同态,若存在酉元71,?M(B)使得2=u~blu, 则称咖2通过Adu与1酉等价,记作21. 记V(A)为上的所有矩阵代数的投影的Murray-yonNeumann等价类全体构成的半群. 令Ko()+为v(a)在)(A)中的像,?()为中的投影在)()中的像.当为有单位元 的稳定有限的一代数时,(Ko(),Ko()+)为序群;A具有消去性质时,()=Ko()+. 当为F_代数时,(Ko(A),Ko(A)+)为的维数群,((A),K)()+,?(A))为A的有标 度的维数群. 2的扩张 当A=c时,Ext(A)=0,Ext;()=0,所以的扩张的酉等价类只有三种情 况:(1)7-= 0,此时=|IC0c;(2)丁(1)<,,此时=+Cp,这里P?B(日)\,且P?;(3)丁(1)=,此 时=+CI.其中(2)和(3)是本质扩张.因此.IC在B(I-I)中的一维扩张就是=|IC+Cp, 其中7r(p)?0.记1=+CI,则l竺,其中JIC为JIC的单位化代数.1的一群容易知 道,但其半群未见于已有文献,故在下面给出. 定理2.1go(1)十=(z十00)u(z0N). 一 一 ? M 一 一 6期魏常果,刘俊平:有限维代数扩张的同构与维数群703 证明设{e)1为日的就范正交基,令=span{el,e2,…,e),P为日到的 正交投影,则{}1为JIC的近似单位元.令A=Mn0c,作如下的Bratteli图: 其中:一+,.一();c一,l一(:);C--*C,1H1. 令E=lim(A,),则E为上面的Bratteli图所代表的AF一代数.易知lim(Mn,‰)同 构于.IC,由【3】引理3.2知lim(Mn,‰)为E中理想,且/c,又‰是保持单位元的,因 此E1. 设:z0z—z0z为‰导出的()到(+1)的同态.由‰的定义及A P—C(1一P),故得‰(e1)为+1中的极小投影,且(1c)=叶1一P)0(1一P计1), 这里e1为M中得极小投影.注意到A的)序群为(甄)(),垃)()+)=(z0z,z+0z+), 从而((1,0))=(1,0),((0,1))=(1,1).这样上面的Bratteli图导出的图为: Z—————Z Z—————Z 设:A一1为{(,‰)}导出的典则映射,则是保持单位元的单同态.设在 群上的导出映射为:Ko(A)一Ko(ei),即:z0z—z0z.由于将中的秩一投影 映为中秩一投影,因此((1,0))=(1,0);又(1m)=le,[1A】0=(札,1),[1eJ0=(0,1), 所以((几,1))=(0,1).由此推出 ((0,1))=咖((n,1))一礼((1,0))=(0,1)一n(1,0)=(一礼,1). 因此((f,r))=(z—rn,r),其中(f,r)?z0z.这样?(z+00)=z+00,(z+0N)= {(1一rn,r):f?z+,7.?N).注意至U,0(&)+=]im(go(A)+,),所以 Ko(g1)+=U(r0(A)+)=(z+.0)u(z.N) 礼=1 推论2.2r~(C1)=(z十00)U{(一m,1):m?z+}. 证明因为?()={(s,t):0sn,t=0,1),所以由定理2.1得 (?())={(s,0):0sn)u{(一礼,1):0玎n} 因此,?(&)=(z+00)u{(一m,1):m?z十). 下面来考虑无单位元的情况.令go=+c,P?B(H)\JIC,且7r(p)?1 定理2.3((),j()+)(go(,1),Ko(1)+). 704数学进展37卷 证明作AF一代数E,其Bratteli图如下: l——————————+l——————————+i————————}?…??————————+ 即E=lim(A,),其中A=M20c,:A一A凡+1,diag(a,0)diag(diag(a,0,0),0) diag(0,1)一diag(diag(0,…,1),1). 由Bratteli图的性质知,为E的理想,且E/C.但E是无单位元的,否则,由于 所有的都是单同态,所以存在nO,使得.是保持单位元的,而{)1均不是保持单位 元的.因此E. E的及go+图为: (z,z)一(z,z)一(z,z+)一…...一 (z,z十)一(z,z十)一(z,z十)一…???—— 其中‰:z0z—z0z为导出的.由‰的定义得, ((1,0))=(1,0),((2n,1))=(2n+1,1) 因此‰((0,1))=(1,1);由此可见(go(E),Ko(E)+)的图与定理2.1中(Ko(,1),Ko(E1)+)的图 一 致,故(Ko(Eo),Ko($o)+)(Ko(E),Ko(E)+)(Ko(E1),(1)+).且若设:A一E为 {A,)的导出映射,则+:Ko()一甄)(E)使得((1,0))=(1,0),((0,1))=(一n,1), 因此((f,r))=(f—rn,,r). 推论2.4?(Eo)=(z+00)u(z01). 证明注意到E(A)={(s,t):0s2n,t=0,1),因此(?())={(s,0):0 s2n}U((s—n,1):0s2礼}={(s,0):0<is2n)U{0,1):--Tttn}.故 ?()=(z+00)u(z01). 推论2.5与1是稳定同构的. 证明由『217.3.3及定理2.3立得. 定理2.6设A为一代数,ei:0一.IC一A一0为的本质扩张,对应的Busby 不变量为死:A—Q,i=1,2.则: (1)1=E2im~-i=imT2; (2)1ele2; (3)C1--7--e,2乍存在酉元U?B(日),使得丁1)通过AdTr(u)与T2(A)酉等价.此时,若 为1到上的同构映射,则=Adu. 证明(1)和(2)的充分}生是显然的. (2)必要性.设咖:一为同构,则)c,且西I为的自同构.令为的商 6期魏常果,刘俊平:有限维代数扩张的同构与维数群705 映射,则为A的自同构,且有下面的交换图: 01—jA一0 』』 0一—A一0 所以e1e2. (3)充分性.若存在酉元U?B(日),使得n()通过Ad~r(u)与T2(A)酉等价.作映射 西=Adu:1-_?,由于 7r(d(1))=Ad7r(u)7r(1)=AdTr(u)(~-i())=7_2(), 所以Adu(~1)c.同理可证Adu()c1,即得咖:1一为同构.令妒:oAdr(u)oT1 则妒?Aut(A).注意到=.7r,则有下面的交换图: 01—A一0 ll』妒 0一—A一0 因此01e2. 必要性.若ee2,由(2)存在同构:一为同构.而c邑,)=,所以存 在酉元钆?B(日),使得:Adu.因此有同构Adr(u):7r(1)一不(),而7r):(),从而 71()与T2(A)通过Adr(u)酉等价. 定理2.7设为.代数,丁1与为A的平凡的本质扩张,则下面结论成立: (1)T1铮存在同态:A—B(日),使得=7ro,且(721,i=1,这里u为 B(日)中酉元. (2)T2(A)n)错存在同态O”i:A—B(日),使得=7r.吼,且2(A)(T1(), i=1,这里为B(H)中酉元. 证明(1)T1平凡,故存在同态:A—B(日),使得7-l=不.(71.若存在酉元?B(日), 使得=Ad~(u)o71.由于Adr(u)o不.1=7ro(Aduo1),若令(T2=AduoO”1:A—B(?), 则0”20”1,且T2不o(T2. 反之,若存在酉元U?口(日),及同态:A—B(日),使得”ri=7ro,且0”2~rl,i=l, 则T2:Ad~r(u).T1. (2)若存在酉元U?B(日),及同态(Ti:A—B(?),使得”ri:7ro,且a2(A)1(A), i:1,贝07r.()’7r.盯1().由于=7ro,i:1,所以()n(A). 反之,设7_2(A)丁1(),其中为B(H)中酉元.由定理2.6(3)知,存在同构(,,7): a一,使得下图交换: 0一一,1—一A一0 ial卢l 0一一—A一0 其中=Adu. 706数学进展37卷 取同态盯1:A__+,1cB(tt),使得妒1o1=idA,则7Il=7r06r1.令盯2=.1._..进而可知E)(t;”()=z,Ext()=0. 显然,酉等价的扩张的扩张代数是同构的,但一般地,同构的扩张代数所在的扩张却未必是 酉等价的.因此酉等价类一般不是区分扩张代数同构的完全不变量.例如,A=c(s),其中s 为单位圆周,此时E)(t;()=Z,而E1E2{=lind(丁1)I=find(~)1.但对于A=M,却有如 下的结论. 定理2.8设e1:0一一1一一0与e2:0一JIC一一一0为的有单位 元的本质扩张,所对应的Busby不变量为7_1与.则有下面各条等价: (1)e1e2; (2)1; (3)7-1与7_2酉等价. 证明(1)与(2)的等价由定理2.6可得.(3)(2)是显然的. (2)(3):设def(r1)=kl,def(r~)=k2.因为1竺,由定理2.7(2),存在提升:A— B(H)及酉元u?B(H),使得丁1=7roO”1,=7ro0”2,且cr2(A)O”1(A).由亏数的定义, 存在mi?N,使得dim(1一吼(1))(?)=min+k,i=1,2.因为2(A)与al(A)酉等价,故 u~l(1).这里:一 pB(H)pB(p日),a一(口)为保持单位元的同态. 设:B(H))一Q(日))为商同态.令不po,则plop+()为的扩张代 数,且def(r~)=0.故p—(M).而pep为的满的遗传子代数,由【4】定理2.8 得,pgp00.所以0(p~Cp+盯p(A))0.IC. 推论2.10设为的任一本质扩张代数,则v(e)=(z+00)u(z0). 证明取Bratteli图: 设其极限代数为E,则E为的本质扩张.由定理2.9,E.类似于定理2.1, 可扩张代数. 设尸’Q为B(H)中的投影,使得不(JF))=7r(Q),由【5]注4.9知,算子PQ:Q(H)一P(日) 的Fredholm指标indPQIQ(日)称作P相对Q的余维数,记作cd(P,Q).由[14】知 Ex00…0)Zd, 这里d=gcd(n1,/t2,…,n),即n1,n2,…,n的最大公因子. 对于A=Mn.0Mn0…0的扩张代数的分类有类似于A=的结果. 定理3.1令A=Mn00…0.设e1:0_一1_0与C2:0__+ 一一0为A的两个有单位元的本质扩张,其对应的Busby不变量分别为n与T2.则下列 各条等价: (1)C1e2; (2)1; (3)在Ext:”(A)中,【7-1】=】. 证明只需证(2)(3). 设7-:A—Q为的任一扩张.令qi=7-((0,…,10,…,0)),其中1为的单位 元,1ir.令Ti:iqiQqi,使得 (0)=下((0,…,a,0,…,0)), 则7-=0r=1.取{pl,P2,…,肼)为B(H)中正交投影族,使得7rt)=qi,li<r, 由于对 每个都存在提升0-i:M一JE}(日),从而存在同态0-:A—JE}(),使得7-不o0-. 因为1,由定理2.7(2),存在同态0-i:A—B(日),及U?B(),使得T1=7ro0”1, T2=7ro0”2,且ima2与im0-1酉等价.因此 dim0-1(1)(H)=dim0-2(1)(H),dim0”1(1)上(?)=dima2(1)上(H) 令d:gcd(nl,n2,…,n),则有cd(1,l(1))三cd(1,0-2(1))(roodd).由[14】,定理8及注 (2)得,h】与】在Ext;”()中相等. 定理3.2设1,?,e1:0一一1A1—0与e2:0一一A2—0分别 为和所在的任一有单位元的本质扩张.则下列各条等价: (1)ele2; (2)1; (3)存在同构,y:A1一2,使得【C1】=[e2o这里e2o7为由7导出的1 的本质扩张. 证明只需证(2){=争(3). 708数学进展3倦 (3)(2)设e=e2.7为导出的扩张,则e为0一一1—0.若【e】=【e】, 则182. (2)(3)设:,1一为同构,则(JIC)=,从而导出同构7:Al—2.令 e=e2.:0一/C一A1—0,则e为A1通过JIC的有单位元的本质扩张.因为 1,由定理3.1知[e1】=[e,2]_ 定理3.3设dimA<..,则A的所有本质扩张代数都是稳定同构的,但不同的酉等价类的 本质扩张代数彼此不同构.其上投影的Murray-vonNeumann等价类构成的半群都是同构的. 证明稳定同构的证明类似于定理2.9,由稳定同构可得半群都是同构;彼此不同构由定理 3.1可得. 推论3.4设为A0M0…0A的任一本质扩张代数,则v(E)(z+0 00…00)u(Z0((z+0…0Z+)\{(0,…,0)))). 证明当A=,0时,令=0(n1+)0,取E=lim(A,),其 Bratteli图如下: nl+Tt2_+2(nl+Tt213(nl+ Tt2—————n2——————n2————.’’ 则E为的通过/C的本质扩张.由定理3.3,E0.IC 由上图知Ko(E)对应的图为: Z—————Z Z————Z 设:z0Z0Z—z0Z0Z为导出的()到KD(An+1)的同态,则有 ((1,0,0))=(1,1,0),((0,1,0))=(0,1,0),((0,0,1))=(0,1,1).设:A一为 {(4,))的导出的典则映射,则是保持单位元的单同态.设在甄)群上的导出映射为 ;Ko()一Ko(E),贝0有((1,0,0))=(1,一n,0),((0,l,0))=(0,1,0),咖((0,0,1))= (0,一礼,1),因此((kl,k2,3))=(1,k2一n(南1+k3),尼3),其中(1,2,k3)?Z0Z0Z.这样 im~n={(1,k2一n(kl+k3),k3):ki?Z+,i=1,2,3},因此 .o (E)=U咖(())=(0.z+.0)U(N.z.o)U(0.z.N)U(Nez.N) n=1 魏常果,刘俊平:有限维代数扩张的同构与维数群709 故v(E)V(E)(z+0000)u(Z0((z+0Z+)\{(0,0)))). 类似的,AMn0:0…0时,V(E)(z+000…00)U(z0((z+0…0 Z+)\{(0,…,0)))). 参考文献 【1】Arveson,W.,NotesonextensionsofCalgebras,DukeMath.,1977,44(2):329— 355. 【2】 theoryforOperatorAlgebras,Secondedition,MathematicaBlackadar,B.,K— lSciencesResearchInstitute Publications,5,Cambridge:CambridgeUniversityPress,1998. 『31Bratteli,O.,InductivelimitsoffinitedimensionalCalgebras,Tra~.8.Amer.Math.Soc.,1972,171: 195—234. [4]Brown,L.G.,StableisomorphismofhereditarysubalgebrasofC*-algebras,PacificMath.,1977,7l(2): 335—348. 【5】 Brown,L.G.,Douglas,R.G.,Fillmore,P.A.,Unitaryequivalencemodulothecompactoperatorsandex- tensionsofCalgebras,ProceedingsofaConferenceonOperatorTheory(DalhousieUniv.,Halifax,N.S., 1973),LectureNotesinMath.,Vo1.345,Berlin:Springer,1973,58—128. f61Elliott,G.A.,Ontheclassificationofalgebrasofrealrankzero,ReineAngew.Math.,1993,443: 179—219. [7]Elliott,G.A.,AclassificationofcertainsimpleCalgebras,II.RamanujanM ath.Soc.,1997,12(1): 97—134. 【8]Elliott,G.A.,Gong,Guihua,OntheclassificationofCalgebrasofrealrankzero,II.Ann.o/Math., 1996,144(3):49%610. 【9】LinHuaxin,OntheclassificationofC一 algebrasofrealrankzerowithzeroK1,J.OperatorTheory,1996, 35(1):147-178. f10]LinHuaxin,AclassificationtheoremforinfiniteToeplitzalgebras.Operatoralgebrasandoperatorthe- ory(Shanghai,1997),Math.,P28,Amer.Math.Soc.,Providence,RI,1998,219—275. f111LinHuaxin,ClassificationofsimpleC一 algebrasoftracialtopologicalrankzero,DukeMath.J.,2004,125 (1):91—119. [12】 LinHuaxin,SuHongbing,ClassificationofdirectlimitsofgeneralizedToeplitzalgebras,PacificMath?, 1997,181(1):89—140. 『131Phillips,N.C.,Aclassificationtheoremfornuclearpurelyinfinitesimple Calgebras,Doc.Math.,2000, 5:49-114. f141Pimsner,M.,Popa,S.,OntheExt—groupofanAFalgebra,Rev.Roum.M ath.他sApp1.,1978,23: 251.257. 【15】RCrdam,M.,ClassificationofextensionsofcertainC一 algebrasbytheirsixtermexactsequencesinK_ theory,Math.Ann,,1997,308(1):93—117. IsomorphismsandDimensionGroupsofExtensions ofFiniteDimensionalAlgebras WEIChangguo,LIUJunping (1.DepartmentofMathematics,OceanUniversity0jChina.Qingdao,Shandong,266071,P.R. China;2.Departmento/Mathematics,EastChinaNodalUniversity,Shanghai,200062,P.R.China) Abstract:Inthispaperweprovethatisomorphismequivalenceandunitaryequivalence ofessentialextensionsoffinitedimensionalC*-algebrasbyareequivalent.Wealsogivethe dimensiongroupsoftheseextensionalgebrasandprovethattheyarestablyisomorphicbutnot isomorphic. Keywords:C*-algebra;extension;orderedgroup