定积分在物理中的应用-3
目录:
一( 定积分的定义 第2页 二( 定积分的几何意义 第3页 三( 变力作功 第4页 四( 质点作变速直线运动的路程 第5页 五( 曲边梯形的面积 第6页 六( 引力问题 第9页 七( 水压力问题 第13页
摘要:
定积分在物理学中应用，可以说是定积分最重要的应用之一。正是由于微积分的发展，使得物理学中精确测量，计算成为可能，从而使物理学得到长足发展。
关键字:
定积分 物理
定积分的定义:
设函数f(x)在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点
XXXa=
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示无关 ia,ii,1
100100100111 ,,,,,222iknikn,,,111
bbb同理 f(x)dx,f(t)dt,f(u)du,,,aaa
注意:这与不定积分有本质的区别，不定积分中，积分变量是不
能随便改的
两个规定:
bfxdx()0,1、 当ab,时，规定 ,a
bafxdxfxdx()(),,ab,时，规定 2、 当,,ab
这个等式不论a，b谁大谁小均成立
例1 变力作功(
—个质量为m的人造卫星，要把它从地面送上太空，要计算地
x心引力对它作的功，如果把铅垂线选作轴，则这时的力为
,mfx(),,。 2x
W,F,S 常力作功: (功=力距离) ，
x变力是随变化的连续量，功具有可加性，考虑将其一点fx()
点求和。
因此这是个连续量连续作用的积累问题( 分4步解决
ab,1、分割 在区间中插入个分点(。 naxxxxb,,,,,,,,,,,012n
xx,第个小区间为，长度为， ,x,x,xii,1,2,？n,,ii,1iii,12、取近似 当很小时，可以认为的变化较小， ,xfx()i
,,xx, 取，则质点从到过程中，力所作的功 xx,,iii,1i,1i
,w,f(,),xiii
n
3、求和 力所作的总功 W,f(,),x,ii,1i
,,,maxx4、取极限 记，则 ,,i1,,in
n
W, lim()fx,,,ii,,0,1i
例2 质点作变速直线运动的路程(
设质点作变速直线运动，速度为，求质点在时间间隔vvt,()ab,内所走过的路程， ,,
S,vt匀速直线运动: 路程=速度时间 ( ，
变速怎么样, 路程具有可加性 v(t)
因此这是个连续量连续作用的积累问题( 分4步解决
ab,na,t,t,？,t,b1、分割 在区间中插入个分点:。 ,,01n
[t,t],t,t,ti第个小区间为，长度为， i,1,2,？ni,1iiii,1
,t2、取近似 当很小时，可以认为的变化较小， v(t)i
,,[t,t]tt 取，则质点从到过程中，所走过的路程 ii,1ii,1i
,S,v(,),tiii
n
ab,3、求和 在内走过总路程 S,v(,),t,,,iii,1
n4、取极限 记，则 ,,max{,t}S,limv(,),ti,ii1,i,n,,0,1i例3 曲边梯形的面积
所谓曲边梯形，是指由三条直边及一条曲边所围成的图形。
垂直于底边的直线交曲边只有一点。
x,ax,b设三条直边为 ，， y,0
曲边是连续曲线 yfxfx,,()(()0)
分4步解决
ab,naxxxxb,,,,,,,,,1、分割 在区间中插入个分点(。 ,,012n
xx,,x,x,xi第个小区间为，长度为， i,1,2,？n,,ii,1iii,1
,x2、取近似 当很小时，可以认为的变化较小， fx()i
,,xx, 取，则小曲边梯形的面积近似于 ,,iii,1
,S,f(,),x iii
n
3、求和 曲边梯形的面积 S,f(,),x,ii,1i
,,,maxx4、取极限 记，则 ,,i1,,in
n
S,limf(,),x,ii,,0,1i
设想曲边梯形是由线段当从a变到b时扫x(,)0()xyyfx,,,,000
出来的(图7-5)。如果函数等于常数，这时图形是矩形，面fx()
积很易求得。对一般的连续函数，困难就在于当从a变到xfx()0b时，也在连续的变化。因此，求曲边梯形的面积，也就是fx()
求一个连续量连续变化的“积累”问题，从这个意义来看，例3是例1、例2的几何“解释”。
这些例子，都归结为求某种和式的极限。我们把它概括抽象出来，便得到下面的定积分定义。
ab,定义 设函数在区间上有定义(用分点 fx(),,
axxxxb,,,,,,,,, 012n
将区间任意分成n个小区间，小区间的长度为
,,,maxx,,,,,,,xxxin,1,2,,，记，在每个小区间上任取一点,,iiii,11,,in
,,xx,，作和式 ,,iii,1
n
( ,,,,fx(),ii,1i
ab,,,0,若当时，和式的极限存在(设为I)，则称在是可fx(),,
bab,fx()积的，极限值I称为在的定积分，记作( fx(),,,a
nb概括起来，也就是 I,limf(,),x,f(x)dx,ii,a,,0i,1
注1 这是一种新的极限
ab,,,xx,注2 极限的存在与否与的分法无关，与的取法无,,,,iii,1
关～
n
注3 和式 称为黎曼和 ,,,,fx(),ii,1i
分别称为积分下限和积分上限，积分区间 a,b[a,b]
称为被积函数，称为积分变量 xf(x)
定积分是一个数，是黎曼和的极限
等价定义:
,,,0，,,0, ，， limf(x),Ax,x0
0,|x,x|,,当时，有 |f(x),A|,,0
n,,,0，,,0limf(,),x,I,，， ,ii,,0i,1
,,,[x,x]对的任意分法及， [a,b]ii,1i
n,,,|f(,),x,I|,,当时，有 ,iii,1
,注意两个任意——对区间的分法任意和在子区间的取法任意。 i正因为此，使黎曼和的极限比通常函数的极限复杂得多。
x0,|x,x|,,f(x)对函数极限，当时，对每个来说，是唯一确定的;0
n
f(,),x,,,而对黎曼和极限，当时，不是唯一确定的，这时，ii,i,1
,区间的分法有无穷多种，对每一个分法，的取法又有无穷多种。 i
等价定义:设在有定义，是一个确定的数，若 If(x)[a,b]
，，对的任意分法及，当时，,,,0，,,0,,,,,,[x,x][a,b]ii,1i
n有 |f(,),x,I|,,,iii,1
bab,ab,则称为在的定积分，记作(并称在可fx()II,fx()fx(),,,,,a积。
ab,变力使质点沿直线从移到时所作的功是在的定abfx()fx(),,
积分
(作用的方向与位移的方向重合) fx()
b W,f(x)dx,a
ab,变速直线运动的质点所走过的路程是速度在时间区间上vt(),,
b的定积分，即 S,v(t)dt,a
例四 引力问题
mm质量分别为，的质点，相距r， 12
二者间的引力:
mm12F,k 大小: 2r
方向: 沿两质点的连线
若考虑物体对质点的引力，则需用积分解决.
设有一长度为l，线密度为μ的均匀直棒，在其中垂线上距a单位处
有一质量为m的质点M.式计算该棒对质点的引力.
解:建立坐标系如图.细棒上小段
对质点的引力大小为 ,,x,x，dx
,mdx
(分割) dF,k22a，x
故垂直分力元素为
dF,,dFcos,y
mdxa,
,,k, 2222a，xa，x
dx
(取近似) ,,,kma3222，，a，x
棒对质点的引力的垂直分力为
ldx22, F,,kma,30y222，，a，x
l
2x，，
,,,kma 222,,aa，x，，0
2kml1,
,, (求和取极限) 22a4a，l
F,0棒对质点引力的水平分力 x
故棒对质点的引力大小为
2kml1,
F,22a4a，l说明
1. 当细棒很长时，可视为无穷大，此l
2,km
时引力大小为 (极限思想)
a
方向与细棒垂直且指向细棒. 2. 若考虑质点克服引力沿y轴从a处移
动到b(a
方法
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，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。(水压力看高数书264页，讲解在水深为h处的压强公式p=yA等和平板一侧所受水压力的公式，以及例题)
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