二项展开式

二项展开式 教学 第17章 计 数 法 ?17.3 二项展开式 内容 知识目标:掌握二项式定理及二项展开式的通项，了解二项式系数及其性质 教学 能力目标:会应用二项式定理写出二项展开式及展开式中的任一项，会计算二项式系数 目的情感目标:培养学生的自主探究意识和合作精神 要求 展开二项式 教学 重点 理解并记住二项展开式以及通项公式 教学 难点 讲解法 练习法 谈话法 讨论法 问题驱动法 教学 多媒体 方法 和 教具 根据这一节课的教学目的，在课时安排上安排了两课时，具体安排如下:第一课时主要课时 内容是二项式定理及其展开， 第二课时主要内容是二项式系数及其性质. 安排 教学 ?17.3 二项展开式 第一课时 —二项展开式 过程 二项式定理，正确展开二项式 教学 目的 要求 二项式定理 教学 展开二项式 重点 1 理解并记住二项展开式以及通项公式 教学 难点 学 生 主 体 活 动 教 师 主 导 活 动 教 一 、问题引入: 学生计算，口答:0 0【幻灯片展示】(x+y)=, (x+y)=1 11 (x+y)=, 学 (x+y)= x+y 2 (x+y)=? 222(x+y) = x+2xy+y 3 (x+y)=? 33223过 4 (x+y)=x+3xy+3xy+y (x+y)=? 443223 45 (x+y)=x+4xy+6xy+4xy+y (x+y)=? 5543223456(x+y)=x+5xy+10xy+10xy+5xy+y (x+y)=? 665243324程 „„ (x+y)=x+6xy+15xy+20xy+15xy 100 56(x+y)=? +6xy+y „„ „„ n(x+y)=? 由此引入新课 二、新课讲解: 1.二项式展开: 观察上面已经算出的展开式，从项数，指数， 系数三方面 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，找出规律 学生分组讨论，探究 ?项数:比n多一项 ?项数:比指数n多一项 教 ?指数:每项中x与y的指数和相等，都等于?指数:每项中x与y的指数和相等， n，且x的指数呈降幂排列，从n?0;y的指数都等于n，且x的指数呈降幂排列，从n 呈升幂排列，从0?n。 ?0;y的指数呈升幂排列，从0?n。 0123?系数:C，C， C，C，? ?系数:学生找出有困难，教师引导以nnnn 学 33kn(x+y)为例:(x+y)=(x+y)(x+y)(x+y) C，?，C nn2 考虑其中xy项的y,可以看作是从3个y2.二项式定理 1中选出1个y，有C种选法，所以系数为nn0n-1n-22n-3301233(x+y)=xy+xy+xy+xy+..CCCC nnnn1 n-10nC=3，观察其他各项系数，是否都有这样nn,13.+xy+xy , CCnn过 n的规律, knkk n,即 (x+y)= (1) Cxyn,0123 k0, 系数:C，C， C，C，„ nnnn 注意:符号“,”是求和记号; knC，„，C. nnn,kn,kk“”是求和的项的通式，“,”Cxyn 的上、下标分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示起始项和最后一项所对应程 的k( 2 n,kk = 根据组合数的对偶法则，CCnn nnn,kn,kk ? (x+y)= (2) Cxyn,k,0 公式(1)(2)称为二项式定理( 等式右边的多项式称为二项展开式，共有 kn+1项;展开式中的系数(k=0,1,2,...,n)C n 学生看书记忆二项式定理 称为二项式系数; knkk,Cxy(0,k,n)是展开式的第k+1项， n 称为二项展开式的通项，记作 kn,kkT,Cxy1k，n 5例1 展开(2+x)( 分析:教师引导学生分析 学生分析 5 50514232(2+x)的展开式有 _______项， 套用二解: (2+x)= CCxCx,，,,，,,222555 项式定理写出每一项 3234455 ，,,，,,，,CxCxCx22555结果要求最简. 教 2345 =32+80x+80x+40x+10x+x( 10 例2 求 展开式中的第7项( (3)ab， 分析:直接使用通项公式. 练习巩固:(学生板演) 解: T=T 76+11. 展开下列各式: 65 646(1)(a+1);(2)(x-2) . 学 = Cab(3)()1065432 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :(1)a+6a+15a+20a+15a+6a+1;43=17010ab . 5432 拓展探究: (2)x+10x-40x+80x-80x+32. 1n323xa6 已知2C=3A，求(2x-)展开式中含x的n42. 求[-]的展开式中的第三2xax过 项. 项. 23分析:由2C=3A得 n4xa242 答案:T=T=C()(-)32+162n(n,1)ax 2，,3，4，3，2 2，1 解得n=9 程 4ax3-1 由二项展开式通项公式得含x的项为: =15=15x.42 ax 3 T=-5376x4 三、 小结: 本节课的主要内容是二项展开式及其通项 公式，要求会展开一个二项式，会用二项展开 式的通项公式求展开式中的任意一项。 3 四、布置作业: P165 1, 2 完成《教与学新 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 》 对应练习. ?17.3 二项展开式5二项式定理 例1:展开(2+x)( 板 0120-1-22nnnn (x+y)=xy+xy+xy+ CCCnnn书 3nn-33n-10nn,1 xy+...+xy+xy , CCCnnnn设 knkk10,n即 (x+y)= (1) 例2:求 展开式中的第7项( (3)ab，Cxyn, k0, 计 nn,kn,kkn (x+y)= (2) Cxyn,k,0 二项展开式的通项公式 板演 kn,kkT,Cxy1k，n 通过问题串由简入繁，找出规律，得到二项式定理和二项展开式的通项公式; 教后 通过例题和练习加深对 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 的理解和应用;学生在学习的过程中积极参与，共同发现二 项展开式的规律和特点，激发了学生的学习兴趣，锻炼了学生的思维能力。 札记 教学 ?17.3 二项展开式 第二课时 ?二项式系数及其性质 内容 了解二项式系数及其性质 教学 会区分二项式系数和项的系数， 目的会综合用二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数解决问题 要求 二项式系数及其特点 教学 重点 二项式系数性质的灵活应用 教学 难点 学生主体活动 教 师 主 导 活 动 一 、问题引入: 1.展开下列二项式: 学生板演 7 (1)(x+1); 教 4 7 (2)(x-1). 52.求(2x+y)展开式的第三项. 3(第2题中第三项的系数是什么,第三项的二项式系数是什么, 学生讨论，口答 二、新课讲解: 学 二项式系数的计算 n 要想得到(x+y)的具体的展开式，关键是计算二项式系数. 让我们把所有的系数搭成下图的三角形: 过 0 1 ???????????? (x+y) 101 C C???????????(x+y) 11 2012 C C C?????????(x+y) 222 3 2013程 C C C C????????(x+y)3333 4 01234 C C C C C??????(x+y)44444 5240035C C C C C C????(x+y) 555555 „„ „„ „„ 学生观察三角形，找出 去掉组合数符号，留下计算结果，如下图: 规律: ?三角形各排两端的数 0总是1; 1 ???????????? (x+y) ?从第三排起，中间任1 1 1??????????? (x+y)何一个数等于上一排其 2肩上两个数字之和，与 1 2 1 ???????? (x+y) 组合数的增一法则一3 1 3 3 1???????? (x+y) 致; 4 ?每一排中与首末两端 1 4 6 4 1??????? (x+y) 等距离的数相等，与组5 1 5 10 10 5 1????? (x+y) 合数的对偶法则一致; „„ „„ „„ ?如果二项式的幂指数这个三角形数表，是自然界和谐统一的体现。古时候文明之邦， 是偶数，中间一项的二或早或迟都会有人发现并研究它，我国宋朝数学家杨辉(13世纪)项式系数最大;如果二教 所著《详解九章算术》里就记载着这样的表，我们称这个表为杨项式的幂指数是奇数， 中间两项的二项式系数辉三角(杨辉三角源自贾宪(11世纪)，因此现在有些数学家建 相等且最大. 议改称贾宪三角)。法国人帕斯卡(17世纪)也发现了这个表， 在西方称为帕斯卡三角. 5例1 例1:已知(a-2b)，求: 学 5 (1)(a-2b)的展开式; 5 5 (2)二项展开式各项的二项式系数; 学生口述(1)(a-2b) 的展开式 (3)二项展开式各项的系数。 5 504132201 解:(1)(a-2b)= Ca(-2b)+ Ca(-2b)+ Ca(-2b)+ 555观察展开式得出(2)(3) 32340545Ca(-2b) +Ca(-2b) +Ca(-2b) 555 过 54322345 =a-10ab+40ab-80ab+80ab-32b 0 (2)第一项的二项式系数为C=1 5 1 第二项的二项式系数为C=5 5 2 第三项的二项式系数为C=10 5 程 3 第四项的二项式系数为C=10 5 4 第五项的二项式系数为C=5 5 5 第六项的二项式系数为C=1 练习巩固: 5 1.(2010年单招试题)(3)第一项的系数为1 第二项的系数为-10 9 第三项的系数为40 第四项的系数为-80 在二项式(1-2x)的展 3 开式中，x的系数等于 第五项的系数为80 第六项的系数为32. _______(用数字作答).13n 例2 已知(2a+)展开式中的常数项是第七项，求n的值。a 答案:-672 13n-666 解:?T=T=C(2a)() 76+1 na n-63n-18-6 6 = C2aan n(2)(x+y)的展开式 n-63n-246中第四项和第六项的二= C2a n 项式系数相等，求n. 由题意得:3n-24=0 ?n=8. 拓展思考 350123n,1n分析:C=C 1. C，C，C，C，？C，C,__________;nn nnnnnn 0123knkn n=8 教 2.C-C+C-C+?+(-1)C+ ?+(-1)C=____________. nnnnnn n0123n,1nn ，，分析:1.; C，C，C，C，？C，C,1，1,2nnnnnn 0123knknn3. C-C+C-C+?+(-1)C+ ?+(-1)C=(1-1)=0; nnnnnn 学生思考讨论: 学 02461357n-1即C+ C+ C+ C+ ?= C+ C+ C+ C+ ?=2. nnnnnnnn结合拓展思考你能得出 三、小结: 结论: 1、二项展开式中各项的1.每一项的二项式系数与项的系数要能够区分清楚并能计算，能 n二项式系数和等于2. 6 与二项式定理及通项公式综合应用解题.过 2、二项展开式中所有奇2.二项式系数的性质:在二项展开式中，与首末两项等距离的二项 数项的二项式系数和等式系数相等;当二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数 于所有偶数项的二项式最大;如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等n-1 n系数和等于2. 且最大;二项展开式中各项的二项式系数和等于2;二项展开式 程 中所有奇数项的二项式系数和等于所有偶数项的二项式系数和等 n-1于2. 四、布置作业: 补充练习: 141、 求(3x+)展开式中的第四项的二项式系数和第四 x 项的系数. d32、 若(1+x)的展开式中，x的系数等于x的系数的7倍， 求n. ?17.3 二项展开式(2) 板 二项式系数的性质 例1 „„ 书 设 例2 „„ 计 教后 通过列表，观察，学生参与了发现二项式系数性质的过程，体会了发现的快乐， 札记 提高了学习兴趣;通过例题和练习加深了对二项式系数的理解和应用;通过对 杨辉三角的了解，激发了学生的爱国主义精神。 7 8