函数值域的求法
高中教学教与学2009年
函数值域的求法
文明
(四川省绵阳中学,621000) 在函数问题中,往往需要求函数的值域, 然而求函数值域的方法灵活多样,本文试图 通过实例对函数值域的求法做一个归纳小 结,以便同学们掌握.
一
,图象法
若能比较准确地画出函数的图象,利用 图象观察得到函数值的取值范围是最好不过 的方法了.
例l求y:一2x+3在?(?,3)时
的值域.
图1
解由Y=一2x+3=(一1)+2作
出函数图象(图1),根据图象可知函数值为Y ?[2,6).
评注该题目为二次函数在区间上的值 域问题.由抛物线的最低点可得到函数的最 小值,最高点可得到函数的最大值.此题目中 最小值不是=l时取到,因为函数图象的 最低点在=l处,1E(1,3),),=2能取到, 3簪(l,3),y=6不能取到.有些同学提出丢 (1,3),y=9不能取到,值域中应除去此
值,殊不知=1关于对称轴=l的对称值 =
寻时y:詈,由丢?(1,3),所以詈不能
除去.利用图象法求值域,除了尽可能比较准 确地做出图象外,还要认真观察图象. 二,换元法
例2求y在?[一1,]
,
?…??…??…-?…-?…??…??…??…??…??…??…??…??…??…?
?…-?…-?…??…??…-?…??…??…??…??…??…??…??…-?…-
?…??…??…??…??…??…??…??…??…??…??"
则"=}的取值范围是
?
46?
,
.
一
1of一
2
图1
分析本题是一个二元函数的取值范围 问题,不宜化为一元函数问题处理,但这个目 标函数具有明显的几何意义,为过点P(, Y)与点A(一l,1)的直线的斜率,其中点 P(,),)位于题设条件所确定的平面区域内 (如图l中的阴影部分),因此可用线性规划的 方法求解,易知n?l一1,1I.二元目标函数j 的几何意义还有截距,距离,等等,都可以用 数形结合的方法来解决.
第7期
时的值域.
解令,=一2x一1,则Y=_1. 作出函数t:一2x一1=(一1)一2 的图象(图2),根据图象可知t?[一2,2].
作出函数Y=?,f?[一2,2]的图象(图 3).根据图象可知
Y?(一?,一?】u【1,+?). /
l-1lz/3j
一
2
…
..—/
图2
评注此题目属于复合函数求值域问 题,首先利用换元法,设关于t的二次函数,t 关于Y的反比例函数,然后借助图象法两次求 值域,得到Y的取值范围.很多同学往往得到Y
?
【一?,】这样的错误答案,想一想,错在 哪儿呢?
\
l\
一
2—11:::
:一.一一
0一1123
'
一
l
图3
例3求Y=+一x(x?4)的值域. 解令=t,易知t?0.
由=t,得=4一t.
代入原有函数的表达式,得
Y4一t+t
=一t一2
'--
)+17(0).,
所以,,?(一?,
高中数学教与学
评注利用换元法,我们可将一些复杂 的,不熟悉的函数转化为常见的基本函数来 求解.换元时要特别注意新变量的范围,如本 例中t?0,此题虽然由Y=一t+t+4在t? R时,也可得到y?(一?,】,但这属于巧 合,在有些题目中就不会这样幸运了,所以要 特别小心.
三,利用单调性
例4求Y=一~/,广在?
【0,?】时的值域.
解由函数单调性定义,容易得到函数 在【0,号】上为单调递增函数. 当=0时,Y:一1,当=?时,Y一=
?.所以函数的值域为y?【一l,吉】. 评注此题目也可依照例3用换元法求 解,同学们不妨试一试.显然,利用函数单调
性求解有时比较简便.例3不能用单调性求值 域,因为函数在定义域内不具有单调性. 以上方法为函数求值域的常见方法,读 者可根据不同题目选择合适的方法求解.最 后再通过一个例子介绍一下"反解法". 例5求y:的值域.
解由Y:,得(y一1)2:1+y, .
?
.
2
=.
',一l
由?0且?1,得
?0且?1,
V—l',一l
解得Y?(一o.,一1]u(1,+?).
评注许多分式形式的函数,可通过恒 等变形转化为反比例型函数求值域.如上例 可将函数表达式化为Y=1+亡,再令,: 一1(f?一1),将函数转化为函数Y=_l-+ .
47?
高中数学教与学2009生
三角形"四心''向量统一形式硇本源简证 沈杰
(北京市首都师范大学附属中学,100048) 三角形"四心"的向量形式都有xa+y6+ :
0统一的结构,其中,重心的充要条件最 简单,也容易
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
,而内心,外心,垂心的证明 则比较困难.受此启发,笔者联想到既然有统 一
的结构,是否可以借用重心的充要条件证 明其它"三心"的情况呢?
因为要借用重心的向量形式来证明,所 以还要给出重心的另一性质:G为AABC的重
=SA= 心的充要条件是S=S?
1
?S(图1).
B
图1
(1)G为AABC的重心的充要条件是 —————
?
+GB+GC=0.
证明设G是AABC的重心.如图2,延 长AG交BC于点D,因为G为AABC的重心, 所以,J为日c的中点,有GD:?(?+Gc),——-————
二
且萌:一2,因此有+商十:0,反
之亦成立.
(2)I为AABC内心的充要条件是0+ 6+.:0(其中a,b,c分别为AABC的三 个内角A,B,C所对的边长)或(sinA)IA+ (sin商+(sinc)IC:0. DC
图2
证明设,是AABC的内心.如图3,作
向量:.,:6,:c连结A,,
B,C,得到?ABC.
A
H【.
图3
因为,为AABC内心,所以内心,到
AABC各边的距离为AABC的内切圆的半
径,设为r.
.s,:I馏,1.1,c'lsin厶日,IC,
:6J佃I.cIICJsinLBIC
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?…??…??…??…??…??…??…??…??…??…???? Y蓍',诸如y=1一1一围得的范围,实际运算中结合了换元法和图..…'一,e一 冬法求值域?"反解法"在用y表示后,借助等题目亦可采用此法. 的范围,反过来求解Y的范围,因而叫做"反"一j
?
48?
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