抛物线的焦点弦有关性质探究
武钢三中 詹立波
【教学目的】
1、知识与技能目标：
理解抛物线焦点弦与切线有关的性质，掌握其性质的推导过程．
2、过程与方法目标：
（1）通过其性质
证明
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、体会方程的思想在解析几何问题中的应用．
（2）逐步培养学生发现问题、分析问题、解决问题的良好习惯．
3、情感、态度与价值观目标：
（1）体会数学各知识点之间的相互联系，感受万物世界的相互依存．
（2）培养学生善于思考，勇于探索的钻研精神．
【教学重点】
焦点弦有关性质的证明
【教学过程】
【知识回顾】
1、过抛物线（p＞0）的焦点F作弦AB，设，，则，．
2、过抛物线上一点的切线方程
（1）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：
（2）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：
【有关性质的探究】
1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？
结论：交点在准线上
以（p＞0）为例说明
特例：当弦轴时，则点P的坐标为在准线上．
证明:当弦AB过焦点F，设、
则过A点的切线方程是： ①
过B点的切线方程是： ②
由①－②可得：
即： ∴
代入①式可得：
∵弦AB过焦点弦，由焦点弦性质可知，
∴即交点P坐标为．
结论延伸：切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论发散：当弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
2、上述命题的逆命题是否成立？
结论：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
以（p＞0）为例说明
特例：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．
证明:，设、，则切线PA的方程为，切线PB的方程为．均过点P，则，，故弦AB过焦点．
证明：设准线上任一点，切点分别为、，
则切线方程分别为：，
两切线均过点P，则满足，．
故过两切点的弦AB方程为：，
则弦AB过焦点．
结论延伸：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．
3、如图，AB是过抛物线（p＞0）焦点F的弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，，，过点A，B的切线相交于P点，PQ与抛物线交于点M．
（1）与是否有特殊的位置关系？
结论：PA⊥PB．
证明：，，∴
∴PA⊥PB．
（2）与是否有特殊的位置关系？
结论：PF⊥AB．
证明：，
，
∴PF⊥AB．
（3）点M与点P、Q的关系
结论：M平分PQ．
证明：，
∴
∴
∴M平分PQ．
（4）直线PA与∠A1AB，直线PB与∠B1BA的关系
结论：PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．
证明：，，
∴，
∵ ∴
即PA平分∠A1AB，同理PB平分B1BA．
（5）与的大小比较
结论：
证明：，，
∴
（6）的最值问题
结论：
证明：
∵
≥
∴（两等号可同时取得）
课下思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，有无与上述结论类似结果．
则①，
②PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．
③
④点M平分PQ
⑤
【练习】
（2006年重庆高考（文）22）对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点，
（1）试证：（n≥1）
（2）取，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：（n≥1）
（1）证明：焦点（0，1）
设直线An Bn方程为：
消去y得
∴
（2）由 则
故在An处切线方程为，即类似的，在Bn处切线方程为，即
两式相减得代入可得
则点
∴
从而
∴
【作业】
1、证明上述问题中的结论发散
2、已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且（＞0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，
（1）证明：的值；（2）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值．
3、已知抛物线C的方程为，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B；（1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：；（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在直线l上．
浙公网安备 33021202002483