粘弹性结构动力学分析的等效粘性阻尼算法

粘弹性结构动力学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 的等效粘性阻尼算法 3粘弹性结构动力学分析的等效粘性阻尼算法 高淑华 赵 阳 李淑娟 唐国安 ()复旦大学 力学与工程科学系 ,上海 200433 摘 要 分析粘弹性材料结构的振动 ,通常采用积分 - 微分形式的运动方程 ,有别于结构动力学中经常采用的 K—C —M 形式的运动方程 。因此分析者往往需要编制专用程序 , 从而增加成本 , 降低效率 。建立了一组与积分 - 微分 形式等效的 K—C —M 形式的运动方程 , 使得粘弹性结构的动力学分析可以直接利用通用的 FEM 程序 , 而不必作任何 修改和扩充 。 : O 32, O 345 文献标识码 : A 中图分类号 关键词 : 粘弹性 , 振动 , 动力响应 , 有限元 并利用关系 0 引言 t μ( τ)-t - ( ) μ (τ) τ = u t- eu d( )v t 粘弹性材料可以有效抑制结构的高频振动 , 作为 -? ? 结构中的隔振器 、衬垫可以改善结构整体的动力学特 ( ) μ( )( ) 4 = u t- v t性 , 被广泛 应 用 于 航 空 、航 天 、建 筑 等 结 构 的 振 动 控 ( )可将方程 1 改变为微分形式的运动方程 制 。这种材料是一种具有记忆特性的材料 , 常用的有 ( )( )M 0 u?t 0 0 u t + + M axwe ll模型 、Vo igt模型 , 以及 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 线性粘弹性模型 , ( )0 v?t ( )0 I - I v t [ 1 ] 本构关系通常用微分或积分方程的形式表示 。带 μ( )( ) K Cu t f t ( )5 = μ( )粘弹性阻尼材料结构的动力学问题可以用微分 - 积 - I v t0 0 [ 2 ]分型运动方程描述 , 如 其中 I表示与 M 同阶的单位矩阵 。方程 ( 5 ) 在形式 t μ( τ) 上是与 ( 2 )相同的二阶微分方程组 , 但系数矩阵是非 -t -( )= f t ( ) μ(τ) τ ( )M u?t+C eu d+ Ku t? - ? 对称的 。虽 然 方 程 ( 5 ) 也 可 以 化 成 状 态 空 间 的 形 ( )1 [ 4, 5 ] 式 , 但都不是 经典 意义 下 的 K—C —M 系 统 。这 ( )( )t方程 1 中 u 表示结构的位移向量 , M 是刚度 对于使用商用 FEM 程序计算动力学问题带来了很大 μ- tμ矩阵 , K是质量矩阵 ,C e 是松弛函数 。一般的结 的不便 , 有时还只能编写专门的计算程序 。 构动力学分析中通常假定阻尼力与运动速度成正比 , [ 6 , 7 ] [ 8 ] 其它的一些处理 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 , 如任建亭 , Cao还需 [ 3 ] 运动方程可表示为 : 要迭代计算 ,也不便于工程应用 。 ( )( ) ( ) ( ) ( )2 M u?t+ CC u t+ Ku t= f t [ 2 ]在下一节中 , 将导出另一种形式 、且系数矩阵具 ( )其中 CC 是阻尼矩阵 。A dh ika ri称 1 为非粘性阻尼 , 有对称性的等价方程 , 从而为利用 商用 FEM 程序 带 ( )2 为粘性阻尼 。 来便利 。 ( )方程 2 描述的粘性阻尼动力学问题已被深入研 1 粘弹性模型的等价动力学方程 究 ,固有振动特性分析 、时域和频率响应计算等技术 日趋成熟 ,而且也是主流商用 FEM 程序的基本功能 。 粘弹性结构力和位移关系可以用松弛型积分本 ( )但是方程 1 所描述的非粘性阻尼动力学问题的研究 [ 1 ] 相对滞后 ,有些商用 FEM 程序还不具备直接分析的 构关系描述 , t 功能 。 ( τ) (τ) τ( )( )f t = k t - u d6 ? - ? 通过引入辅助变量 t ( )其中 k t为松弛函数 。现假设松弛函数满足指数率 μ( τ)-t - (τ) τμ( ) ( )et v t= u d3 -( )-? ? ( ) μ7 k t= K +C e 3 中国工程物理研究院资助项目 收稿日期 : 2003 07 03 第一作者 高淑华 女 ,硕士 , 1978 年 10 月生 T ( ) ( )μ( )K于是在零初始条件 u - ?= 0 下 , 6 成为 = K= - C 21 2112 t μ( τ)( )( )-t - 就能使得 20 成立 。而 18 变成为 (τ) τ( ) ( ) μ ( )u d8 f t= Ku t+C e-? ? μ( ) 22 K= C 22( )对 8 关于时间求导后得 ( )( )( )这样 11 和 12 就成为与方程 10 等价的方程 t μ( τ) 2 -t -( ( μ) ( ) μ(τ) τ) f t= K +C u t- C eu d组 ? - ? ( μ) μ^ K +C u - C u= f( )9 ( )23 ? μμ^ - C u +C u+ C u= 0 ^ 1 ( )( )将 9 式乘以 , 并与 8 式相加后得到粘弹性结 μ 考虑动力学问题时 ,只要在外力 f 中补充惯性力 ( ) ( )- M u?t, 那么从 23 可以得到粘弹性结构的运动方 构微分型力和位移的关系 程 1 1 ( ) ( ) ( ) ( μ) ( )f t+ f t= Ku t+ K +C u t( )10 μ μ u? u M 0 0 0 ++ ?为了构造等价的力和位移的关系 , 引进辅助变量 ?0 0 0 C C u^ u^ ^u。令力和位移满足 μμ u f - CK +C( )^= ( )24 Ku + Ku = f 11 11 12 μ μ^C - C u 0 ? T ^ ^K= 0 u + Ku+ Vu ( )12 12 22 ( ) 显然 , 方程 24 中的系数矩阵都是对称的 , 其形 K, K和 V是对称矩阵 。其中 11 22式与 K—C —M 运动微分方程完全一致 , 所以带粘性 ( )从 12 将得到 阻尼的结构动力学响应计算方法同样可以用于求解 - 1 ^ ( )( )T K u= Kf - u 13 12 11 ( )( ) ( ( ^ ) )方程 24 的解 { u t, ut} , 其中 u t也就是方程 ( ) 再代入到 12 ,经整理后得 ( )1 的解 。 - 1 - 1 - 1 T ) - KKKuf + KKVKf = ( K 12 22 12 12 22 12 11( ) 利用等效的方程组 24 , 商用 FEM 程序也可以 - 1 - 1 ( )14 + KKVKKu 12 22 12 11 求解粘弹性结构的动力响应 。方程组中的 M 和 K直 ( )( )为了使得 14 与 10 等价 ,必须有 接由 FEM 程序生成 , 矩阵 C 则采取直接输入 , 且只在 1 - 1 - 1 = I( )KKVK15 12 12 12 μ 包含粘弹性材料的自由度上需要定义 。由于在大部 - 1 T ( )KKK16 K- = K 11 12 22 12分结构中粘弹性部件所占的自由度比例很低 , 所以矩 1 - 1 - 1 阵 C 的规模较小 , 生成以及输入不会造成困难 。 μ)( )= ( K +C KKVKK17 12 22 12 11 μ ( )(虽然推导 24 的过程必须要求 K, K也就是 11 12 ( )由 15 可得 )( ) ( ) C 是非奇异矩阵 。但是可以直接验证 , 即使 C 是奇 异的 , 24 与 1 也是等价的 。 μ( ) K= V18 22 ( )代入到 17 又可得 2 算例 μ( ) 19 K= K +C 11 ( )( )( ) 再将 18 和 19 代入到 16 ,有 - 1 T 2 算例 1 粘弹性系统在阶跃力的作用下的瞬态响 μ ( )VKK 20 = C 12 12应 因此只要取 V = C 图 1 粘弹性弹簧 - 质量系统 ( ) k, k和 k如图 1 所示的质量 - 弹簧模型 , 其中弹簧 该模型的微分 - 积分型运动方程为方程 1 , 其 1 2 4 ( )是纯弹性的 , 而 kt是粘弹性的 。从 t = 0时刻开始 , : 中 3 在质量 m 上突加一单位载荷 。模型中的参数取为 4 - 2 t ( ) k= k= k= 1 kt= 1 + 015 e 1 2 4 3 ( )m = m = m = m = 1 25 1 2 3 4 20 振 动 与 冲 击 2005 年第 24 卷 T ( ) ( )1 0 0 0 0 0 0 0 t= { ut( )( )( ) u ut ut ut} , 1 2 3 4 T 0 125 - 0125 1 0 0 00 0 μ f = { 0 0 0 1 } ,= 2M = , C = , - 0125 0125 0 0 0 0 1 0 ( )从 1 可以得到位移响应函数的 L ap lace变换 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 - 1 ( ) ( μ) ( )u s= sM +sC + Kf27 s 2 - 1 0 0 其中 m 位移响应的 L ap lace变换结果的具体形式为 : 1 - 1 2 - 1 0 ( )K = 26 0 - 1 2 - 1 1 0 0 - 1 3 s + 4 ( )( ) 28 us= 1 9 3 7 65 4 3 2 ( )s 2 s+ 4 s+ 16 s+ 28 s + 38 s+ 60 s+ 28 s+ 40 s+ 3 s + 4 ( )( )σ x, t 9对 u s进行 L ap lace 逆变换 , 最终得到 m 在零 1 1 ?? ρ( )()u x, t0 < x < l = v 9x () 初始条件下的位移函数如图 2 实线 。 由于本例中t τ( τ) τ - t -/ σε仅弹簧 k涉及粘弹性 , 因此用等 价 3 σ ( )ε( ) ε( τ) τ x, t= Ex, t- Eex,d rr1 - ? - ? τ εu和K—C —M 模型计算时 , 为了减少自由度 , 只有 2 ( ) 9ux, t( )ε( ) u需要引入辅助变量 , 将方程 24 改写为 ( )x, t= 30 3 9x u u? 0 0 M 0 ( ) u 0, t= 0 + + ??C0 ω10 0 3 i t u^ u^ σ ( ) l, tA = f ev Tμ μK +C- C u f 2 可以得到位移响应为 ( )29 = ω3 i t μ^μC - Cu 0 ( ) ( ω) ( )31 12u x, t= u x,e 3 3 (ωα ) 3 f sin x 其中 ω) ( u x,=33 3 ωα (ωα )E Aco s L v125 - 00125 C=, 1 τ 125 ω0i- 0125 σ( ) 3 32 其中 E = E 1 - 1 - r ωττi + 1 / ε ε0125 125 0 - 00 =, C 2 3 3 - 0125 0125 0 0 ρ α= / E v T ^^^ uuuu= { uuu} 234123 用有限元计算时 , 将直杆划分成五个单元 , 如图 4 ( )( ) 29 采用 N ewm a rk 方法求解 , ut计算结方程 1 所示 。 () 果如图 2 黑点 , 与解析法得到的结果完全吻合 。 图 4 粘弹性直杆的有限元模型 材料常数取为 - 4 ττE= 11387 8MPa, = 01004 sec,= 61550 4 ×10 sec σ ε r - 4 2 - 3 3 ρl = 0105m, A = 10 m,= 1 000 kgm , f= 1N 图 2 阶跃载荷作用下位移响应 ( )于是方程 1 中的各项矩阵和向量分别为 : 算例 2 粘弹性直杆纵向振动的频响函数计算61666 7 1666 7 1 61666 7 11666 7 1666 7 1- 4M = 11666 7 61666 7 11666 7 ×10 11666 7 61666 7 11666 7 11666 7 31333 3 图 3 粘弹性的纵向振动 21775 6 1387 8 - 1 21775 6 - 11387 8 1387 8 - 1考虑由粘弹性材料构成的直杆 , 横截面积为 A, v 421775 6 K = - 11387 8 - 11387 8 ×10( ) ( ) ρ密度为 , 其左端 x = 0 固定 、右端 x = l受到 x 方 v - 11387 8 21775 6 - 11387 8 ω3 i t ( ) 向的简谐力 f t= f e , 如图 3 所示 。根据直杆纵向 - 11387 8 11387 8 2 2 t 91329 7 - 41664 9 τ()( )9w , x 9w t, x () ( τ)()M x, t= IEt - τ 35 d+ EI v v 2s s2- 41664 9 91329 7 - 41664 9 -? ? 9x 9x 91329 7 - 41664 9 - 41664 9 C = ×10 其中 A , A是钢和粘弹性材料的截面积 , I, I是两种 s v s v 91329 7 - 41664 9 - 41664 9 材料关于梁的中心轴的惯性矩 - 41664 9 41664 9 A = bt , A = 2 b t s 0 v 1 ω3 i t 3 3 T μ τf = fe, f= { 0 0 0 0 f} ,= 1 / ε3 2 ( )36 b tt+ t 3 1 10 1采用增加辅助变量的方法 , 可以得到各个节点稳 I= bt, I=2 + bt s 0 v 112 12 2 态响应的振幅为 ( )Et为粘弹性材料的松弛函数 :而 v 3 3 - 1 (ω) u f μμ M 0 0 0 C-M +C2 ω = - ττ- t / ω +i+ σε 0 0 3 ( )1 - ( )= Ee 37 Et ^0 (ω)r- 1 u v μμ 0 C -C Cτ ε( )ωi t 33 ( ) ( 当层合梁作简谐振动时 , 可令 w = W x ei = 不同频率下响应函数的计算结果如图 5, 图中实 ) ( )- 1 , 于是方程 35 成为 : 3 ( ω) 线为解析表达式 | u l,| , 虚线为有限元模型中节 4 2 ωd W 3 ( )= 0 38 - W (ω) 点 5 的响应 | u| 。从中可以看出 , 有限元与解析 44 5 λdx 解的低频 响 应 吻 合 较 好 , 而 高 频 响 应 两 者 的 差 距 较 其中 ( ) 大 。如果我们直接利用方程 1 计算简谐载荷作用下 τ ω1 i4 σ λ(ω) = E I + E I 1 - 1 - 的响应 , 有 s s r v ωττρρi + 1 /A+A εεs s v vωμ i 2 - 1 33 (ω) ω( )= [ - M + C + K ] f( )u34 39 μω i +根据简支层合梁所满足的边界条件 , 可以确定固 ( ) ( ) 数值结果表明 , 33 与 34 的结果完全一致 , 所 有频率必须满足方程 以图 5中高频响应的差异是由于有限元模型本身的 2 πλ (ω)n n 近似造成的 。 ( )( )40 ωn = 1, 2, ? = n l ( ) ω用数值方法即可求出各阶固有频率 n = 1, 2, ?, n 而层合梁的固有模态为 : ( )n π nx( ) ( )( )n = 1, 2, ? 41 W x = B sin n l 用有限元计算时将直梁划分成 20 个 单 元 , 方 程 ( )1 中矩阵 K和 M 可以用弹性梁有限元方法得到 , 只 ρρ要用 EI+ EI代替抗弯刚度 ,A+A代替单位长 度s s r v s s v v 图 5 粘弹性直杆右端位移的频率响应 的质量 , 而矩阵 算例 3 粘弹性夹层梁的固有振动(ττ) EI- σ ε r v ( )42 C = K ( )τ E I + E I s s r v ε ( ) 然后利用方程 24 计算 K—C —M 系统的复特 征值便可得到固有频率的有限元计算结果 , 如表 1, 固 有频率的单位是 rad / s。 6 图 表 1 简支粘弹性层合梁的固有频率 图 6所示的夹层梁 , 右边是其横截面 。梁的中间 1 2 3 4 5 n ANA FEM ANA FEM ANA FEM ANA FEM ANA FEM t= t层是厚度 t= 018mm 的钢质材料 , 两侧是厚度 0 1 2ω|| 13107 13108 52137 52150 11816 11813 21219 21015 33516 32910 n = 5mm 的粘弹性材料 。钢质材料的特性为 - 3 ρ= 7 800 kgm , E= 210 GPa s s参 考 文 献 粘弹性材料的特性同算例 2。夹层梁的其他几何参数 1 欧阳鬯 . 粘弹塑性理论 . 长沙 : 湖南科学技术出版社 , 1986 为长度 l = 013m, 宽度 b = 01027m。 粘弹性层合梁的2 A dh ika ri S, W oodhou se J. Iden tifica tion of D amp ing: Pa rt 2 , ( ) 横向位移 w x, t、截面 弯 矩 M Non2V iscou s D amp ing, Jou rna l of Sound and V ib ra tion, 2001 , ( ) 243 1: 63 —88 ( )x, t所满足的自由振动的平衡方程为 2 3 Thom son W T, D ah leh M D. V ib ra tion Theo ry and App lica2 ( )9M x, t ()(ρρ) ( ) = 0 0 < x < l A+Aw?x, t+ s s v v 2tion, 5 th ed ition, P ren tice H a ll, 1998 9x () 下转第 27页 27 第 1 期 辛庆胜等 :大跨斜拉网格结构耦合风振响应分析计算的研究现状与发展前景 7 胡继军 ,黄金枝 ,董石麟 ,陈务军 ,网壳风振随机响应有限元 杂的紊流 ,不可避免地伴随着分离流动 、涡的脱落 、涡 ( ) 法 [ J ]. 上海交通大学学报 , 2000, 34 8: 1053 —1056 张相的振荡 ,并由此引起结构和流体的耦合振动 。大跨斜 8 庭 . 工程抗风设计计算手册 [M ]. 上海 : 同济大学出版 社 , 拉网结构风激响应是复杂的空间耦合响应 。其一 ,该 1988 类结构的网格结构 - 拉索 - 塔柱组合一个整体协同 9 俞载道 ,曹国敖 ,随机振动理论及其应用 [M ]. 上海 :同济大 体系 ;如果不考虑结构体系的协同工作 ,而将拉索 、网 学出版社 , 1998 10 格结构和塔柱割裂开来分别分析 ,将会产生很大的误 李元齐 ,大跨度网壳结构抗风理论研究及几个实际工程问 差 ;其二 ,对于大跨斜拉网格结构 ,风与结构间的耦合 ( )题分析 ,浙江大学博士后研究工作 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 , 2000 12 11 作和耦合度问题值得进一步研究 。在此 ,空气与结构 李元齐 ,董石麟 ,大跨度空间结构风荷载模拟技术研究及 ( ) 程序编制 [ J ]. 空间结构 , 2001, 7 3 : 3—11 的耦合作用使得风荷载分解成平均风和脉动的形式 12 舒新玲 ,周岱 ,王泳芳 . 风荷载测试与模拟技术的回顾与展 不合适 ,需全面考虑随机来流 。结构风振响应风荷载 13 ( ) 望 [ J ]. 振动与冲击 , 2002 , 21 3 : 6 —10 之间呈非线性关系 ,确定荷载风振系数在理论上已不 K. A a s - J akob sen, E. Str 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 p ar?t : 270—277 [ S ]. 北京 :中国计划出版计 , 1989 赵 臣 ,张小刚 ,吕伟平 ,具有空间相关性风场的计算机模 18 2 张相庭 . 基于随机振动理论的风振分析及对国内外风荷载 ( ) 拟 [ J ] ,空间结构 , 1996 , 2 2: 21—25 规范和评估 [ A ]. 第十届全国结构风工程学术会议论文集 沈祖炎 ,周 岱 ,龚 铭 ,斜拉网壳结构构件单元分析及结 19 [ C ]. 桂林 : 2001 , 101—106 ( ) 构动力性能 [ J ] ,同济大学学报 , 2000, 28 2: 127—133 楼3 Sim iu, E, D can lan R. H. 刘尚培等译 ,风对结构的作用风工 20 文娟 , 孙 炳 楠 , 风 与 结 构 的 耦 合 作 用 及 风 振 响 应 分 析 程导论 [M ] ,上海 :同济大学出版社 , 1992 ( ) [ J ]。工程力学 , 2000, 17 5: 16—22 4 21 Ko lou sek V. P irne r M. F ische r O , e ta l. W ind effec ts on c ivil 孙炳楠 ,周 强 ,唐锦春 ,高层建筑和风作用的耦合响应分 enginee ring struc tu re s [ M ]. E lsevie r, Am ste rdam; A cadem ia, ( ) 析 [ J ]工程力学 , 1996, 13 3: 78—83 22 P rague, 1984 5 周 岱 , 沈 祖 炎 , 斜 拉 网 壳 结 构 的 非 线 性 地 震 响 应 特 性 向 阳 ,沈世钊 ,李 君 ,薄膜结构的非线性响应分析 [ J ] , ( ) [ J ] ,同济大学学报 , 1999 , 27 3 : 273 —277 23 ( ) 建筑结构学报 , 1999 , 20 6 : 38—46 6 周 岱 ,沈祖炎 ,斜拉网壳结构的构件分析和非线性动力 薛松涛 ,范存新等 ,高耸结构振考虑风与结构耦合作用的非 ( ) 计算 [ J ] ,土木工程学报 , 1999, 32 6: 40 —46 ( ) 线性风振响应分析 [ J ]. 苏州大学学报 , 2003, 19 1: 35 —41 董石麟 ,沈祖炎 ,新型空间结构论文集 [ C ] ,杭州 ; 浙 江大 ()上接第 21页 学出版社 , 1994, 89—92 4 陈 前 ,朱德懋 . 复合结构振动分析的数值方法 . 计算结构 任建亭 ,邱 阳 . 粘弹复合结构特征问题的迭代算法 . 计算 7 ( ) ( ) 力学及应用 , 1990 , 7 3: 27—35 力学学报 , 1997 , 14 3 : 353 —360 5 8 Can X isheng, H an s2Pe te r M le jnek. Comp u ta tiona l p red ic tion 李军强 . 粘弹性复合结构动力响应的实用数值算法 . 机械 , and rede sign fo r viscoe la stica lly damp ed struc tu re s, Comp u t. ( ) 2001 , 28 2 : 25—26 6 ( ) M e thod s. App l. M ech. Engrg. , 125 19951—16 任建亭 ,邱 阳 ,姜节胜 . 粘弹性复合结构动力响应数值分 ( ) 析方法 [ J ]. 机械科学与技术 , 2000, 19 supp lem en t: 49 —51 comp u ted . The moda l te st is ca rried ou t. Good agreem en t is ach ieved be tween the re su lts of sim u la tion and exp e rim en t. Key words: long - range multip le launch rocke t system , transfe r ma trix method , vibra tion cha racteristic , modal test D ES IGN A ND TEST O F FUZZY CO NTROLL ER IN A UTOM O B IL E SUSPENS IO N SY STEM S un J ianm in (D ep a rtm en t of M echan ica l and E lec trica l Enginee ring , )B e ijing In stitu te of C ivil Enginee ring and A rch itec tu re , B e ijing 100044 A b stra c t A n ad ju stab le fuzzy con tro lle r of wh ich the fuzzy con tro l ru le tab le can be ob ta ined by num e rica l ca lcu la2 tion is de signed . B ecau se the a lgo rithm can ad ju st the rec tifica tion fac to r of fuzzy con tro lle r w ith the L ea stM ean s Squa re s () LM Sm e thod , it no t on ly can reflec t the advan tage of ruzzy logic in non linea r system bu t a lso can imp rove the d isad2 van tage of common fuzzy con tro l m e thod wh ich is strongly dep enden t on hum an exp e rience s . Fo r two degree s of freedom veh ic le mode l , the sim u la tion of veh ic le p e rfo rm ance unde r the exc ita tion of single frequency, signa l is stud ied , its re2 su lts show the ad ju stab le fuzzy con tro lle r can eviden tly reduce the acce le ra tion of the su sp ended m a ss . A cco rd ing to the exp e rim en t re su lts w ith the veh ic le mode l, the a lgo rithm is fu rthe r imp roved and the effec itve con tro l of vib ra tion of veh i2 c le system is ach ivede. Key word s: ac tive su sp en sion, fuzzy con tro lle r, exp e rim en t study EQU IVAL ENT V ISCO - D AM P ING M ETHOD FO R THE DY NAM IC RESPO NSE A NALY S IS O F V ISCO - EL A ST IC STRUC TURE Gao S huhua Z hao Yang L i S hu juan Tang Guoan ()D ep a rtm en t of M echan ic s and Enginee ring Sc ience , Fudan U n ive rsity , Shangha i 200433 A b stra c t U n like the K - C - M fo rm of mo tion equa tion s u sed in common struc tu ra l dynam ic ana lysis w ith visco - damp ing , in tegra l - d iffe ren tia l equa tion s a re u sua lly u sed to de sc ribe the vib ra tion of a visco - e la stic struc tu re . To avo id comp iling sp ec ia l p rogram s , a se t of standa rd K - C - M fo rm equa tion s of mo tion is p rovided and p roved to be equ iva len t to the in tegra l - d iffe ren tia l vib ra tion equa tion s de rived fo r visco - e la stic struc tu re. Thu s the gene ra l comm e rc ia l FEA p rogram s can be u tilized d irec tly w ithou t any mod ifica tion to so lve the dynam ic re spon se of struc tu re s w ith visco - e la stic e lem en ts. Key word s: visco - e la stic ity , vib ra tion , dynam ic re spon se , fin ite e lem en t O N TRA NSVERSE V IBRA T IO NS O F A N A X IALLY M O V ING BEAM O N F IXED SUPPO RTS 11, 2L i X iaojun C hen L iqun ( 1. Shangha i In stitu te of App lied M a them a tic s and M echan ic s, Shangha i 200072; )2. D ep a rtm en t of M echan ic s , Shangha i U n ive rsity, Shangha i 200436 A b stra c t The tran sve rse vib ra tion of an axia lly mo ing beam w ith fixed suppo rts is inve stiga ted. The cha rac te ristic equa tion fo r e igenva lue s is de rved. A num e rica l m e thod is p ropo sed to so lve the non linea r tran scenden ta l equa tion . N a tu2 ra l frequenc ie s and e igenfunc tion s a re ca lcu la ted. Key word s: axia lly moving beam , tran sve rse vib ra tion, na tu ra l frequency, e igenfunc tion