7用Mathematica求偏导数与多元函数的极值练习参考解答

7用Mathematica求偏导数与多元函数的极值练习参考解答 ?10 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值练习参考解答 1 求下列函数的偏导数。 1xy(1) (2) z,e z,22x，y yzxzu,，,u,(xy)(3) (4) xxz 2 求下列函数的偏导数或导数。 dzxz,arctg(xy),y,e(1) 设，求。 dx 33,z,zz,xln(xy),(2) 设求， 22,xy,xy u,z,z2z,xlny,x,,y,3u,2v,(3) 设求，。 ,uv,v xy,u,u,u(4) 设，求，，。 u,f(,),z,x,yyz xz,f(x，y,xy,)z,z,z(5) 设，求。 xxxxyy 3 求下列方程所确定的隐函数的导数。 dy223xy，3xy,4,0(1) ，求。 dx ,z,z,xyze,2z，e,0(2) ，求，。 ,y,x ,x,z,zz,f(x，y，z,xyz),(3) 求，，。 ,y,y,x dydz222222x，y，z,a,x，y,ax(4) ，求，。 dxdx 22f(x,y),x，5y,6x，10y，64 求函数的极值。 2222z,x,y{(x,y)|x，y,4}5 求函数，在范围内的最大最小值。 练习参考解答 1 求下列函数的偏导数。 yzx1zxyu,，,u,(xy)z,e(1) (2) (3) (4) z,22xxzx，y 解 (1) In[1]:= D[1/Sqrt[x^2+y^2,x] In[2]:= D[1/Sqrt[x^2+y^2,y] xOut[1]= ,223/2(x，y) yOut[2]= ,223/2(x，y) (2) In[3]:= D[E^(x*y),x] In[4]:= D[E^(x*y),x] xyeyOut[3]= xyexOut[4]= (3) In[5]:= D[y/x+z/x-x/z,x] In[6]:= D[y/x+z/x-x/z,y] In[7]:= D[y/x+z/x-x/z,z] y1z,,,Out[5]= 22zxz 1Out[6]= x 1x，Out[7]= 2xz (4) In[8]:= D[(x*y)^z,x] In[9]:= D[(x*y)^z,x] In[10]:= D[(x*y)^z,z] ,1，zy(xy)zOut[8]= ,1，zx(xy)zOut[9]= z(xy)Log[xy]Out[10]= 2 求下列函数的偏导数或导数。 dzxz,arctg(xy),y,e(1) 设，求。 dx 解 In[1]:= y[x_]:E^x; z[x_,y_]:=ArcTan[x*y]; D[z[x,y],x] y Out[1]= 221，xy 33,z,zz,xln(xy),(2) 设求， 22,xy,xy 解 In[1]:= z[x_,y_]:=x*Log[x*y]’ D[z[x,y],{x,2},y]; Simplify[%] D[z[x,y],x,{y,3}]; Simplify[%] 2222xy(,3，xy) Out[1]= 223(1，xy) 24646(x,6x，xy) ,224(1，xy) v,z,z3z,xsiny,x,1,,y,u，3v,(3) 设求，。 ,u,vu 解 In[1]:= x[u_,v_]:=1-v/u; y[u_,v_]:=u+3v; z[x_,y_]:=x[u,v]^2*Sin[y[u,v]]; D[z[x,y],u]; Simplify[%] D[z[x,y],v]; Simplify[%] 222(u,v)(u(u,v)Cos[u，3v]，2(u，v)Sin[u，3v])Out[1]= 3u 22(u,v)(3(u,v)Cos[u，3v],2Sin[u，3v]) 2u xy,u,u,u(4) 设，求，，。 u,f(,),z,x,yyz 解 In[1]:= u[x_,y_,z_]:=f[x/y,y/z]; D[u[x,y,z],x] D[u[x,y,z],y] D[u[x,y,z],z] xy(1,0)f[,]yzOut[1]= y xyxy(0,1)(1,0)f[,]xf[,]yzyz ,2zy xy(0,1)yf[,]yz 2z xz,f(x，y,xy,)z,z,z(5) 设，求。 xxxxyy 解 In[1]:= z[x_,y_]:=f[x+y,x*y,x/y]; D[z[x,y],x] D[z[x,y],x,x] D[z[x,y],x,y] yOut[1]= 221，xy 32xy ,222(1，xy) 32xy1 ,，22222(1，xy)1，xy 三 求下列方程所确定的隐函数的导数。 dy223xy，3xy,4,0(1) ，求。 dx 解 In[1]:= D[x^2*y[x]+3x^2y[x]^3-4= =0,x]; Solve[%,y’[x]] 3,xyx,xyx2[]6[],Out[1]= yx,{{[]}}222x，xyx9[] ,z,z,xyz(2) ，求，。 e,2z，e,0,y,x 解 In[1]:= D[E^(-x*y)-2*z[x]+E^z[x]= =0,x]; Simplify[Solve[%,z’[x]]] D[E^(-x*y)-2*z[y]+E^z[y]= =0,y]; Simplify[Solve[%,z’[y]]] xy,ey,Out[1]= zx,{{[]}}z[x],，e2 xy,ex,zy, {{[]}}z[y],，e2 ,x,z,zz,f(x，y，z,xyz),(3) 求，，。 ,y,y,x 解 In[1]:= D[z[x]-f[x+y+z[x],x*y*z[x]]= =0,x]; Simplify[Solve[%,z’[x]] D[z[y]-f[x+y+z[y],x*y*z[y]]= =0,y]; Simplify[Solve[%,z’[y]] Out[1]= (0,1),{{z[x],,(yz[x]f[x，y，z[x],xyz[x]]， (1,0) f[x，y，z[x],xyz[x]])/ (0,1)(1,0)　　　(,1，xyf[x，y，z[x],xyz[x]，f[ 　　　　　x，y，z[x],xyz[x]])}} (0,1),{{z[y],,(xz[y]f[x，y，z[y],xyz[y]]， (1,0) f[x，y，z[y],xyz[y]])/ (0,1)(1,0)　　　(,1，xyf[x，y，z[y],xyz[y]，f[ 　　　　　x，y，z[y],xyz[y]])}} dydz222222x，y，z,a,x，y,ax(4) ，求，。 dxdx 解 In[1]:= D[{x^2+y[x]^2+z[x]^2-a= =0,x^2+y[x]^2-a*x= =0},x]; Simplify[Solve[%,y'[x]]] Simplify[Solve[%%,z'[x]]] ,x，z[x]z[x],Out[1]= {{y[x],}}y[x] x，y[x]y'[x], {{z[x],,}}z[x] 22f(x,y),x，5y,6x，10y，64 求函数的极值。 解 In[1]:= Clear[x,y,z,a,b,c,d,t]; f[x_,y_]:=x^2+5y^2-6x+10y+6; a=D[f[x,y],{x,2}]; b=D[f[x,y],x,y]; c=D[f[x,y],{y,2}]; d=a*c-b^2; t=Slove[{D[f[x,y]= =0,x],D[f[x,y]= =0,y]},{x,y}]; l=Length[t]l For[i=1,i<=1,i++, Print[t[[i]]; d1=d/.t[[i]]; a1=a/.t[[i]]; z=f[x,y]/.t[[i]]; Which[d1>0&&a1<0,Print[“fmax=”,z], d1>0&&a1>0,Print[“fmin=”,z], d1= =0,Print[“No Sure”,z], d1= =0,Print[No]] ] Out[1]= {x->3,y->-1} fmin=-8 2222z,x,y{(x,y)|x，y,4}5 求函数，在范围内的最大最小值。 2222z,x,yx，y,4解 先求在圆域内的最大最小值: In[1]:= f[x_,y_]:=x^2-y^2; t=Solve[{D[f[x,y]= =0,x],D[f[x,y]= =0,y]},{x,y}] Out[1]= {{x->0,y->0}} (*驻点*) In[2]:= x^2+y^2-4/.t[[1]] Out[2]= -4 22x，y,4该驻点在圆外,圆内无驻点,故不取极值.下面考虑圆上的最值.这 22x，y,4是在约束条下的条件极值,用Lagrange乘数法求解. ]:= Clear[x,y,F,t]; In[3 F[x_,y_,t_]:=f[x,y]+t(x^2+y^2-4); s=Solve[{D[f[x,y,t]==0,D[f[x,y,t]==0,y],D[F[x,y,t]= =0,t]],{x,y,t}} Out[3]= {{t->-1,x->-2,y->0},{t->-1,x->2,y->0}}, {{t->1,x->-2,y->0} , {t->1,x->2,y->0}} In[4]:= F[x,y]/.s[[1]] Out[4]= 4 In[5]:= F[x,y]/.s[[2]] Out[5]= 4 In[6]:= F[x,y]/.s[[3]] Out[6]= -4 In[7]:= F[x,y]/.s[[4]] Out[7]= -4