积分中的对称性

积分中的对称性 【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。【关键词】积分;轮换对称性;奇对称;偶对称 在积分的计算过程中,当积分区域具有某种对称性时,如果被积函数具有某种特性,这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面:积分区域关于坐标轴(或坐标面)的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域,所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时,有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。 在一元函数积分学中,我们有下面所熟悉结论: 若f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有 ∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x) 2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x) 利用这一性质,可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。 1 对称性在重积分计算中的应用 对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。 结论1 若f(x,y)在区域D内可积,且区域D关于y轴(或x轴)对称,则有 ①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x(或y)的奇函数 ②Df(x,y)dσ=2,D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x(或y)的偶函数。 其中D1为区域D被y轴(或x轴)所分割的两个对称区域之一。 结论2 若f(x,y)在区域D内可积,且区域D关于原点成中心对称,则有: ①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y),即f(x,y)关于原点成奇对称; ②Df(x,y)dσ=2,D1f(x,y)dσ=2,D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y),即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称,且D1+D2=0。 结论3 若f(x,y)在区域D内可积,且区域D关于直线L对称,则有: ①Df(x,y)dσ=0,f(x,y)关于直线L奇对称; ②Df(x,y)dσ=2,D1f(x,y)dσ,f(x,y) 关于偶对称。 其中D1为区域D被直线L所分割的两个对称区域之一。 说明:若对D内关于直线L对称的任意两点P、Q,都有f(P)=-f(Q),(f(P)=f(Q)),则称f(x,y)关于直线L奇(偶)对称。 特别地,若区域D关于直线y=x对称,则当点(x,y)∈D时,有(y,x)∈D,这时积分区域D关于x、y具有轮换对称性。这时我们有: Df(x,y)dσ=12,D[f(x,y)+f(y,x)]dσ 若f(x,y)=-f(y,x),即f(x,y)关于直线y=x奇对称,则Df(x,y)dσ=0; 若f(x,y)=f(y,x),即f(x,y)关于直线y=x偶对称,则Df(x,y)dσ=2 D1f(x,y)dσ。 计算三重积分Ωf(x,y,z)dν时,也有类似的结论。 若积分区域Ω关于面xoy面(或yoz面或zox面)对称,记Ω1为区域Ω被坐标面所分割的两个对称区域之一。则有: ①Ωf(x,y,z)dν=0,f(x,y,z)为关于z(或x或y)的奇函数; ②Ωf(x,y,z)dν=2Ω1f(x,y,z)dν,f(x,y,z)为关于z(或x或y)的偶函数。 若积分区域Ω关于x,y,z具有轮换对称性,即当(x,y,z)∈Ω时,(y,z,x),(z,x,y)∈Ω,这时有Ωf(x,y,z)dν=Ωf(y,z,x)dν=Ωf(z,x,y)dν =13Ω[f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)]dν 2 对称性在曲线积分计算中的应用 2.1 对称性在第一类曲线积分计算中的应用 结论1 若积分曲线L关于x轴(或y轴)对称,记L1为曲线L被坐标轴所分割的两个对称区域之一,则有: ①∫Lf(x,y)ds=0,f(x,y)为关于y(或x)的奇函数; ②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,f(x,y)为关于y(或x)的偶函数。 结论2 若积分曲线L关于直线y=x对称,则当点(x,y)∈L时,有(y,x)∈L,即L关于x,y具有轮换对称性,这时有: ∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds=12∫L[f(x,y)+f(y,x)]ds 若f(x,y)=-f(y,x),即f(x,y)关于直线y=x奇对称,则∫Lf(x,y)ds=0; 若f(x,y)=(y,x),即f(x,y)关于直线y=x偶对称,则∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(y,x)d s。 其中L1为曲线L被直线y=x所分割的两个对称区域之一。 2.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用 设有曲线积分I=∫L P(x,y)dx,其中L为光滑的有向曲线弧,如果L关于某条直线(包括坐标轴)对称,这时利用对称性计算上述曲线积分时,不仅要考虑P(x,y)的大小和符号,还要考虑投影元素dx的符号。当积分方向和坐标轴正向之夹角小于π2时,投影元素为正,否则为负。一般地,我们有: 结论若积分曲线L关于某直线对称,记L1为曲线L被这条直线所分割的两个对称区域之一,则有: ①∫Lf(x,y)ds=0,P(x,y)dx在对称点上取相反的符号; ②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,P(x,y)dx 在对称点上取相同的符号。 对于积分∫L Q(x,y)dy也有类似地结论。上述结论都可推广到空间曲线的情形。 3 对称性在曲面积分计算中的应用 3.1 对称性在第一类曲面积分计算中的应用 结论1 若积分曲面关于某平面(或某点)对称,记 1为曲面被某平面(或某点)所分割的两个对称曲面之一,则有: ①f(x,y,z)dS=0,在对称点上f(x,y,z)取相反的符号; ②f(x,y,z)dS=21f(x,y,z)dS,在对称点上f(x,y,z)取相同的符号。 结论2 若积分曲面关于x,y,z具有轮换对称性,则有: f(x,y,z)dS=f(y,z,x)dS=f(z,x,y)dS =13[f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)]dS 3.2 对称性在第二类曲面积分计算中的应用 利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号。 现以曲面积分f(x,y,z)dxdy为例来讨论。当曲面指定侧上动点的法线方向与z轴正向成锐角时,面积元素dS在xoy面上的投影dxdy为正;成钝角时为负。一般地,我们有: 结论若积分曲面可分成对称的两部分,在对称点上|f|的值相等,则有 ①f(x,y,z)dxdy=0,在对称点上fdxdy取相反的符号; ②f(x,y,z)dxdy=2f(x,y,z)dxdy,在对称点上fdxdy的符号相同。 对于积分f(x,y,z)dydz,f(x,y,z)dzdx也有类似的结论。 总之,应用对称性计算积分时应注意以下几点: ①必须兼顾被积函数和积分区域两个方面,只有当两个方面都具有某种对称性时才能利用。如果只有积分区域具有某种对称性,这时根据具体情况,我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性,再考虑利用上述结论。 ②对第二类曲线积分和第二类曲面积分,在利用对称性时,尚需考虑积分路线的方向和曲面的侧,确定投影元素的符号,需慎重。 ③有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答。 【参考文献】 1 陈云新.轮换对称性在积分中的应用.高等数学研究,2001,4(1):28~30.