高中数学国际奥林匹克竞赛第23届IMO试题高中数学国际奥林匹克竞赛第23届IMO试题
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第23届IMO
1. f(n)是定义在正整数上且取值为非负整数的函数，f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) =
3333，并对所有m,n有f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 或 1。试求出f(1982)。 2. AAA是不等腰三角形，其三边为a, a, a ，其中a 是角 A的对边， 设 M是123123iii 边 a 的中点，T是三角形的内...
高中数学国际奥林匹克竞赛第23届IMO试题
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第23届IMO
1. f(n)是定义在正整数上且取值为非负整数的函数，f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) =
3333，并对所有m,n有f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 或 1。试求出f(1982)。 2. AAA是不等腰三角形，其三边为a, a, a ，其中a 是角 A的对边， 设 M是123123iii 边 a 的中点，T是三角形的内切圆在边 a上的切点，记S为点 T 关于内角A的角平iiiiii分线的对称点，求证线MS, MS 和MS共点。 112233
3. 考虑无限正实数序列 {x} 满足x = 1 及 x >= x >= x >= ... ， n0012
a. 求证对每个这样的序列都有存在一个n >= 1使得
222x/x + x/x + ... + x/x >= 3.999. 0112n-1n
b. 试寻找一个这样的序列使其满足
222 x/x + x/x + ... + x/x < 4 对所有n成立。 0112n-1n
3234. n使正整数，求证如果方程 x - 3xy + y = n有关于整数x,y的一个解，则其至少有三个解;当n=2891时再证明这个方程无整数解。
5. 正六边形ABCDEF的对角线AC、CE上分别有分点M、N并且 AM/AC = CN/CE = r，如果B、M、N共线，试求r的值。
6. 设S是边长为100的正方形，L是在S内部不自交的系列线段AA, AA, AA, ... , 011223AA 并且A 与 A不重合。已知对于每一个在S边界上的点P，L中存在一个点与P之n-1n0n
间的距离不大于1/2。求证:L中存在两点X、Y，X与Y的距离不大于1，并且L上位于X和Y之间的部分不少于198。
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