“割”、“补”法求二次函数图象中面积最大值

“割”、“补”法求二次函数图象中面积最大值 “割”、“补”法求二次函数图象中面积最大值 中考试卷与二次函数相关的压轴题经常要求面积的最大值，其求解的基本 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是“割”、“补”法.下面举例说明: 一、“割” 例1 如图1，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点(1，-5)和(-2，4). (1)求这条抛物线的解析式. (2)设此抛物线与直线 y=x 相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于 y 轴的直线 x=m(0,m,5+1)与抛物线交于点M，与直线 y=x 交于点N，交 x 轴于点P，求线段MN的长(用含 m 的代数式表示). (3)在条件(2)的情况下， 连接OM、BM，是否存在 m 的值，使?BOM的面积S最大,若存在，请求出 m 的值，若不存在，请说明理由. 解:(1)y=x2-2x-4. (2)MN=-m2+3m+4. (3) 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :因为?OMB的三边中没有边在坐标轴上(或与坐标轴平行)，所以可以考虑把?OMB“割”成?OMN和?BMN(MN?y 轴)，因为?OMN和?BMN的边MN上的高之和是一定的，所以MN为底，?OMB的面积可求. 因为S,?BOM,=S,?OMN,+S,?BMN, OP+12MN?BC =12MN? =12MN(OP+BC) =-12(-m2+3m+4)(m+4-m) =-2m2+6m+8. 当 m=-6-4=32时，S,?BOM,有最大值为252. 例2 如图2，已知O为坐标原点，?AOB=30?，?ABO=90?，且点A的坐标为(2，0). (1)求点B的坐标; (2)若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式; (3)在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大,若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标;若不存在，请说明理由. 分析:因为四边形OABC的边OA在 x 轴上，所以可以考虑把四边形OABC“割”成?OCD、梯形CDGB、?GAB，只要分别求出?OCD、梯形CDGB、?GAB的面积，即可求出四边形OABC的面积. 解:因为S,?OCD,=12OD?CD=12mn， S,梯形CDGB,=12(CD+BG)?DG =12(n+32)?(32-m)， S,?GAB,=12GA?GB=12×12×32， 所以S,四边形OABC,=12mn-12mn+3n4+338-3m4+38=3n4-3m4+32. 因为点C(m，n)在抛物线 y=-233x2+433x 上， 所以 n=-233m2+433m. 所以S,四边形OABC, =34(-233 m2+433m)-3m4+32 =-32m2+334m+32. 所以当 m=34时，S,四边形OABC,有最大值为25332.此时点C的坐标为(34，538). 评注:当所求面积的图形有边在坐标轴上时，通常用“割”的方法，如例2中的四边形OABC有边OA在 x 轴上，四边形OABC被CD、BG(CD、BG都与 y 轴平行)“割”成?OCD、梯形CDGB、?GAB;当所求面积的图形没有边在坐标轴上(或与坐标轴平行)时，也可以 ”后图形有边在坐标轴上(或与坐标轴平行)，如例1中?OMB被MN用“割”的方法，使“割 (MN与 y 轴平行)“割”成?OMN和?BMN. 二、“补” 例3 如图3，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120?，得到线段OB. (1)求点B的坐标; (2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使?BOC的周长最小,若存在，求出点C的坐标;若不存在，请说明理由. (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么?PAB是否有最大面积,若有，求出此时P点的坐标及?PAB的最大面积;若没有，请说明理由(注意:本题中的结果均保留根号) B(1，3). 解:(1) (2)y=33x2+233x. (3)C(-1，33). (4)分析:作BG?x 轴，PF?y 轴交BG于点F，把?APB“补”成四边形APFB后再“割”为梯形APFG、?AGB即可求出S,?APB,.当然也可以用“割”的方法求S,?APB,. 过点B作BG?x 轴、过点P作PF?y 轴交BG于点F，设P(m，n)， 因为S,梯形APFG,=12(PF+AG)?GF =12,(1-m)+3,?(-n) =12(4-m)?(-n) =-2n+12mn， S,?AGB,=12AG?BG =12×3×3=332， S,?PFB,=12PF?BF =12(1-m)(3-n) =32-n2-3m2+mn2， S,?APB,=S,四边形APFB,-S,?PFB, =S,梯形APFG,+S,?AGB,-S,?PFB, =-2n+12mn+332-32+n2+3m2-mn2 =-3n2+3m2+3. 因为点P(m，n)在抛物线 y=33x2+233x 上，所以 n=33m2+233m， 所以S,?APB,=-32m2-32m+3. 所以当 m=-12时，S,?APB,有最大值为938.此时点P的坐标为(-12，-34). 例4 已知如图4，矩形OABC的长OA=3，宽OC=1，将?AOC沿AC翻折得到?APC， (1)填空:?PCO=度，P点坐标为; (2)若P，A两点在抛物线 y=-43x2+bx+c 上，求 b，c 的值，并说明点C在此抛物线上; (3)在(2)中的抛物线CP段(不包括C，P点)上是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大,若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标;若不存在，请说明理由. 解:(1)?PCO=120?,点P的坐标为(32，32). )b=3，c=1，抛物线为 y=-43x2+3x+1，易证点C(0，1)在此抛物线上. (2 (3)分析:直接求四边形MCAP的面积，显然不好求.通过“割”的方法也比较繁.倒不如把四边形MCAP与?OCA“补”成五边形MCOAP，然后再把五边形MCOAP“割”成易求面积的梯形COEM、梯形MEDP、?PDA，即可简捷地求解四边形MCAP的面积. 设M(m，n)，因为S,梯形COEM, =12(CO+EM)?OE =12(1+n)?m =12m+12mn， S,梯形MEDP,=12(ME+PD)?DE =12(n+32)(32-m) =34n-12mn-34m+338， 所以S,四边形MCAP,=S,五边形MCOAP,-S,?COA,=S,梯形COEM,+S,梯形MEDP,+S,?PDA,-S,?COA, =(12m+12mn)+(34n-12mn-34m+338)+338-32 =34n-m4+34. 因为点M(m，n)在抛物线 y=-43x2+3x+1上， 所以 n=-43m2+3m+1. 所以S,四边形MCAP,=34(-43m2+3m+1)-m4+34=-33m2+12m+32. 所以当 m=34时，S,四边形MCAP,有最大值为9316.此时点M的坐标为(34，32). 评注:当所求面积的图形没有边在坐标轴上(或与坐标轴平行)时，除用“割”的方法外，还可以用“补”的方法，使“补”后的图形有边在坐标轴上(或与坐标轴平行)，然后再用“割”的方法分别求“割”后的图形的面积，如例3中把?APB先“补”成四边形APFB后再“割”为梯形APFG、?AGB;例4中把四边形MCAP先“补”成五边形MCOAP，然后再把五边形MCOAP“割”成易求面积的梯形COEM、梯形MEDP、?PDA. (初三),, 注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 请以PDF格式阅读原文