热力学系统的平衡态和物态方程

热力学系统的平衡态和物态方程 1 第一章 热力学系统的平衡态和物态方程 1.1 设一定体气体温度计是按摄氏温标刻度的，它在0.1013MPa下的冰点及水的沸点时的压强分别为0.0405MPa和0.0553MPa,试问(1)当气体的压强为0.0101MPa时的待测温度是多少,(2)当温度计在沸腾的硫中时(0.1013MPa下硫的沸点为444.5?)，气体的压强是多少, 5-2(答案:(1)-204.66?;(2)1.06×10N?m) 1.2 水银气压计A中混进了一个空气泡，因此它的读数比实际的气压小，当精确的气压计的读数为0.102MPa时，它的读数只有0.0997MPa，此时管内水银面到管顶的距离为80 mm。问当此气压计的读数为0.0978MPa时，实际气压应是多少,设空气的温度保持不变。 5-2(答案:1.0×10N?m) ,11.3 一抽气机转速(即转/分)，抽气机每分钟能抽出气体20 l(升)。设容器的,,,400rmin 容积V,2.0 l，问经过多长时间后才能使容器内的压强由0.101MPa降为133Pa。设抽气过程中温度始终不变。 (答案:40s) 01.4 两个贮存着空气的容器A和B，以备有活塞之细管相连接。容器A浸入温度为的t,100C1 0水槽中，容器B浸入温度为的冷却剂中。开始时，两容器被细管中之活塞分隔开，这t,20C2 时容器A及B中空气的压强分别为p,O.0533MPa，p,O.0200MPa，体积分别为V,0.25 l，V1212,0.40 l.试问把活塞打开后气体的压强是多少? 42.9810Pa，(答案:) 1.5 一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强为p的空气。先对管子加热，使从开口端温度1000K均匀变为闭端200K的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为100K，试问管中最后的压强是多大, (答案:0.20p) 1.6证明任何一种具有两个独立参数的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温,Tp, 压缩系数k，根据下述积分求得: T ，，lnV,,dT,,dP T, 11,,,如果，k，试求物态方程。 TTp 1.7 张玉民47-1.12 L1.8 描述金属丝的几何参量是长度，力学参量是张力?，物态方程是 f (?,L,T)=0 1 1,L,,实验通常在1Pa 下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为，等温杨氏模量定,,,,L,T,,L L,L,,义为，其中A是金属丝的截面积。一般来说，和Y是T的函数，对 仅有微弱LY,,,,A,L,,T 的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定，试证明，当温度由T降至T时，其张力的增加为 12 ,?,-YA,(T-T)21 1.9 张玉民46-1.1 1.10张玉民204-4.2 1.11张玉民204-4.4 6-23-1,1,61.12 把氧气当作范德瓦耳斯气体，它的m?Pa?mol， m?mol，求密a,，1.3610b,，3210 -3度为100kg?m、压强为10.1MPa时氧的温度，并把结果与氧当作理想气体时的结果作比较。 (答案:396K;389K) 1.13 把 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 状况下22.4 l的氮气不断压缩，它的体积将趋于多大,计算氮分子直径。此时分子产 ,16-2a,，1.3910m?Pa?mol，生的内压强约为多大,已知氮气的范德瓦耳斯方程中的常数 ,63-1b,，39.3110 m?mol。 -33-10(答案:0.0393×10m;3.1×10m;90MPa) 第二章 热力学第一定律 ,K,2.1 一理想气体做准静态绝热膨胀，在任一瞬间压强满足，其中和都是常量，试证pVK, pV,pV,由状态到状态的过程中系统对外界所作的功为 ，，，，1122 pVpV,1122W ,,1, 2.2 某金属在低温下的摩尔定体热容与温度的关系为 3aTCbT,， V,m3, ,,ba其中称为德拜特征温度，，，都是与材料性质有关的常量。式中第一项是金属中晶格振 2 动对摩尔定体热容的贡献，第二项是金属中自由电子对摩尔定体热容的贡献。试问该金属的温度0.01,0.02,由变为过程中，每摩尔有多少热量被传送? ,,842(答案:) 3.75101.5010，,，，,ab 2.3 已知范德瓦耳斯气体物态方程为 ,,a pVbRT，,,，，,,m2V,,m 其内能为 a UcTd,,，2Vm 其中a，b，c，d均为常量。试求(1)该气体从等温膨胀到时系统对外界所做的功;(2)该VV12 ,T气体在定体下升高温度所吸收的热量。 Vb,aa2,mcT,RTln，,(答案:(1);(2)) VbVV,1,m2,m1,m 2.4 实验数据表明，在0.1MPa、300K~1200K范围内铜的摩尔定压热容为，其中CabT,，p,m 4-1-1-1-2b,5.92a,，2.310J?mol?K， J?mol?K，试计算在0.1MPa下，温度从300K增到1200K时铜的摩尔焓的改变。 7-12.4710，(答案: J?mol) 32.5体积为的绝热容器中充有压强与外界标淮大气压强相同的空气，但容器壁有裂缝，试问1m 将容器从0?缓慢加热至20?，气体吸收热量是多少，已知空气的定压比热容为 -1-1c,，，0.99kJkgK，空气的摩尔质量为，比热容比。 M,0.29kg,,1.41p (答案:) 24.7kJ 2.6 用绝热壁做成—圆柱形的容器，在容器中间放置一无摩擦的、绝热的可动活塞，活塞两侧各 pVT有物质的量为, (以mol为单位)的理想气体。设两侧气体的初始状态均为，，，气体定000 C体摩尔热容为常量，,,1.5。将一通电线圈放在活塞左侧气体中，对气体缓慢加热。左侧V,m 27p气体膨胀，同时通过活塞压缩右方气体，最后使右方气体压强增为。试问:(1)对活塞右08 侧气体做了多少功，(2)右侧气体的终温是多少?(3)左侧气体的终温是多少，(4)左侧气体吸收 3 了多少热量, 32119(答案:(1);(2);(3);(4)) TT,RT,,RT0000242 n2.7 满足的方程成为多方方程，其中常数名为多方指数。试证明:理想气体在多方过PV,Cn程中的热容量 为 Cn n,, C,,CnVn,1 ,332.8 室温下有体积为、压强为0.10MPa的氧气，经某多方过程膨胀到体积为2.310m， ,33、压强为0.05MPa，试求多方指数、内能变化、吸(或放)的热量及所做的功。 4.110m， (答案:1.2;-63J;63J;-126J) V2.9 假设理想气体的 和 之比 是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和的关系。C,CpV 该关系式中药用到一个函数F(T),其表达式为 FT() dT lnF，，T,,，，,,1T VFT,,Const(答案:) ，， 2.10 已知某种理想气体在图上的等温线与绝热线的斜率之比为0.714，现1mol该种理想气pV, C体在图上经历如题图2-1所示的循环。试问:(1)该气体的是多少?(2)循环功是多少,pT,V,m (3)循环效率是多少? 题图2-1 21ln2,，，2.5RRTln21,(答案:;;) ，，15 4 2.11 1mol单原子理想气体经历如题图2-2所示的可逆循环。其中联结两点的曲线方程为c-a p20，a点的温度为 。试以，R表示:(1)在过程中传输的热量;(2)此TTp,Va-b,b-c,c-a002V0 循环效率。 题图2-2 0.164(答案:(1);;;(2)) 12RT45RT,47.7RT000 2.12理想气体经历一卡诺循环，当热源温度为100?、冷却器温度为0?时，作净功800J，今若 3维持冷却器温度不变，提高热源温度，使净功增为1.6010J，，则这时(1)热源的温度为多少,(2)效率增大到多少,设这两个循环都工作于相同的两绝热线之间。 (答案:(1)473K;(2)42.3,) W2.13用“理想热泵从温度为的河水中吸热给某一建筑物供暖。设热泵的输入功率为，该建T0 dQT,,,aTT筑物的散热率即单位时间内向外散失的热量为，其中为正的常量，为建筑a，，0dT W物的室内温度。(1)试问建筑物的平衡温度是多少,(2)若把把热泵换成一个功率同为的Te ,T加热器直接对建筑物加热，其平衡温度是多少?何种方法较为经济? e 2WWaTW，，4W0T，(答案:(1);(2)) T，00a2a 5 第三章 热力学第二定律与熵 1. 对于任何物质，证明绝热线与等温线不能相交于二点。 2. 对于任何物质，证明两绝热线不能相交。 3. 如图题3-1所示，图中1—3为等温线，1—4为绝热线，1—2和4—3均为等压线，2—3为等 3体线。1mol H(理想气体)在“1”点的状态参量为,;在“3”点的状态参T,300KV,0.02m211 3量为，。试分别用如下三条路径计算:(1)1—2—3;(2)1—3;T,300KS,SV,0.04m3133 (3)1—4—3。 题图3-1 Rln2(答案: ) 4. 如题图3-2所示，一长为0.8m的圆柱形容器被一薄的活塞分隔成两部分。开始时活塞固定在 555，101，10距左端0.3m处。活塞左边充有1 mol压强为Pa的氦气，右边充有压强为Pa的氖气，它们都是理想气体。将气缸浸入水中，开始时整个物体系的温度均匀地处于25?。气缸及活塞的热容可不考虑。放松以后振动的活塞最后将位于新的平衡位置，试问这时:(1)水温升高多少,(2)活塞将静止在距气缸左边多大距离位置,(3)物体系的总墒增加多少? 题图3-2 -10.6m (答案:(1)不变;(2);(3)) 3.22JK, 6 5. 一直立的气缸被活塞封闭有1mol理想气体，活塞上装有重物，活塞及重物的总质量为，活m塞面积为，重力加速度为，气体的摩尔定体热容，为常量。活塞与气缸的热容及活塞与AgCV,m 气缸间摩擦均可忽略，整个系统都是绝热的。初始时活塞位置固定，气体体积为，温度为。VT00活塞被放松后将振动起来，最后活塞静止于具有较大体积的新的平衡位量，不考虑活塞外的环境压强，试问:(1)气体的温度是升高，降低，还是保持不变,(2)气体的熵是增加，减少，还是保持不变,(3)计算气体的末态温度。 T ,,1Mgm(答案:(1)降低;(2)增加;(3)) TTV,，,,00,,,ACV,m,, TS,6. 有一热机循环，它在如题图3-3所示的图上可表示为其半长轴和半短轴分别平行于T轴S及轴的椭圆。循环中熵的变化范围为从到，T的变化范围为到。试求该热机的效S3ST3T0000 率。 题图3-3 2,(答案:) ，8, 7. 绝热壁包围的气缸被一绝热活塞外隔成A，B两室。活塞在气缸内可无摩擦地自由滑动。A，B内各有1 mol双原子分子理想气体。初始时气体处于平衡态，它们的压强、体积、温度分别为pVT,,2p。A室中有一电加热器使之徐徐加热，直到A室中压强变为，试问:(1)最后A，0000 B两室内气体温度分别是多少,(2)在加热过程中，A室气体对B室做了多少功,(3)加热器传给A室气体多少热量,(4)A，B两室的总熵变是多少, 2.89R2.78T1.22T0.55RT5RT(答案:(1)，;(2);(3);(4)) 0000 1，，T，TTT8. 均匀杆的温度一端为，另一端为 ，试计算达到均匀温度后的熵增。 12122 ，，TTTTTT，,lnln122211Cln1,，(答案: p,,2TT,21，， 7 第四章 均匀物质的热力学性质 4.1 温度维持为25?,压强在0至1000p之间,测得水的试验数据如下, n ,V,,,,,,36311 4.5101.410cmmolK,，，，,,p，，,,,T,,p 若在25?的恒温下将水从1p加压到1000p,求水的熵增和从外界吸收的热量。 nn -11,,1(答案:;) ,,,0.527JmolK,157J,mol 4.2 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其绝对温度。试证明在温度保持不变时，该气 体的熵随体积增加而增加。 4.3证明下列关系: ,,,,UV,,(1) ,,T,,,,,,pT,,S,,V ,,Up,,,,(2) ,,Tp,,,,,,VT,,,,pS ,,,TTp,,,,,,(3) ,,pT,,,,,,,,,VUU,,,,,,UVV ,,,,,TVT,,,,(4) ,,TV,,,,,,,,,pHH,,,,pp,,H 2,,TTTV,,,,(5) ,,,,,,,,SCVH,,,,Hpp ,,,S,S,,00,4.4 求证: (?) ;(?). ,,,,,,V,p,,U,,H 4.5 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中温度降 落。 ,,,,,,TT0[提示:证明] ,,,,,,,,pp,,,,SH 4.6对pVT,,系统,证明: 8 C,pT ,C,SV 其中 ,,,,1V1V,, ， ,,,,,,TS,,,,Vp,Vp,,,,,TS分别代表等温与绝热压缩系数。 4.7设一物体的物态方程具有下列形式 pfvT,，， 证明其内能与体积无关。 4.8(1)证明 22,C,,,,,,,C,p,V,,pV， ,T,,T,,,,,,,,22,,pT,,VT,,,,T,,,,VpT并由此导出 2V,,,pCCTV,，d ,,VV2,0V0,T,,V 2p,,,Vd CCTp,,,,pp2,0p0,T,,p T(2)根据以上两式证明，理想气体的定容热熔比和定压热容量只是温度的函数。 (3)证明范德瓦耳斯气体的C只是温度的函数，与体积无关。 V 4.9 证明理想气体的摩尔自由能可以表为 dTFTCTTRVUTS,,,，,dln m,mmm0m0V2,,T 4.10 试证明范氏气体的摩尔定压热容量与定容热容量之差为 RCC,, pV,m,m22()aVb,m1,3RTVm4.11由测量一气体的膨胀系数与等温压缩系数得 ,,,vRa,v,,,， ， ,,Tfp，，,,,,2,TpT,p,,p,,T 1molfpva其中是摩尔体积，为常数，是压强的函数。又已知在低压下该气体的定压热容，， 5CR,。证明: p2 9 R(1) fp,，，2p ap(2)物态方程为 pvRT,,T 52ap(3) CR,，p22T 4.12 计算热辐射在等温过程中体积由变到时所吸收的热量。 VV12 44(答案:) ,,,QTVV，，213 4.13 计算以热辐射为工作物质的卡诺循环的效率。 T2(答案:) ,,,1T1 4.14 一均匀各向同性的顺磁固体，忽略提交变化，并取单位体积。已知:(a)它满足居里定律， C2Cb即，(为正常数);(b)(为正常数，T不太低时)。 CCbT,,MH,,00MMT ,C,,MM(1)证明，亦即与无关; ,0CM,,,M,,T (2)求; CC,HM TH,为独立变量的熵的表达式; (3)求以，， MH,(4)求以为变量的可逆绝热过程方程; ，， (5)求等温磁化过程(磁场从)吸收的热量; 0,H0(6)求绝热去磁过程(磁场从)的温度变化; H,00 (7)计算以此顺磁固体为工作物质的可逆卡诺循环的效率。 22(答案:(2); CCCHT,,,HM0 12STHbCHS,,，，,, (3) ，，，，o02T2 2MAHbCH,，,A (4)(是常数); 0 2,CH00Q,,,0 (5)(放热); 22T 12,,,,b,,TT1,,, (6)。 ,,,,12,bCH，00,,,,,, BHM,，,,()04.15 已知超导体的磁感应强度，求证: 0 MTC(1)与无关，只是的函数; M 2,M0,,，dUCTU(2); M0,2 CMdSTS,，(3)。 0,T 10 第五章 相变 S,05.1利用无穷小的变动，导出下列各平衡判据(假设总粒子数不变，且): UVS(1)在及不变的情形下，平衡态的极大; SVU(2)在及不变的情形下，平衡态的极小; USV(3)在及不变的情形下，平衡态的极小; S(4)在及不变的情形下，平衡态的极大; Hp S(5)在及不变的情形下，平衡态的极小; Hp V(6)在及不变的情形下，平衡态的极小; TF V(7)在F及T不变的情形下，平衡态的极小; G(8)在T及不变的情形下，平衡态的极小。 p 5.2试由熵判据推证热动平衡的稳定性条件: p,,, ， ,0C,0,,VV,,,T p,,p,,,,5.3试由及,0证明及,0。 C,0C,0,,,,pV,VV,,,,,Ts 5.4求证: ,,,S,,,,(1) ,,; ,,,,,,Tn,,,,VnTV,, ,,,,,V,,(2); ,,,,,,,pn,,,,Tp,Tn, ,,v,,,,,,,,T(3) ,,,,,,,nT,,,,TVVn,, ,S1,V,,,,,CT,,5.5 两相共存时，两相系统的定压热容量，体胀系数 和等温压缩p,,,,,TVT,,,,,pp ,,1,V系数均趋于无穷。试加以说明。 k,,T,,Vp,,,T 5.6 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为 11 ,,pTd ,,,UL1m,,Tpd,, 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简。 5.7 在三相点附近，固态氨的蒸汽压(单位为Pa)方程为: 3754 ln27.92p,,T 液态氨的蒸汽压方程为 3063 ln24.38p,,T 试求氨三相点的温度和压强，氨的汽化热、升华热及在三相点的熔解热。 444195.2K5934Pa(答案:;;;;) 2.54710J，3.12010J，0.57310J， ,1mol5.8 以表示在维持相与相两相平衡的条件下，使相物质升高1K所吸收热量，称,C,,, 为相的两相平衡的热容量。试证明: , ,,,,VL,,m CC,,,,p,,,VVT,,,,mmp L,,CC,,如果相是蒸汽，可看作理想气体，相是凝聚相，上式可化简为，并说明为什,,P,T 么饱和蒸汽的热容量有可能是负的。 5.9 试证明，相变潜热随温度的变化率为 ,,，，,,,,dLLLVV,,,,mm CC,,，,, ,,pp,,,,,,dTTTTVV,,,,,,,,,mmpp，， 如果相是气相，相是凝聚相，试证明上式可简化为 ,, dL,, 。,,CC ppdT dVm5.10 蒸汽与液相达到平衡，以表示在维持两相平衡的条件下，蒸汽体积随温度的变化率。dT 试证明蒸气的两相平衡膨胀系数为 dV11L,,m,,1 ,,VTTRTd,,m TT,5.11 证明范德瓦耳斯气体在的pV,等温线上的极小点与极大点的连线轨迹为 C 3pvavb,,2 ，， 12 4,5.12 证明半径为的肥皂泡的内压与外压之差为。 rr 第六章 输运现象与非平衡态理论 6.1 设一空心球的内半径为，温度为，内半径为，温度为，球内热传导的速率恒定。rTrTQ1212 则当空心球的热导率为时，内外表面的温度差是多少, , Q11(答案:) ,(),,4rr12 6.2 两根金属棒A、B尺寸相同，A的导热系数是B的两倍，用它们来导热。设高温处与低温处的温度保持恒定，求将、并联使用和串联使用时热传递能量之比(设棒的侧面是绝热的)。 AB 9:2(答案: ) 6.3 一细金属丝将一质量为、半径为R的均质圆盘沿中心轴垂直吊住，盘能绕轴自由转动，盘m 面平行于一大的水平板，盘与平面间充满了黏度为的液体。初始时盘以角速度旋转，假定盘,,0 d面与大水平板间距离为，且在任一竖直直线上的速度梯度都相等，试问在秒时盘的旋转角速度t是多少, 2Rt,,exp(),(答案:) ,0md R,,,Rr6.4 若旋转黏度计(如图6.5所示)中的内、外筒半径分别为和，且与相比不rr，， G是很小，试问当悬丝扭转力矩为、圆筒旋转角速度为时所测得的流体的黏度是多少, , GRr(),(答案:) 2,,2rRL 5t,201.010Pa，6.5 气体的平均自由程可通过实验测定。现测得?，压强为时氩和氮的平均自 ,8,8由程分别为，，试问:(1)氮和氩的有效直径是多少,(2),,，27.510m,,，9.910mNA 45t,20t,,402.010Pa，1.010Pa，?，压强为时的,等于多少,(3)?，压强为时的,等AN于多少, -7-7(答案:(1)0.6;(2)4.95×10m;(3)2.19×10m) ,,MM6.6 在标准状态下，氦气的黏度为，氩气的黏度为，它们的摩尔质量分别为和。试1212 ,,,问(1)氦原子的碰撞截面与氩原子的碰撞截面之比等于多少,(2)氦的热导系数与氩211 ,DD的热导系数之比等于多少,(3)氦的扩散系数与氩的扩散系数之比等于多少,(4)此111 ,3-2,3-2,时测得，，用这些数据近似估算碰撞截面和,,，,,2.1110Nsm,,，,,1.8710Nsm112 ,。 2 ,,M,,MDM,-21-21221221221,,,,,,(答案:(1);(2);(3);(4)1.0×10m，2.8×10m) MMDM,,,,,112112112 TpMx6.7 某种氮原子气体，摩尔质量为，温度为，压强为。已知一个分子在行进(单位为m 2m)的路程中受碰撞的概率为，则该分子的平均自由程是多少,该气体的黏度和热传导系11,e d数分别是多少(认为分子是刚性的，分子直径是), 13 12M12xm;;) (答案:xpxpC,V,m2,3RT3,RTMm 6.8 杜瓦瓶夹层的内层外径为10.0cm，外层内径为10.6cm，瓶内盛着冰水混合物，瓶外室温为25?。(1)如果夹层内充有一个大气压的氮气，近似的估算由于气体热传导所引起的、单位时间 ,10内通过单位高度杜瓦瓶流入的热量。取氮分子有效直径为。(2)要使热传导流入的热3.110m， 量为(1)的答案的1/10，夹层中气体的压强需降低到多少, -1-1-2(答案:(1)1.4W?cm;(2)2.1×10N?m) 第七章 近独立粒子的最概然分布 V,,,，d,7.1 试证明:任体积内，在的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 2,V3212, Dmd2d,,,,，，，，3h ,,，dL7.2试证明，对于一维自由粒子，在长度内，在到的能量范围内，量子态数为 , 1/22Lm,, ,,,,Ddd，，,,,h2,, 2,,，d内，在到的能量范围内，量子态数为 7.3 试证明，对于二维自由粒子，在面积L, 22,L, Dmdd,,,，，2h V,,,，d,7.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为,,cp。试求在体积内，在的 4,V2能量范围内三维粒子的量子态数。(答案:) ,Ddd,,,,，，3()ch ,NN7.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为和。粒子间的相互作用很弱，可以看作是近似独立的。假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为 ,,,,,,,,,,,,,lla,,e 和 a,,ellll ,,,,,,其中和是两种粒子的能级，和是能级的简并度。 llll 7.6 同上题，如果粒子是玻色子或费米子，试分别写出平衡状态下的两种粒子的最概然分布。 第八章 玻耳兹曼统计 ,,lp,,a8.1 试根据公式证明，对于非相对论粒子 ,l,Vl 14 22p,12,,,222，，n,n,n,0,,1,,2？, ，，,,n，n，n,,,xyzxyzmmL22,, 2U有 p,3V 上述结论对于玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 ,,l8.2 根据公式证明，对于相对论粒子 p,,a,l,Vl1,2,2222,cp,c，，n，n，n，，n,n,n,0,,1,,2？, ,xyzxyzL U有 p, 3V 上述结论对玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 ,,sl8.3 根据公式证明，对于能谱关系为()的粒子组成的维理想,,,pp,,ans,1,2,l,Vl 气体，其内能和压强间存在关系 spVnU(), n n式中是维理想气体的“体积”。上述结论对玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都成nVnL(), 立。 8.4 试证明，对于遵从玻耳兹曼分布的定域系统，熵函数可以表示为 ， S,,NkPlnP,sss ,,,,,,,,eessP,,式中是粒子处在量子态的概率，,是对粒子的所有量子态Psss,NZs1求和。 对于满足经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同? (答案:) SNkPPNk,,，ln,sss AB8.5 固体含有、两种原子，试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为 N!，，，，,,S,kln,,Nkxlnx，1,xln1,x ,,,,Nx!N(1,x)! Nx,1AB其中是总原子数，x是原子的百分比，是原子的百分比注意。上式给出的熵(1-)x 为正值。 8.6 (1)对于三维非相对论理想气体，粒子能量的可能值为 22p,12,,,222，，n,n,n,0,,1,,2？，，,,n，n，n ， ,,,xyzxyzmmL22,, 试由粒子的量子能级出发，求单原子分子的平动配分函数。 (2)由于粒子的平动动能总是连续的，试从粒子的态密度出发，求单原子分子的平动配分函 数。 15 322,mkT,,) (答案:,ZV,,12h,, 8.7 考虑一极端相对论性理想气体，粒子的静止质量可以忽略。粒子的能量动量关系为，,,cp 其中为光速，粒子的内部运动已忽略。试求: c (1)粒子的配分函数; (2)气体的物态方程、内能和熵; (3)可逆绝热过程的过程方程。 3，，NkT8,V8VkT,,,UNkT,3(答案:(1);(2)，，;(3)p,Z,SNkNkln4,，,,1,,3V()hcNhc,,,,,，， 4,=常数，式中,,) pV3 s8.8考虑由能谱关系为(为一常数，)的粒子组成的维经典理想气体， ,,,p,ns,1,2(1)试求粒子的配分函数; (2)试求气体的物态方程和内能; (3)证明气体的内能和压强间存在关系 spVnU(), n n式中是维理想气体的“体积”。 nVnL(), nsns,,1nnNkT11n,,,,ZBVn,,())，式中;(2)，) (答案:(1UNkT,p,,BC1,,,,,,nn,ssVn(),,,hs,,,,8.9 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。是写出在二维理想 气体中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率v和方均根速率。 vrms mm222,，vv,vkT,2kT，，mxym,,2kT2kTv,v,()dd(答案:Nevv;;;) 2d,Nevvrmsxy,,,2mm2kT2kT,,,,,,,v,v8.10 试根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度和相对速率的概率分布，vvv,,rrr21并求相对速率的平均值。 vr vvv~d，8.11 试证明，单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于之间的分子数为 m2,vm3232kTd()d,,,nevv 2kT, 8.12 分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率、方均根速率和平均能量。 9,kT4kT12,v,vmvkT,2(答案:;;) rmsm8m2 8.13已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为 12222 ,,，，p，p，p，ax，bxxyz2m 2bba其中、是常数，求粒子的平均能量。(答案:) ,,,2kT4a8.14 试求双原子分子理想气体的振动熵。 16 ,1,,,Tvvv) (答案:SNkNke,,,ln1，，,,T,vTe,1,, 8.15 对于双原子分子，常温下kT远大于转动的能级间距。试求双原子分子理想气体的转动熵。 T(答案:) ，lnNkNk,r 8.16 试求二维谐振子的配分函数及平均能量。 (1)如果谐振子是经典的; (2)如果谐振子是量子的，其能级和简并度分别为: ,,,，,(1),1,2,nn,？n ,,，(1)nn 2,,,,e1,,,,1，，(答案:(1)，; (2)，) Z,Z,,，2,,,2kT,,11,,2,,,,,,,,,,,(1)e,,21e,，，,, 第九章 玻色统计和费米统计 9.1 试证明，对于理想玻色或费米系统， S,kln, 9.2 试证明，理想玻色或费米系统的熵可以表示为 Skffff,,,，，ln1ln1，，，，，，,BEssss..，，s ,,，，，，S,,kflnf，1,fln1,fFDssss,..s 其中f为量子态上的平均粒子数，对粒子的所有量子态求和。并证明当f,,1时，有 s,sss SSSkfff,,,,,ln,,,BEFDMBsss......s 9.3 求弱简并理想费米(玻色)气体的压强公式。 322，，,,1Nh(答案:) pnkT1,,,,,,52,22gVmkT,,,,，， 9.4 试证明一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象。 9.5试根据普朗克公式求平衡辐射内能密度按波长的分布: 8hcd,,ud,,,5hc,,kTe,1 ,并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长满足方程: m 17 ,x5e，x,5 ， x,4.9651其中。这个方程的数值解为，因此 xhckT,,m ,Thck,4.9651m 随温度增加向短波方向移动。 ,m 480nm9.6 太阳辐射的光谱分布和黑体辐射非常接近，每单位波长的最大强度出现在处。问:太 阳的表面温度是多少, 6000K(答案:) US9.7 试求光子气体巨配分函数的对数，并由此求内能、辐射压强、熵、自由能和吉布斯Fp G函数。并说明此时的能否作特性函数。 32242424,,,V1kk,,4,k443ln,,(答案:;UVT;;;pT,,,SVT,,333333345c,15c45c,,,45c,,, 24k,4G,0FVT;) ,,3345c, 9.7 试推导二维空间平衡辐射的普朗克公式，并由此导出二维空间黑体辐射的斯特藩—玻耳兹曼 定律。 23A,,,d9.6,k3,(答案:;) UT(,)d,,,uTT(),,,22,ce1()ch,2839.8银的传导电子密度为5.9×10/m。试求0K时电子的费米能级、费米速率和电子气体的简并 压。 -1610ms,(答案:;;) ,,5.6eVv,，1.410p,，2.110PaFF T,300K9.9 利用上题结果计算时银中电子气体的化学势的一级修正。 , ,4(答案:) ,,,10eV 9.10 试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率。 p3Fv,(答案:，p是费米动量) F4m 0K9.11 试求在极端相对论条件下，自由电子气体在时的费米能量、内能和简并压。 13313n,,-1,,,,pn(0)ms,UN(0)(答案:;;) ,,(0),,44,8,, 0K9.12 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为。试求时二维电子气体的费米能量、内能n 和简并压。 2h11-1,,,,,(0),npn(0)ms,UN(0)(答案:;;) 24m2, CVdST,9.13 试根据热力学公式及低温下的热容量，求低温下金属中自中电子气体的熵。 ,T 2kT,SNk(答案:,) 2(0), Up9.14 试求低温下金属中自由电子气体的巨配分函数的对数，并由此求电子气体的内能、压强 S和熵。 18 322,,,,1625,,Vm52) (答案:ln()1,,,，,,,,,32158h,,,,,, 第十章 系综理论 10.1 证明在正则分布中熵可以表为 Sk,,,,ln,sss 1,,Es其中,,e是系统处在态的概率。 ssZ 10.2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程、内能和熵。 32，，NkT3325Vmk,,,(答案:，，) p,UNkT,SNkTNkNk,，，，lnlnln,,,,2V222Nh,,,,，， VAB10.3 体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，组元、的粒子数分别为和，温NNAB T度为。试用正则分布导出混合理想气体的物态方程、内能和熵。 kT3pNN,，()(答案:，， UNNkT,，()ABABV2 3232，，，，22,,mkTmkTVV55,,,,AB) SNkNklnln,，，，,,,,AB,,,,22NhNh22,,,,,,,,AB，，，， N10.4 由c个单原子分子组成的理想气体，粒子的能量动量关系为,,cp，其中为光速，试求气体的配分函数，并由此求物态方程、内能和熵。 N3，，NkT1kT,,UNkT,3p,(答案:;;;,ZNTVV(,,)8,,,,,VNhc!,,,,，， 3，，8,VkT,,) SNkNkln4,，,,,,Nhc,,,,，， N10.5 试用正则分布计算个双原子分子组成的理想气体的物态方程、内能和熵。 322，，,,NkT5VmkTIkT287,,,,p,UNkT,(答案:，，) SNkln,，,,,,,,22V2Nhh2,,,,,,，， 10.6 试根据正则分布导出实际气体分子的速度分布。 32m222,，，vvv，，mxyz,,kT2(答案:) ,,dddddd,,wvvvvvvevvv，，,,xyzxyzxyz,2kT,, 10.7 试用巨正则分布求单原子分子理想气体的物态方程、内能、熵和化学势。 32，，NkT3325Vmk,,,p,UNkT,(答案:，，SNkTNkNklnlnln ,，，，,,,,22V22hN,,,,，， 19 32VmkT2,,,) ,,kTln,,,2hN,, 20